2022-2023學(xué)年黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的方程是（    ）A． B．C． D． 【答案】D【分析】由題意設(shè)直線l的方程為，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線l的方程.【詳解】因?yàn)橹本€l與直線垂直，所以設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，所以直線l的方程為，故選：D2．如果方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，明確的取值，根據(jù)焦點(diǎn)的位置，設(shè)不等式，可得答案.【詳解】由方程，則，，即，可得.故選：B.3．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，可得出的值，進(jìn)而可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出該雙曲線的方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，，解得，因此，該雙曲線的方程為.故選：A.4．臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合求直線與圓相交的弦長，進(jìn)而可得城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當(dāng)臺風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險區(qū)，又臺風(fēng)的運(yùn)動軌跡為，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，圓心到直線的距離，則，所以時間，故選：C.5．過點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB中點(diǎn)為M，設(shè)直線l的斜率為，直線OM的斜率為，則的值為（    ）A． B．－2 C． D．2【答案】A【分析】假設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減求出，已知M坐標(biāo)求出，最后相乘即可得出答案.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程兩式相減得，所以，，.故選:A6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在C的右支上運(yùn)動，的內(nèi)心為I，若，則C的離心率為（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，的內(nèi)切圓I與、、分別相切于點(diǎn)P、Q、N，根據(jù)雙曲線的概念得到，從而得到A與N重合，再結(jié)合題意得到，即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，的內(nèi)切圓I與、、分別相切于點(diǎn)P、Q、N，如圖所示：.所以，，，則，而，所以，即A與N重合，即內(nèi)切圓I與相切于點(diǎn)A，所以，又，所以A為的中點(diǎn)，所以，故.故選：A.7．已知圓C：和兩點(diǎn),，若圓C上存在點(diǎn)P使得，則m的取值范圍是（    ）A．[8，64] B．[9，64] C．[3，7] D．[9，49]【答案】C【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為，由可得P的軌跡為，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，所以兩圓有公共點(diǎn)，從而求解即可.【詳解】解：設(shè)P的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，,，所以，化簡得，又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C：上，所以圓與圓C有公共點(diǎn)，所以且，解得，故選：C．8．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關(guān)于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實(shí)軸長為，，，（） ，則，解之得又則則，則則，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則的最小值為故選：B 二、多選題9．已知曲線C：，則（    ）A．當(dāng)時，則C的焦點(diǎn)是，B．當(dāng)時，則C的漸近線方程為C．當(dāng)C表示雙曲線時，則m的取值范圍為或D．不存在實(shí)數(shù)m，使C表示圓【答案】ABC【分析】對于A，直接由方程求出，從而可求出進(jìn)行判斷，對于B，直接由方程求漸近線方程，對于C，由求解即可，對于D，當(dāng)時表示圓，求出判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，曲線C：，則，則，所以C的焦點(diǎn)是，，所以A正確，對于B，當(dāng)時，曲線C：表示雙曲線，則由，得C的漸近線方程為，所以B正確，對于C，當(dāng)C表示雙曲線時，，解得或，所以C正確，對于D，當(dāng)時，即時，曲線C：，即表示圓，所以D錯誤，故選：ABC10．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)和連線的斜率之積等于，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與交于兩點(diǎn)，則（    ）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意求得雙曲線的方程，可判定A正確；根據(jù)離心率的定義，求得的值，可判定B不正確；利用直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，可判定D正確.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由直線與的斜率之積為，可得，整理得，即曲線的方程為，所以A正確；曲線的離心率，所以B不正確；由圓，可得圓心為，可得圓心到曲線的漸近線的距離，又由圓的半徑為1，所以曲線的漸近線與圓相切，所以C正確；聯(lián)立方程組 ，整理得，則，，所以，所以D正確．故選：ACD．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動點(diǎn)，且的最小值為1，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則（    ）A．B．若，則M到x軸距離為4C．若，則D．的最小值為4【答案】AD【分析】根據(jù)的最小值即為，求得p，判斷A；利用拋物線的焦半徑公式可判斷B；根據(jù)求出的縱坐標(biāo)，結(jié)合焦半徑公式判斷C；判斷P點(diǎn)位置，利用的幾何意義，幾何作圖分析，可求得其最小值，判斷D.【詳解】拋物線上的點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)F距離的最小值為1，則有，解得，A正確；拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，對于B，點(diǎn)，由拋物線的定義知，，有，所以M到x軸距離，B不正確；對于C，，由得：，即，又，即，則，解得，于是得，C不正確；對于D，拋物線中，當(dāng)時，，因此點(diǎn)在拋物線上方，過點(diǎn)P作于，交拋物線于點(diǎn)Q，連QF，過A作于，連AF，AP，，如圖，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A與Q重合時取等號，所以，D正確.故選：AD12．以下四個命題表述正確的是（    ）A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則D．圓上存在4個點(diǎn)到直線l：的距離都等于1【答案】AB【分析】設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立橢圓方程，利用判別式求得參數(shù)b，即可求得最大距離，判斷A；求出P點(diǎn)所在圓的方程，進(jìn)而求得公共弦方程，結(jié)合點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，求出直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷B；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得參數(shù)，判斷C；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷，可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，當(dāng)時，直線與距離為；當(dāng)時，直線與距離為，故橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，故A正確.對于B，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>AB為切點(diǎn)，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，以OP為直徑的圓的方程為，和相減可得，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程，得，令，則，即直線AB經(jīng)過定點(diǎn)，故B正確.對于C，曲線：，曲線:，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，故，解得，故C不正確.對于D，圓的圓心到直線的距離為，圓的圓心到直線的距離為，即直線與圓相切，且與距離為1，則直線與圓的切點(diǎn)到直線距離為1，由于與間的距離為1，則直線與圓的2個交點(diǎn)到直線距離也是1，因此圓上存在3個點(diǎn)到直線的距離都等于1，故D錯誤.故選：AB【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題判斷的難點(diǎn)在于B選項(xiàng)的判斷，解答時要求出動點(diǎn)P所在圓的方程，進(jìn)而利用圓的方程求出公共弦方程，再結(jié)合點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，求出直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo). 三、填空題13．直線l過且與圓相切，則直線l的方程為           【答案】或.【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時直線符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，利用圓心到直線的距離為半徑求出直線斜率即可.【詳解】由圓的方程，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線：，與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：，即，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離，即，解得，所以：；綜上，直線的方程為或.故答案為：或.14．已知雙曲線的焦距等于，則雙曲線的漸近線方程為      ．【答案】或【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得到，，再結(jié)合即可求得，從而可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，易得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：或.15．已知直線l：與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與圓交于C、D兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是             ．【答案】【分析】求出直線l所過的定點(diǎn)恰好為圓的圓心，由得到為AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合，且，求出，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】變形為，恒過點(diǎn)，即直線經(jīng)過圓的圓心，因?yàn)?/span>，所以為AB的中點(diǎn)，設(shè)，則，則有，兩式相減得：，即，因?yàn)?/span>，且，所以，則離心率，故答案為：.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是        （1）雙曲線的離心率    （2）當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上    （3）為定值    （4）的最小值為【答案】（1）（3）（4）【分析】先依據(jù)題給條件求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求得雙曲線的離心率判斷（1）；求得△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)判斷（2）；對化簡整理，并求值判斷（3）；求得的最小值判斷（4）.【詳解】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的漸近線為，由圓與雙曲線的漸近線相切，可得，解之得或（舍），則雙曲線，，，（1）雙曲線的離心率.判斷正確；（2）為雙曲線右支上（異于右頂點(diǎn)）一點(diǎn)，設(shè)△的內(nèi)切圓與x軸相切于M點(diǎn)，則，解之得，則切點(diǎn)則△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為，則圓心總在直線上.判斷錯誤；（3）設(shè)雙曲線右支上的動點(diǎn)坐標(biāo)為，則又雙曲線的漸近線為則，即為定值.判斷正確；（4）設(shè)雙曲線右支上的動點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，可得由，可得不妨令，則由為雙曲線右支上的動點(diǎn)，可得，則則，即的最小值為.判斷正確.故答案為：（1）（3）（4） 四、解答題17．設(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.【答案】(1)或.(2)6， 【分析】（1）分截距是否為0兩種情況，求得參數(shù)a，即可得答案.（2）求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意確定參數(shù)范圍，求出的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時滿足條件，此時，解得，此時直線方程為.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線斜率為，故，解得，可得直線l的方程為:.綜上所述，直線l的方程為或.（2）由題意知，令，解得，解得； 令，解得，解得或.綜上有.∴， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.∴（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是6，此時直線方程，即.18．已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長為(1)求圓C的方程；(2)由直線上一點(diǎn)P向圓C引切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，判斷出圓的半徑，利用直線截圓所得弦長列方程來求得，從而求得圓的方程.（2）先求得，通過求的最小來求得的最小值.【詳解】（1）依題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，到直線的距離為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由（1）得，圓的圓心為，半徑，，所以當(dāng)最小時，最小.到直線的距離為，所以的最小值為，所以四邊形PACB面積的最小值為.19．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解即可；（2）討論當(dāng)直線斜率為0時不成立，再設(shè)的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理，再代入求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距，則又經(jīng)過點(diǎn)(，)，，因此，橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線斜率為0時，與橢圓交于，而，此時，故不符合題意．②當(dāng)直線斜率不為0時，的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線l的方程代入橢圓方程，并化簡得．解得或由韋達(dá)定理得，同理可得．所以即．解得：符合題意因此，直線l的方程為或20．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在拋物線上，試問在直線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，此時或． 【分析】(1)將點(diǎn)代入拋物線方程去即可；(2)要使得四邊形是平行四邊形只需要，找出和之間坐標(biāo)的關(guān)系即可.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以拋物線的方程為．（2）由(1)知，設(shè)．因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以，所以，所以即，將點(diǎn)代入拋物線的方程，可得，即，解得或，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足四邊形是平行四邊形．所以直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，此時或．【點(diǎn)睛】(1)若四邊形為平行四邊形，則可利用或，然后引入坐標(biāo)，代入方程（拋物線）或結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系（橢圓、雙曲線）求解；(2)若四邊形為菱形，可先求出的中點(diǎn)，然后利用求解，或直接利用求解；(3)若四邊形為矩形，則利用求解．21．在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1) ；(2)證明見解析， ． 【分析】（1）寫出的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組，求得和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓方程， 根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出，根據(jù)即可求得和 的關(guān)系，即可證明直線過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)．【詳解】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過點(diǎn)，因此．由 ，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點(diǎn)．22．如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)，記，的面積分別為，．(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)求的最小值及此時點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)，準(zhǔn)線方程(2)(3)的最小值為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為 【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定p的值和準(zhǔn)線方程即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得面積的表達(dá)式，再用代換并化簡即可；（3）根據(jù)已求的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可求得的最小值和點(diǎn)G的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，即，準(zhǔn)線方程.（2）設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：，故：，，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式可得：，，令可得：，則.即，由斜率公式可得：，直線AC的方程為：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，則，則，令 ，得.即關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為.（3）設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時等號成立，即的最小值為，此時，，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系，本題主要考查了拋物線準(zhǔn)線方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形重心公式的應(yīng)用，基本不等式求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 

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