2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市克東縣第一中學(xué)等2校高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定方法寫出命題的否定即可.【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題， 所以命題“”的否定為：“”. 故選：B.2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得集合，結(jié)合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由集合，又由，根據(jù)集合交集的概念及運算，可得.故選：D.3．已知（i是虛數(shù)單位），z共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得復(fù)數(shù)z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求得答案.【詳解】由可得，故的虛部為，故選：B4．某中學(xué)舉辦以“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走，奮進新征程”為主題的演講比賽，其中9人的比賽成績依次為：83，85，87，87，88，88，91，93，97（單位：分），則這9人成績的第80百分位數(shù)是（    ）A．87 B．91 C．93 D．95【答案】C【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以這9人成績的第80百分位數(shù)是第8個數(shù)，即為93.故選：C5．已知等比數(shù)列的公比為q，則“是“，，成等差數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列，則，若，則，，為常數(shù)數(shù)列，且為等差數(shù)列，所以充分性滿足；若，，成等差數(shù)列，由等差中項的性質(zhì)可得，，化簡可得，，且，則，解得或，所以必要性不滿足；所以“是“，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A6．已知雙曲線C：的一條漸近線的方向向量為，則此雙曲線的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】雙曲線的漸近線為，根據(jù)漸近線的方向向量可得，再求離心率.【詳解】∵漸近線的方向向量為，∴，∴雙曲線的離心率為．故選：B.7．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7)的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知，，，，…為直角頂點，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前n項和，則（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，根據(jù)裂項求和可得，即可得出答案．【詳解】由題意得，則，，，，，，前項和，故．故選：C8．，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù),易得單調(diào)遞增，即可得到結(jié)果.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即,,即故選:A. 二、多選題9．一個正四面體形的骰子，四個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，先后拋擲兩次，每次取著地的數(shù)字．甲表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，則下列說法正確的是（    ）  A．甲發(fā)生的概率為 B．乙發(fā)生的概率為C．甲與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立【答案】AC【分析】由列舉法求解所有基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解概率，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】設(shè)事件表示事件“第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1”，事件表示事件“第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5”，事件表示事件“兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6”，續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的正四面體形的骰子兩次，有共16種等可能的不同結(jié)果，第一次拋擲骰子所得數(shù)字是1的情況有：，甲發(fā)生的概率為：，故A正確；第二次拋擲骰子所得數(shù)字是2的情況有：，乙發(fā)生的概率為：，故B錯誤；兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是5的情況有：，丙發(fā)生的概率為：，兩次拋擲骰子所得數(shù)字之和是6的情況有：，丁發(fā)生的概率為：，，，故事件甲與丙相互獨立，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.10．已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則下列說法正確的是（    ）A．在上的兩個零點B．的圖象關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞增D．將的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象【答案】BD【分析】根據(jù)為對稱軸，可求得值，進而可得的解析式，逐一檢驗選項，即可判斷A、B、C的正誤；由三角函數(shù)的平移變換即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】依題意可得，，即，因為，所以，故.令，所以，令；；，故在上的一個零點，故A不正確；因為，故選項B正確；由，，得，，所以在，上單調(diào)遞減，因為，所以在上單調(diào)遞減，故選項C不正確；將的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，故D正確.故選：BD.11．已知，直線：，直線：，則下列說法正確的是（    ）A．必過定點B．，C．，D．與相交，且它們的交點在圓外【答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)直線過定點運算求解；對B、C：根據(jù)直線的位置關(guān)系分析判斷，對于D：根據(jù)題意分析可得與相交，且它們的交點在以為直徑的圓上，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷.【詳解】因為直線：，即，則可得，解得，即直線必過定點，故A正確，同理可得：直線：必過定點.又因為，所以對，，故C正確，B錯誤；綜上所述：與相交，且它們的交點在以為直徑的圓上，可得圓心，半徑，又因為圓的圓心，半徑，顯然，可得圓與圓外離，即點在圓外，故D正確；故選：ACD.  12．如圖，已知直線與拋物線交于A，B兩點，且，于點D，點M為弦AB的中點，則下列說法正確的是（    ）  A．A，B兩點的橫坐標(biāo)之積為 B．當(dāng)點D的坐標(biāo)為時，C．直線AB過定點 D．點M的軌跡方程為【答案】BCD【分析】對于ACD，設(shè)直線為，設(shè)，將直線方程代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后逐個分析判斷，對于B，先求出，再由可求出，從而可求出直線的方程，再結(jié)合前面得的方程可求出的值.【詳解】對于ACD，設(shè)直線為，設(shè)，由，得，由，得，則，因為，所以，所以，所以，得，由題意可知，所以，所以，所以A錯誤，因為，直線為，所以直線AB過定點，所以C正確，設(shè)，則，，所以，，即，所以點M的軌跡方程為，所以D正確，對于B，因為點D的坐標(biāo)為，所以，因為，所以，所以直線的方程為，即，由前面的計算可知直線為，所以，所以，所以B正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入拋物線方程化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合題意求解，考查計算能力，屬于較難題. 三、填空題13．已知直線l過拋物線C：的的焦點且與C交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)3，則      ．【答案】8【分析】根據(jù)焦點半徑公式得焦點弦長，由此計算．【詳解】設(shè)，則，拋物線中，所以．故答案為：8．14．已知向量，.則在上的投影向量的坐標(biāo)為      ；【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解.【詳解】由向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：. 四、解答題15．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，如圖，在陽馬中，平面ABCD，點E在棱PC上，平面BDE，且，則三棱錐外接球的表面積為      ．  【答案】【分析】通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得，即，通過補形確定陽馬的外接球的直徑，結(jié)合球的表面積公式可得出答案.【詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為平面BDE，平面BDE，所以，面，，所以平面，平面，所以，所以底面為正方形，所以，將陽馬補形為長為2，寬為2，高為2的正方體，  可知其外接球直徑為，故陽馬的外接球半徑，表面積.故答案為：. 五、填空題16．已知點P為圓：上一動點，直線PA，PB分別與圓：相切于A，B兩點，且直線PA，PB分別與y軸交于C，D兩點，則的周長能取得的整數(shù)值為      ．（寫出1個即可）【答案】7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一個均可）【分析】連接，由題意可知圓與y軸切于點，則可得，所以將的周長的周長轉(zhuǎn)化為，所以只要求出的范圍，就可得到的周長的范圍，從而可得答案.【詳解】連接，圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，則圓與y軸切于點，因為直線PA，PB分別與圓：相切于A，B兩點，且直線PA，PB分別與y軸交于C，D兩點，所以，所以的周長為，由圖可知，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以的周長的范圍為，所以的周長能取得的整數(shù)值為7，或8，或9，或，10，或11，故答案為：7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一個均可）  【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線長定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形根據(jù)切線長定理將的周長轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)圓的性質(zhì)可得答案，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題. 六、解答題17．已知是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】答案見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于基本量的方程組，求解后可得的通項公式.（2）利用公式法可求數(shù)列的前項和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴解得，.設(shè)數(shù)列的前項和為，∴.選擇條件①和條件③：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴解得：，.∴.（2），設(shè)等比數(shù)列的公比為，.∴，解得，.設(shè)數(shù)列的前項和為，∴.選擇條件②和條件③：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，∴，解得，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，又，故.∴.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，由（1）可知.【點睛】方法點睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)求解即通過觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問題．18．如圖所示，平行六面體中，，．  (1)求直線與夾角的余弦值；(2)若空間一點P滿足，求點P到直線AB的距離．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）【小問1詳解】解：以為基底，分別求得，，，再利用夾角公式由求解；（2）先求得，再由點P到直線BD的距離求解.【詳解】（1）解：以為基底，因為，所以，同理可得，，則，，，，，，，所以．∴直線與夾角的余弦值是；（2）因為，所以，所以，則點P到直線BD的距離．19．已知橢圓C：的離心率為，且點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)斜率為且不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）設(shè)出直線l方程并與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達定理表示出弦長和點P到直線AB的距離為，進而寫出面積的表達式，求最值即可.【詳解】（1）由題意得，所以；又點在橢圓C上，所以；解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立方程得：，由，得且，且，所以，弦長又P到直線AB的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為2．20．已知數(shù)列的前n項之積為，且滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前n項和為，求證．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求證，（2）根據(jù)裂項求和化簡，即可由單調(diào)性求解.【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，∴數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列；（2）∵，，∴，解得．∴，∴，∴由于，∴，又∵單調(diào)遞減，∴單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴．21．如圖，在梯形ABCD中，，點M在邊AD上，，，以CM為折痕將翻折到的位置，使得點S在平面ABCD內(nèi)的射影恰為線段CD的中點．  (1)求四棱錐體積：(2)若點P為線段SB上的動點，求直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）取CD的中點O，連接SD、SO，取MD的中點F，連接CF，由題意求出，再由三棱錐的體積公式求解即可；（2）延長DC到點E，以C為原點，、的方程分別為x軸、y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面MBS的法向量和直線CP的方向向量，再由線面角的向量公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）取CD的中點O，連接SD、SO，取MD的中點F，連接CF．∵，∴，∵，∴∴，，．由題意知平面ABCD，平面ABCD，∴∵O為CD中點，且，∴，∴∴；（2）延長DC到點E，以C為原點，、的方程分別為x軸、y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∵，且，∴四邊形BCDM為平行四邊形，∴，∴，∴，．  設(shè)，則．設(shè)平面MBS的一個法向量，直線CP與平面MBS所成的解得為．由得，令，則，故可取．∴∴當(dāng)時，取得最大值．所以直線CP與平面MBS所成角的正弦值的最大值．22．已知點P為圓C：上任意一點，點E的坐標(biāo)為，線段PE的垂直平分線l與直線PC交于點A，當(dāng)點P在圓C上運動時：(1)求點A的軌跡W的方程：(2)若直線PC不與x軸垂直，且與曲線W交于A，B兩點（點A，B均在y軸右側(cè)），則在x軸上是否存在點D，使得點C到直線DA，DB的距離相等？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)x軸上存在點可使點C到直線DA、DB的距離相等． 【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義，然后代入計算，分別求得，即可得到軌跡方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線PC的方程為，然后聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理，再由直線DA與直線DB的斜率互為相反數(shù)，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）  連接AE，線段PE的垂直平分線l與直線PC交于點A，所以，因為或者，即，所以，，即，而，由雙曲線的定義知，點A的軌跡W是以C，E為焦點的雙曲線，且，，即，，所以，所以W的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）  假設(shè)存在點，設(shè)，，設(shè)直線PC的方程為，聯(lián)立，得，則，所以且，，因為點C到直線DA，DB的距離相等，所以DC是的平分線，所以直線DA與直線DB的斜率互為相反數(shù)，即，則，因為，，所以，即，所以，即．因為，所以，故x軸上存在點可使點C到直線DA、DB的距離相等．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了雙曲線的定義以及直線與雙曲線相交，計算量較大，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于設(shè)直線PC的方程為，避免討論斜率存在與不存在情況. 

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