1．（5分）經(jīng)過點（0，1）且與直線x+2y﹣1＝0垂直的直線的方程為（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0
2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．
C．D．
3．（5分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當(dāng)a變化時，△ABC的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
4．（5分）拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線與雙曲線＝1的兩條漸近線所圍成的三角形面積等于（ ）
A．3B．2C．2D．
5．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝4x上任意一點，若M是線段PF的中點，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
6．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），則數(shù)列{an}通項公式an為（ ）
A．3n﹣1B．3n+1﹣8C．3n﹣2D．3n
7．（5分）在數(shù)列{an}中，若a1＝0，a n+1﹣an＝2n，則++…+的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知定點F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2+y2＝1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡方程是（ ）
A．x2+＝1B．x2﹣＝1C．+y2＝1D．﹣y2＝1
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
（多選）9．（5分）已知雙曲線C：﹣＝1（b＞a＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上存在點P（點P不與左、右頂點重合），使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的可能取值為（ ）
A．B．C．D．2
（多選）10．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，則（ ）
A．焦點F的坐標(biāo)為（1，0）
B．過點A（﹣1，0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點
C．直線x+y﹣1＝0與拋物線C相交所得弦長為8
D．拋物線C與圓x2+y2＝5交于M，N兩點，則|MN|＝4
（多選）11．（5分）已知單調(diào)遞增的正項等比數(shù)列{an}中，a5﹣a1＝30，a4﹣a2＝12，其公比為q，前n項和Sn，則下列選項中正確的有（ ）
A．q＝2B．a(chǎn)8＝512C．Sn＝2an﹣1D．Sn＜an+1
（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，過直線EF的平面分別與棱BB'，DD'交于點M，N（ ）
A．
B．
C．四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2：3
D．四棱錐A﹣MENF與多面體ABCD﹣EMFN體積之比為1：3
三、填空題：本題共4小題，每小題5分.共20分．
13．（5分）圓C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4上到直線的距離為1的點的個數(shù)為 ．
14．（5分）在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，則AC'＝ ．
15．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，雙曲線上一點P滿足|PF1|+|PF2|＝6，則△PF1F2的面積是 ．
16．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一點，則|MN|﹣|MF1|的最小值為 ．
四、解答題（70分）
17．（10分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0．
（1）求圓C關(guān)于直線x﹣2y﹣2＝0對稱的圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k取何值時，直線kx﹣y+3k+1＝0與圓C相交的弦長最短，并求出最短弦長．
18．（12分）數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn＝3n﹣2，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．
19．（12分）設(shè)A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a＞0）．
（1）求P點的軌跡E方程；
（2）當(dāng)a＞1時，求△ABP面積的最大值．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，點E是PB的中點．
（Ⅰ）線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面，不存在請說明理由；
（Ⅱ）若PC＝2，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
21．（12分）已知橢圓C：，其離心率為，若F1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，x軸上方一點P在橢圓C上，且滿足PF1⊥PF2，．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過點P的直線l交C于另一點Q，點M與點Q關(guān)于x軸對稱，直線PM交x軸于點N，求直線l的方程．
22．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M（4，4）
（1）求以MF為直徑的圓E的方程：
（2）若直線l交拋物線C于異于M的P，Q兩點，且直線MP和直線MQ關(guān)于直線x＝4對稱，求直線PQ的方程．
2022-2023學(xué)年安徽省安慶市懷寧縣新安中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（5分）經(jīng)過點（0，1）且與直線x+2y﹣1＝0垂直的直線的方程為（ ）
A．x+2y﹣2＝0B．x﹣2y+2＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y﹣1＝0
【分析】與直線x+2y﹣1＝0垂直的直線的斜率為2，結(jié)合點斜式即可求解直線方程．
【解答】解：直線x+2y﹣1＝3的斜率為，
則與直線x+4y﹣1＝0垂直的直線的斜率為5，
又過點（0，1），
故所求直線方程為：y＝7x+1，即2x﹣y+4＝0．
故選：C．
【點評】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．
C．D．
【分析】向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，t）的夾角為鈍角，得，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．
【解答】解：∵向量＝（2，3），，8，t）的夾角為鈍角，
∴，
解得t＜，且t≠﹣6，
∴實數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，﹣6）∪（﹣7，）．
故選：B．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積、向量的夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當(dāng)a變化時，△ABC的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】當(dāng)實數(shù)a變化時，△ABC的最大面積為9，可知此時AC與BC相互垂直時，可求出r的值，進而求出a的值．
【解答】解：設(shè)AC與BC的夾角為θ，
由題意可知，S△ABC＝AC×BC×sinθ＝r2sinθ≤r2＝6，當(dāng)sinθ＝1時取等號，
故△ABC的面積的最大值為2．
故選：C．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最大值的求法，屬于中檔題．
4．（5分）拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線與雙曲線＝1的兩條漸近線所圍成的三角形面積等于（ ）
A．3B．2C．2D．
【分析】寫出拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線與雙曲線＝1的兩條漸近線方程是解決本題的關(guān)鍵，然后確定三角形的形狀和邊長利用面積公式求出三角形的面積．
【解答】解：拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線為x＝﹣3，雙曲線x，y＝﹣x的等邊三角形，所求三角形面積等于．
故選：A．
【點評】本題考查三角形形狀的確定和面積的求解，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與其漸近線方程的聯(lián)系，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線方程的聯(lián)系，考查學(xué)生直線方程的書寫，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于基本題型．
5．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝4x上任意一點，若M是線段PF的中點，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點坐標(biāo)為F（，0），設(shè)P（，y0），M（x，y），由M為線段PF的中點，可得M點的坐標(biāo)，進而可得直線OM的斜率為kOM＝，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為F（，0），
設(shè)P（，y0），M（x，
因為M為線段PF的中點，
所以x＝（+）＝+，
所以直線OM的斜率為kOM＝＝≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即y0＝p時等號成立，
因為拋物線的方程為y2＝4x，
所以p＝2，
所以當(dāng)y0＝8時，直線OM時的斜率的最大值為1，
故選：A．
【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)和基本不等式，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
6．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），則數(shù)列{an}通項公式an為（ ）
A．3n﹣1B．3n+1﹣8C．3n﹣2D．3n
【分析】在an＝3an﹣1+4兩邊同時加上2，整理判斷出數(shù)列{ an+2}是等比數(shù)列，求出{ an+2}的通項后，再求an．
【解答】解：在an＝3an﹣1+6兩邊同時加上2，得an+2＝6an﹣1+6＝8（an﹣1+2），
根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列{ an+2}是等比數(shù)列，
且公比為3．以a1+2＝3為首項．
等比數(shù)列{ an+2}的通項an+7＝3?3n﹣3＝3n，
移向得an＝3n﹣5．
故選：C．
【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，數(shù)列通項求解，考查變形構(gòu)造，轉(zhuǎn)化、計算能力．形如：an+1＝pan+q遞推數(shù)列，這種類型可轉(zhuǎn)化為an+1+m＝4（an+m）構(gòu)造等比數(shù)列求解．
7．（5分）在數(shù)列{an}中，若a1＝0，a n+1﹣an＝2n，則++…+的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知遞推式和數(shù)列恒等式，運用等差數(shù)列的求和公式，可得an＝n（n﹣1），即有＝＝﹣，n≥2，n∈N*，再由數(shù)列的裂項相消求和，化簡即可得到所求和．
【解答】解：數(shù)列{an}中，若a1＝0，a n+2﹣an＝2n，
可得an＝a1+（a5﹣a1）+（a3﹣a5）+…+（an﹣an﹣1）
＝0+5+4+…+2（n﹣3）＝（n﹣3）?2n＝n（n﹣1），
即有＝＝﹣，n≥5，
可得++…++﹣+…+﹣
＝7﹣＝．
故選：A．
【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列的求和方法，注意運用數(shù)列恒等式和裂項相消求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題．
8．（5分）已知定點F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2+y2＝1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的垂直平分線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡方程是（ ）
A．x2+＝1B．x2﹣＝1C．+y2＝1D．﹣y2＝1
【分析】ON＝1，PM＝PF1，進而得到|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2，再根據(jù)雙曲線的定義可得點P的軌跡方程．
【解答】解：連接ON，由題意可得ON＝11的中點，
∴MF5＝2，
∵點F1關(guān)于點N的對稱點為M，
線段 F7M 的中垂線與直線 F2M 相交于點 P，
由垂直平分線的性質(zhì)可得 PM＝PF1，
∴|PF3﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF5＝2＜F1F6，
由雙曲線的定義可得點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，
∴c＝4，a＝1，
∴所求雙曲線方程為：．
故選：B．
【點評】本題考查雙曲線的定義與方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
（多選）9．（5分）已知雙曲線C：﹣＝1（b＞a＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線上存在點P（點P不與左、右頂點重合），使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的可能取值為（ ）
A．B．C．D．2
【分析】雙曲線上存在不是頂點的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，PF1與y軸交于點Q，由平面幾何的知識及雙曲線定義得|QF1|＝2a，在直角三角形QF1O中由邊的關(guān)系得不等式，得出e的范圍，同時由∠PF1F2的范圍又是一個不等關(guān)系，從而得出離心率范圍．
【解答】解：雙曲線上存在不是頂點的P，使得∠PF2F1＝8∠PF1F2，則P點在右支上，
設(shè)PF5與y軸交于點Q，由對稱性|QF1|＝|QF2|，所以∠QF4F2＝∠QF2F7，
所以∠PF2Q＝∠PF2F4﹣∠QF2F1＝8∠PF1F2＝∠PQF3，|PQ|＝|PF2|，
所以|PF1|﹣|PF5|＝|PF1|﹣|PQ|＝|QF1|＝6a，由|QF1|＞|OF1|得8a＞c，所以，
又△PF1F2中，∠PF5F2+∠PF2F7＝4∠PF1F5＜180°，∠PF1F2＜45°，
所以＝csPF1F2＞，即，
綜上，＜e＜2．
故選：BC．
【點評】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線離心率取值范圍的求解等知識，屬于中等題．
（多選）10．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，則（ ）
A．焦點F的坐標(biāo)為（1，0）
B．過點A（﹣1，0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個公共點
C．直線x+y﹣1＝0與拋物線C相交所得弦長為8
D．拋物線C與圓x2+y2＝5交于M，N兩點，則|MN|＝4
【分析】根據(jù)p的幾何意義先求出p，再逐項判斷即可．
【解答】解：∵焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，∴p＝22＝4x，∴焦點F的坐標(biāo)（1，故A正確；
過點A（﹣2，0）有拋物線的2條切線，共5條直線與拋物線C有且只有一個公共點；
由，得y2+4y﹣4＝0，弦長為1﹣y2|＝＝＝8；
由，得x2+6x﹣5＝0，解得x＝2或x＝﹣5（舍去），±2），故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線相交時的焦點弦長問題，屬中檔題．
（多選）11．（5分）已知單調(diào)遞增的正項等比數(shù)列{an}中，a5﹣a1＝30，a4﹣a2＝12，其公比為q，前n項和Sn，則下列選項中正確的有（ ）
A．q＝2B．a(chǎn)8＝512C．Sn＝2an﹣1D．Sn＜an+1
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項公式可求公比去，進而可求a1，然后結(jié)合通項公式及求和公式檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：因為單調(diào)遞增的正項等比數(shù)列{an}中，a5﹣a1＝30，a8﹣a2＝12，
所以＝30，，
上面兩方程相除，整理得2﹣5q+7＝0，
解得q＝2或q＝（舍）；
當(dāng)q＝2時，a2＝2，a8＝28＝256，B錯誤；
an＝2n，Sn＝＝2n+3﹣2＝2an﹣6，C錯誤；
Sn﹣an+1＝2n+3﹣2﹣2n+5＝﹣2＜0，即Sn+4＜an+1，D正確．
故選：AD．
【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）12．（5分）如圖所示，正方體ABCD﹣A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，過直線EF的平面分別與棱BB'，DD'交于點M，N（ ）
A．
B．
C．四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為2：3
D．四棱錐A﹣MENF與多面體ABCD﹣EMFN體積之比為1：3
【分析】證明EF⊥平面BDD'B'，進而得EF⊥MN，即可得A選項正確；證明四邊形MENF為菱形即可得B選項正確；由菱形性質(zhì)得四邊形MENF的面積，再分別討論MN的最大值與最小值即可；根據(jù)割補法求解體積即可．
【解答】解：對于A選項，如圖，B'D'．由題易得EF⊥BD，BD∩BB′＝B，
所以EF⊥平面BDD'B'，又MN?平面BDD'B'，
因此，故A正確．
對于B選項，由正方體性質(zhì)得：平面BCC'B'∥平面ADD'A'，
平面BCC'B'∩平面EMFN＝MF，平面ADD'A'∩平面EMFN＝EN，
同理得ME∥NF，又EF⊥MN，
因此，故B正確．
對于C選項，由B易得四邊形MENF的面積，
所以當(dāng)點M，N分別為BB'，四邊形MENF的面積S最小，
此時，即面積S的最小值為1；
當(dāng)點M，N分別與點B（或點B'），四邊形MENF的面積S最大，
此時，即面積S的最大值為，
所以四邊形MENF的面積最小值與最大值之比為，故C不正確．
對于D選項，四棱錐A﹣MENF的體積；
因為E，F(xiàn)分別是AA'，所以BM＝D'N，于是被截面MENF平分的兩個多面體是完全相同的，
則它們的體積也是相同的，因此多面體ABCD﹣EMFN的體積，
所以四棱錐A﹣MENF與多面體ABCD﹣EMFN體積之比為1：8，故D正確．
故選：ABD．
【點評】本題考查立體幾何與向量的綜合、截面面積的最值、幾何體的體積，考查空間思維能力與運算求解能力，是中檔題．本題解題的關(guān)鍵在于證明四邊形MENF為菱形，利用割補法將四棱錐A﹣MENF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐M﹣AEF和N﹣AEF的體積之和，將多面體ABCD﹣EMFN的體積轉(zhuǎn)化為正方體的體積的一半求解．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分.共20分．
13．（5分）圓C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4上到直線的距離為1的點的個數(shù)為 3 ．
【分析】由題意得圓心C（1，﹣1），半徑r＝2，求出圓心C到直線l的距離d，結(jié)合r﹣d＝1，即可得出答案．
【解答】解：∵圓C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
∴C（8，﹣1），
∴圓心C到直線的距離，
則圓上到直線的距離為1的點的個數(shù)為是4，
故答案為：3．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
14．（5分）在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，則AC'＝ ．
【分析】利用空間向量加法法則，得＝，由此能求出AC'的值．
【解答】解：在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，
∠BAD＝∠A'AB＝∠A'AD＝60°，AB＝3，AA'＝5，
∵＝，
∴＝（）2
＝+2+
＝9+16+25+3×2+3×5+3×5
＝97，
∴AC'＝．
故答案為：．
【點評】本題考查線段長的求法，考查空間向量加法法則、向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
15．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，雙曲線上一點P滿足|PF1|+|PF2|＝6，則△PF1F2的面積是 2 ．
【分析】設(shè)P在左支上，則|PF2|﹣|PF1|＝2a＝4，又|PF1|+|PF2|＝6，可得|PF2|＝5，|PF1|＝1，利用余弦定理求得∠F1PF2，利用面積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)P在左支上，則|PF2|﹣|PF1|＝6a＝4，又因為|PF1|+|PF8|＝6，
所以|PF2|＝6，|PF1|＝1，
因為，由余弦定理可得，，
所以，故，
△PF8F2的面積是S＝．
故答案為：4．
【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，是中檔題．
16．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一點，則|MN|﹣|MF1|的最小值為 ．
【分析】根據(jù)橢圓的定義，將|MN|﹣|MF1|的最小值轉(zhuǎn)化為|MN|+|MF2|﹣4，再根據(jù)|MN|≥|ME|﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)M，N，E，F(xiàn)2共線時，等號成立），再結(jié)合兩點之間的距離公式，即可求解．
【解答】解：如圖所示，
∵橢圓，
又∵M為橢圓C上任意一點，N為圓E：（x﹣5）2+（y﹣2）4＝1上任意一點，
∴|MF1|+|MF6|＝4，|MN|≥|ME|﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)M，N，
∴|MN|﹣|MF2|＝|MN|﹣（4﹣|MF2|）＝|MN|+|MF7|﹣4≥|ME|+|MF2|﹣5≥|EF2|﹣5，
當(dāng)且僅當(dāng)M，N，E，F(xiàn)5共線時，等號成立，
∵F2（1，7），2），
∴|EF2|＝，
∴|MN|﹣|MF1|的最小值為6﹣5．
故答案為：．
【點評】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，考查數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．
四、解答題（70分）
17．（10分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0．
（1）求圓C關(guān)于直線x﹣2y﹣2＝0對稱的圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k取何值時，直線kx﹣y+3k+1＝0與圓C相交的弦長最短，并求出最短弦長．
【分析】（1）先將圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再結(jié)合中點坐標(biāo)公式和兩條直線的垂直關(guān)系，求得圓D的坐標(biāo)，得解；
（2）易知直線kx﹣y+3k+1＝0恒過點M（﹣3，1），當(dāng)該直線與直線CM垂直時，其與圓C相交的弦長最短，再由兩條直線的垂直關(guān)系求得k的值，由弦長公式求得最短弦長．
【解答】解：（1）將圓C的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為（x﹣1）2+（y﹣4）2＝25，其中圓心為（1，半徑為6，
設(shè)點（1，2）關(guān)于直線x﹣5y﹣2＝0的對稱點為（m，
則，
解得m＝8，n＝﹣2，
∴圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）7+（y+2）2＝25．
（2）直線kx﹣y+6k+1＝0可變形為k（x+6）﹣y+1＝0，
∴該直線恒過點M（﹣8，1），
當(dāng)該直線與直線CM垂直時，其與圓C相交的弦長最短，
由（1）知，點C為（1，
∴直線CM的斜率kCM＝＝，
∴k?kCM＝k?＝﹣1，
∴k＝﹣8，直線方程為4x+y+11＝0，
此時圓心C（6，2）到直線的距離d＝＝，
∴弦長l＝2＝2×，
故當(dāng)k＝﹣2時，直線kx﹣y+3k+1＝7與圓C相交的弦長最短．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點到直線的距離公式，弦長公式，點關(guān)于直線的對稱問題等是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
18．（12分）數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn＝3n﹣2，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．
【分析】（1）運用數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．
【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣1，
n＝5時，a1＝S1＝4a1﹣1，可得a4＝1，
n＞1時，an＝Sn﹣Sn﹣6，
由Sn＝2an﹣1，Sn﹣7＝2an﹣1﹣7，
兩式相減可得，an＝2an﹣2an﹣2，
即為an＝2an﹣1，
則數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n﹣1；
（2）anbn＝（3n﹣2）?2n﹣1，
Tn＝5?1+4?7+7?4+…+（7n﹣2）?2n﹣6，
2Tn＝1?2+4?4+4?8+…+（3n﹣8）?2n，
兩式相減可得，﹣Tn＝1+6（2+4+…+7n﹣1）﹣（3n﹣4）?2n
＝1+8?﹣（3n﹣2）?4n
化簡可得，Tn＝5﹣（5﹣5n）?2n．
【點評】本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．
19．（12分）設(shè)A（﹣c，0），B（c，0）（c＞0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a＞0）．
（1）求P點的軌跡E方程；
（2）當(dāng)a＞1時，求△ABP面積的最大值．
【分析】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，由題意得到關(guān)于點的坐標(biāo)的等式，然后化簡可得軌跡方程．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和圓的幾何性質(zhì)求解△ABP面積的最大值即可．
【解答】解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為P（x，y），
化簡可得（1﹣a7）x2+（1﹣a3）y2+2c（3+a2）x+c2（7﹣a2）＝0，
當(dāng)a＝6時，方程為x＝0，
當(dāng)a≠1時，整理可得，
即當(dāng)a＝1時，軌跡方程為x＝0，
當(dāng)a≠4時，軌跡方程為；
（2）當(dāng)a＞1時，軌跡E的方程為，
即軌跡E是以為圓心，，
所以三角形△ABP面積的最大值為．
【點評】本題主要考查軌跡方程的求解、圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，點E是PB的中點．
（Ⅰ）線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面，不存在請說明理由；
（Ⅱ）若PC＝2，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
【分析】（Ⅰ）取PA的中點G，連接GE，GD，可得GE∥AB，又由AB∥DC，推出GE∥DC，進而可得出結(jié)論．
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量＝（x1，y1，z1），平面ACE的法向量＝（x2，y2，z2），再計算cs＜，＞，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）證明：存在PA的中點G滿足條件，
連接GE，GD，
所以GE∥AB，又由已知AB∥DC，
所以GE∥DC，所以G，E，C．
（Ⅱ）取AB的中點M，連接CM，
以CM，CD，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，8），0，2），2，0），﹣1，E（，﹣，
所以＝（1，1，＝（4，0，＝（，﹣，
設(shè)＝（x2，y1，z1）為平面PAC的法向量，
則＝x5+y1＝0，?＝8z1＝0，
得z5＝0，令x1＝5，y1＝﹣1，得＝（3，0），
設(shè)＝（x2，y6，z2）平面ACE的法向量，
則?＝x2+y7＝0，?＝x2﹣y2+z2＝3，
取x2＝1，y2＝﹣2，z2＝﹣3，即＝（1，﹣1），
所以cs＜，＞＝＝，
又因為所求二面角為銳角，所以二面角P﹣AC﹣E的余弦值為．
【點評】本題考查四點共面問題，利用空間向量求二面角，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．
21．（12分）已知橢圓C：，其離心率為，若F1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，x軸上方一點P在橢圓C上，且滿足PF1⊥PF2，．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過點P的直線l交C于另一點Q，點M與點Q關(guān)于x軸對稱，直線PM交x軸于點N，求直線l的方程．
【分析】（Ⅰ）依題意可得且，根據(jù)數(shù)量積的運算律，求出c，再根據(jù)離心率及c2＝a2﹣b2，求出a、b，即可得解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出Q點坐標(biāo)，從而得到M點坐標(biāo)，再求出直線PM方程，求出N的坐標(biāo)，由△PQN的面積是△QMN的面積的2倍，可得S△PQM＝S△QMN或S△PQM＝3S△QMN，即可求出k，從而求出直線方程．
【解答】解：（Ⅰ）因為PF1⊥PF2，所以，且
又，所以，
即，即，所以，
又離心率，所以，c2＝a4﹣b2，所以，
所以橢圓方程為；
（Ⅱ）由（1）可得P點的坐標(biāo)為，
依題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由消去y整理得，
所以Q點坐標(biāo)為，
從而M點坐標(biāo)為，
所以直線PM的方程為，
則N點的坐標(biāo)為，
因為△PQN的面積是△QMN的面積的2倍，
所以S△PQM＝S△QMN或S△PQM＝7S△QMN，
當(dāng)S△PQM＝S△QMN時，即，解得；
當(dāng)S△PQM＝5S△QMN時，即，解得；
所以滿足條件的直線l的方程為，
【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達定理及其應(yīng)用等知識，屬于中等題．
22．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M（4，4）
（1）求以MF為直徑的圓E的方程：
（2）若直線l交拋物線C于異于M的P，Q兩點，且直線MP和直線MQ關(guān)于直線x＝4對稱，求直線PQ的方程．
【分析】（1）待定系數(shù)法求p，由圓的幾何特征寫圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立方程寫出根與系數(shù)的關(guān)系，將兩直線的對稱問題轉(zhuǎn)化為斜率之和為0，進而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算．
【解答】解：（1）將點（4，4）代入y3＝2px，得p＝22＝4x，
由題意知F（1，7），
半徑為，
所以圓E的方程為．
（2）解：設(shè)直線PQ的方程為x＝my+n，
聯(lián)立方程組，整理得y2﹣7my﹣4n＝0，
設(shè)P（x5，y1），Q（x2，y5），則Δ＝16m2+16n＞0，y4+y2＝4m，y8y2＝﹣4n，
根據(jù)題意，直線MP和直線MQ的斜率之和為2，
則＝，
所以m＝﹣2，所以直線PQ的方程為x＝﹣6y+n，
所以圓心到直線x＝﹣2y+n的距離，
又弦長為，解得n＝4或7，
經(jīng)檢驗，滿足Δ＞0，
所以直線PQ的方程為x+2y﹣8＝0或x+2y﹣8＝0．
【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:19:01；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號：27613231

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