2022-2023學(xué)年江西省智慧上進(jìn)聯(lián)盟高二下學(xué)期期中調(diào)測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知數(shù)列為1，，9，，25，，…，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)觀察法，即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列：1，4，9，16，25，的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列：的通項(xiàng)公式為.故選：B.2．某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點(diǎn)求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)直線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，汽車在時(shí)間的平均速度大小分別為，設(shè)路程y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，則，即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，同理為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，如圖，由圖可知，最小，即最小.故選：C.3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（    ）A．25 B．45 C．50 D．90【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以.故選：B4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，解得.故選：A5．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再代入計(jì)算即可.【詳解】.故選：B6．“燃脂單車”運(yùn)動(dòng)是一種在音樂(lè)的烘托下，運(yùn)動(dòng)者根據(jù)訓(xùn)練者的指引有節(jié)奏的踩踏單車，進(jìn)而達(dá)到燃脂目的的運(yùn)動(dòng)，由于其操作簡(jiǎn)單，燃脂性強(qiáng)，受到廣大健身愛(ài)好者的喜愛(ài).已知某一單車愛(ài)好者的騎行速度v（單位：km/h）隨時(shí)間t（單位：h）變換的函數(shù)關(guān)系為，，則該單車愛(ài)好者騎行速度的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：C7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此可得；構(gòu)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上為減函數(shù)，由此可得，從而可得答案.【詳解】，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，；，令，，因?yàn)?/span>，所以，所以在上為減函數(shù)，又，所以，即，，綜上所述：.故選：D8．如圖，已知正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)狀圖形，稱為“勾股樹(shù)”.記某勾股樹(shù)中最大正方形的邊長(zhǎng)為，第二大的正方形的邊長(zhǎng)為……以此類推，構(gòu)成數(shù)列，且，若數(shù)列滿足，則使得成立的的值有（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】依題意可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)求出，即可得到的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)，由得到，解得的取值范圍，即可得解.【詳解】依題意可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以，解得，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，解得，又，所以滿足條件的的取值集合為.故選：B 二、多選題9．下列運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)合選項(xiàng)，依次計(jì)算即可求解.【詳解】A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確.故選：BD.10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為，若，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求出和，可判斷A和B，再求出和和判斷C和D.【詳解】由，得，由，得，得，得，得，故B正確；將代入，得，故A不正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．曲線在處的切線與直線垂直B．在上單調(diào)遞增C．的極小值為D．在上的最小值為【答案】BC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出，即可判斷A，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷B、C、D.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故A錯(cuò)誤；令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極小值為，故C正確；在上單調(diào)遞減，所以最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，數(shù)列隔項(xiàng)成等差，通過(guò)分奇偶，求出通項(xiàng)公式，即可逐一驗(yàn)證各項(xiàng)正誤.【詳解】解：根據(jù)，得，解得：，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，對(duì)于A, ,故A正確，對(duì)于B, 若數(shù)列是等比數(shù)列, 即要求數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)上述結(jié)論，數(shù)列不為等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C, ,故C正確，對(duì)于D, ,故D正確，故選：ACD. 三、填空題13．已知首項(xiàng)為的數(shù)列滿足，則________.【答案】【分析】根據(jù)遞推公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，.故答案為：14．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】分析可知有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，由，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，則，解得或，不妨設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、且，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則________.【答案】【分析】由，得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而可得.【詳解】由，得，因?yàn)?/span>，所以，進(jìn)而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：.16．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得，所以，即實(shí)數(shù)a取值范圍為.故答案為：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解；（2）由（1）可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意得，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，解得，所以，；（2）由（1）知，，是一條開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，且最小值為，所以的最小值為.18．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)和，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，所以函數(shù)在處的切線方程為，即切線方程為；（2），當(dāng)，解得：或，當(dāng)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，所以，又，符合上式，故.（2）由（1）知，則，所以，則.20．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值； (2)  【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出.由題意可得在上恒成立，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，即為最小值，且最小值為.又恒成立，所以在上恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根據(jù)條件，列出首項(xiàng)和公差的方程組，即可求解；（2）由（1）可知，，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，則，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)為，解得：或（舍），所以，；（2），        兩式相減得，22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)且時(shí)，記，探究與1的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況，并結(jié)合端點(diǎn)值大小，分類討論得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）判斷出，不等式同構(gòu)變形得到，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，并構(gòu)造的單調(diào)性，證明出結(jié)論.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，其中，若，即時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，若，即時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，若，即時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，若，即時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，若，即時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，綜上：當(dāng)或時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，當(dāng)或時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.（2），理由如下：，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，要證，即證，其中，故即證，令，，即證，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來(lái)進(jìn)行求解，本題難點(diǎn)是變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解. 

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