2022-2023學(xué)年江西省上饒市民校考試聯(lián)盟高二下學(xué)期階段測(cè)試（四）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，前3項(xiàng)和為6，則等于（    ）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】A【分析】根據(jù)題意求出公差，從而可得出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，解得，所以.故選：A.2．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】；；；.故選：D.3．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于等差數(shù)列基本量的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，，因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：A4．已知，的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】確定，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由得，所以，故選：C5．中國(guó)古代某數(shù)學(xué)名著中有這樣一個(gè)類似問(wèn)題：“四百四十一里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)末日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人一共走了441里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)最后一天走的路程是（    ）A．7里 B．8里 C．9里 D．10里【答案】A【分析】由“每天走的路程為前一天的一半”可知這個(gè)人每天走的路程是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得出答案.【詳解】設(shè)第六天走的路程為，第五天走的路程為……第一天走的路程記為，根據(jù)題意每天走的路程為前一天的一半，所以公比，且，，所以，從而解得，故選：A.6．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列通式求出，再化簡(jiǎn)得，代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，故選：D.7．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，可得圖象如下圖所示，有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)結(jié)合題設(shè)條件得出，兩邊取對(duì)數(shù)，結(jié)合等比定義以及求和公式求解即可.【詳解】，，，則兩邊取對(duì)數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A 二、多選題9．已知函數(shù)，關(guān)于的性質(zhì)，以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（    ）A．函數(shù)在處取得最小值 B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．是奇函數(shù)【答案】AC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性、最值判斷AB；解方程求出零點(diǎn)判斷C；利用奇偶性定義判斷D作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；函數(shù)的極大值，極小值，而當(dāng)或時(shí)恒有，因此函數(shù)在處取得最小值，A正確；由解得或，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；因?yàn)?/span>，，即是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AC10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．、、成等差數(shù)列【答案】AB【分析】根據(jù)可知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為3，因?yàn)?/span>，所以，；對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以是遞增數(shù)列，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，顯然不是等差數(shù)列，D不正確.故選：AB.11．已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（     ）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)；B．，，使C．若關(guān)于的方程有一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．函數(shù)的值域?yàn)?/span>【答案】BD【分析】由函數(shù)零點(diǎn)的定義可判斷A不正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像可判斷B與D是否正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，結(jié)合圖像可確定a的取值范圍，可判斷選項(xiàng)C．【詳解】令，可得，是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)是實(shí)數(shù)0，不是點(diǎn)，A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的極小值為和，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的圖像，觀察圖像可知，，，使，所以B正確；函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D正確；對(duì)于C，由，得，因?yàn)?/span>，則，令，得或或，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況，如下表x012＋0－0＋ －0＋遞增遞減0遞增遞減遞增如圖，當(dāng)或或時(shí)，關(guān)于的方程有一個(gè)根，所以a的取值范圍是，C不正確.故選：BD．12．如圖，有一列曲線，，……，，……，且1是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，是對(duì)進(jìn)行如下操作而得到：將曲線的每條邊進(jìn)行三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到，記曲線的邊數(shù)為，周長(zhǎng)為，圍成的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列D．當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，趨近于定值【答案】ABD【分析】結(jié)合圖形規(guī)律得，即可判斷A,根據(jù)第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為 ，即可判斷B，根據(jù)，利用累加法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出．【詳解】是在的基礎(chǔ)上，每條邊新增加3條新的邊，故，又,所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列,且 故A正確，第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)為 ，所以，故數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，故B正確，因?yàn)?/span>是在的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是，同理，對(duì)是在的每條邊上再生出一個(gè)小正三角形，于是的面積等于的面積加上個(gè)新增小三角形的面積，即，于是可以利用累加的方法得到將上面式子累加得當(dāng)時(shí)， ，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD 三、填空題13．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為         ．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程，求得首項(xiàng)和公差，即可求得答案.【詳解】由題意數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列公差為d，則，解得，故，故答案為：14．已知，成等差數(shù)列，則      .【答案】2【分析】先利用對(duì)數(shù)的定義求出的范圍，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程解出即可.【詳解】由對(duì)數(shù)定義有：，由成等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得：，解得：或，由，所以：，故答案為：2.15．已知恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為      .【答案】/【分析】根據(jù)條件可得，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一解，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象即得；或根據(jù)公切線的幾何求法轉(zhuǎn)化為方程只有一解進(jìn)而求解.【詳解】解法一：因?yàn)?/span>，即， 所以，故，令，則，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>時(shí)，，，所以，即只有一解，設(shè)，則，由可得，函數(shù)單調(diào)遞增；由可得，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得函數(shù)的大致圖象，  所以即.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，要使恰有一個(gè)零點(diǎn)，則與相切，所以，即，所以只有一個(gè)解，以下同方法一.故答案為：. 四、雙空題16．已知，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有恒成立，則的取值范圍是   ，若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是        ．【答案】          【分析】將不等式等價(jià)變形成，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得解；由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于0在上有解即可作答.【詳解】因?qū)θ我鈨蓚€(gè)不等的正實(shí)數(shù)都有，則不妨令，于是有，設(shè)函數(shù)，依題意，是定義域上的增函數(shù)，則有，而當(dāng)時(shí)，取得最大值1，從而得，所以的取值范圍是；因在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式，即在上有解，而時(shí)，，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：； 五、解答題17．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【分析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18．已知函數(shù)，，且．求(1)的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由代入求出，從而得到函數(shù)解析式與導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值，在計(jì)算端點(diǎn)值，即可判斷.【詳解】（1）由題意，，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，則，，則，所以切點(diǎn)為，切線的斜率，所以切線方程為.（2）因?yàn)?/span>，，則，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，又，，，所以.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，是以為首項(xiàng)，且公差不為0的等差數(shù)列，成等比數(shù)列．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)可求，據(jù)此可求數(shù)列的通項(xiàng)，利用基本量法結(jié)合等比中項(xiàng)可求的公差，故可求其通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，故，而，故，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，所以，解得：（舍去）或，所以.（2），，，故.20．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義，列出滿足的等量關(guān)系，求得，則問(wèn)題得解；（2）求得在區(qū)間上的值域，根據(jù)值域的包含關(guān)系，列出的不等式，求解即可.【詳解】（1），則，由題可知，，解得，故.（2）由（1）知，，故當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；又，故在上的值域?yàn)?/span>；，當(dāng)，單調(diào)遞增，故值域?yàn)?/span>；根據(jù)題意，是的子集，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第個(gè)正三角為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為．(1)求，的值；(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)和，代入曲線，即可求解；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求得，得到，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，可得，解得，又由，可得，解得.（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．22．已知函數(shù)．(1)若在處取得極大值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；(2) 【分析】（1）求導(dǎo)之后，分解因式求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，按零點(diǎn)的大小分類討論即可求解（2），顯然是的零點(diǎn)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，即恰有兩個(gè)不為2的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】（1）由題意得，令，則或，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，則：令，則，或，∴在上遞減，在上遞增，∴在處取得極小值，此時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則，∴在上遞增，∴在處不取極值，比時(shí)不符合題意③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，則；令，則，或，∴在和上遞增，在上遞減，∴在處取得極大值，此時(shí)符合題意；綜上，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和（2）由題意得，顯然是的零點(diǎn)，則方程，即恰有兩個(gè)不為2的實(shí)數(shù)根，令，則，令，則；令，則，∴在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，∴，且，∴，且，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為． 

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