2022-2023學(xué)年四川省江油市太白中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．的展開式的第3項的系數(shù)為（    ）A．－40 B．40 C．－80 D．80【答案】B【分析】根據(jù)二項展開式的通項即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項得：，所以第3項的系數(shù)為40.故選：B．2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以．故選：B3．小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝的概率是，小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率是，那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】記事件小智第一盤獲勝，事件小智第二盤獲勝，根據(jù)題意可得出、，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件小智第一盤獲勝，事件小智第二盤獲勝，則，，因此，小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是.故選：B.4．如圖，在四面體中，是的中點，是上靠近點的四等分點，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運算，即可求解．【詳解】解：是的中點，是上靠近點的四等分點，則．故選：B．5．投擲一枚均勻的骰子，記事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，則下列說法正確的是（    ）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B對立C．事件A與事件B相互獨立 D．【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件以及對立事件的概念結(jié)合事件A與事件B的基本事件可判斷A，B；根據(jù)獨立事件的概率公式可判斷C；求出事件的概率可判斷D.【詳解】對于A，B，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”，B：“朝上的點數(shù)為2或4”，這兩個事件都包含有事件：“朝上的點數(shù)為4”，故事件A與事件B不互斥，也不對立，A，B錯誤；對于C，投擲一枚均勻的骰子，共有基本事件6個，事件A：“朝上的點數(shù)大于3”包含的基本事件個數(shù)有3個，其概率為,B：“朝上的點數(shù)為2或4”，包含的基本事件個數(shù)有2個，其概率為,事件包含的基本事件個數(shù)有1個，其概率為,由于,故事件A與事件B相互獨立，C正確；對于D，事件包含的基本事件個數(shù)有朝上的點數(shù)為共4個，故，D錯誤，故選：C6．隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則下列說法一定正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)可求出，而方差無法確定，從而可得出答案．【詳解】因為，由正態(tài)分布的對稱性可得，故B正確，A錯誤，而正態(tài)分布的方差無法確定，故C，D均錯誤.故選：B．7．在某班舉行的成人典禮上，甲?乙?丙三名同學(xué)中的一人獲得了禮物.甲說：“禮物不在我這”；乙說：“禮物在我這”；丙說：“禮物不在乙處”.如果三人中恰有二人說慌，請問___________獲得了禮物.（    ）A．甲 B．乙 C．丁 D．不確定【答案】A【分析】通過推理分析即可求解.【詳解】假設(shè)乙說的是對的，那么甲說的也對，所以假設(shè)不成立，即乙說的不對，所以禮物不在乙處，易知丙說對了，甲說的就應(yīng)該是假的，即禮物在甲那里.故選：A.8．若二項式的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中項的系數(shù)為（    ）A． B． C．1792 D．1120【答案】D【分析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，然后二項展開式通項公式求得結(jié)論．【詳解】因為展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以.通項為，令，得，所以展開式中項的系數(shù)為．故選：D．9．已知的二項展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇數(shù)項二項式系數(shù)和公式求出，再利用展開式求.【詳解】的二項展開式的奇數(shù)項二項式系數(shù)和為64，，即；則的通項公式為，令，則，所以.故選：B10．杭州亞運會共設(shè)個競賽大項，包括個奧運項目和個非奧運項目，共設(shè)杭州賽區(qū)、寧波賽區(qū)、溫州賽區(qū)、金華賽區(qū)、紹興賽區(qū)、湖州賽區(qū)、現(xiàn)需從名管理者中選取人分別到溫州、金華、紹興、湖州四個賽區(qū)負(fù)責(zé)志愿者工作，要求四個賽區(qū)各有一名管理者，且人中甲、乙兩人不去溫州賽區(qū)，則不同的選擇方案共有（    ）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】利用排列組合的知識分別求解甲、乙都沒有被選派、甲、乙有且僅有一人被選派和甲、乙均被選派三種情況下的方案數(shù)，加和即可求得結(jié)果.【詳解】若甲、乙都沒有被選派，則共有種方案；若甲、乙有且僅有一人被選派，則共有種方案；若甲、乙均被選派，則共有種方案；綜上所述：不同的選擇方案有種.故選：B.11．如圖，各棱長都為的四面體中 ，，則向量（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的運算可得，，由向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】由題得夾角，夾角，夾角均為，，，，故選：A.12．國際排球比賽的規(guī)則如下：每場比賽采用“5局3勝制”(即有一支球隊先勝3局就獲勝，比賽結(jié)束).比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取的球隊積3分，負(fù)隊積0分；以取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分，已知甲、乙兩隊比賽，甲每局獲勝的概率為，甲、乙兩隊比賽1場后，設(shè)甲隊的積分為X，乙隊的積分為Y，則的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將分為種情況，再利用事件的相互獨立性的概率乘法公式求解即可.【詳解】乙兩隊比賽1場后，包含以下種情況，①甲隊以取勝，概率為，②甲隊以取勝，即前三局比賽中甲勝負(fù)，第四局甲勝，概率為，③甲隊以取勝，即前四局比賽中甲勝負(fù)，第五局甲勝，概率為，甲、乙兩隊比賽1場后，的概率為，故選：D. 二、填空題13．設(shè)隨機變量，則        ．【答案】10【分析】利用二項分布的方差公式求出，然后再利用其性質(zhì)可求出.【詳解】因為隨機變量，所以，所以，故答案為：10.14．的展開式中，常數(shù)項為            【答案】【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.【詳解】的展開式通項為，其中，因為，在中，由，可得，在中，得，所以，展開式中，常數(shù)項為.故答案為：.15．現(xiàn)有7人排隊接種新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相鄰，則有      種不同的排隊方法.（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】丙丁捆綁作為一個人，7個人7個位置變成6個位置，從中選3個安置甲乙丙（?。渌?/span>3個任意排列，由此可得結(jié)論．【詳解】丙丁捆綁作為一個人，7個人7個位置變成6個位置，從中選3個安置甲乙丙（?。渌?/span>3個任意排列，方法數(shù)為．故答案為：240．16．從正方體的頂點及其中心共9個點中任選4個點，則這4個點在同一個平面的概率為      ．【答案】【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)求出所有共面的4個點的選法，而所有可能情況有種，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】如下圖，選正方體6個側(cè)面上的頂點，共有6種共面的情況；過中心的平面共有6個平面，每個平面含9個點中的5個，則共有種；所有可能情況有種，所以這4個點在同一個平面的概率為.故答案為： 三、解答題17．若．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用賦值法求得正確答案.（2）求得，從而求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，令得，令得，所以（2）由，令得①，由（1）得②，由①②得，所以.18．某校計劃從高三年級中選拔一個班級代表學(xué)校參加“中學(xué)數(shù)學(xué)建模”比賽，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級最后進入決賽．規(guī)定通過回答1道題目作為最后參賽的依據(jù)．現(xiàn)每個班級出4名選手，再從4名選手中各隨機抽取2人回答這個題目．已知甲班的4人中有3人可以正確回答這道題目，乙班的4人能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩班每個人對題目的回答都是相互獨立、互不影響的．(1)分別從甲、乙兩個班級的選手中抽取2人，求這4人都能正確回答的概率；(2)設(shè)甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為X，Y，求隨機變量X，Y的期望，.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用相互獨立事件的概率公式結(jié)合題意求解即可，（2）由題意可得的可能取值為1，2，利用超幾何分布的概率公式可求出相應(yīng)的概率，從而可求出，的可能取值為0，1，2，利用二項分布的期望公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得分別從甲、乙兩個班級的選手中抽取2人，這4人都能正確回答的概率為（2）由題意可得的可能取值為1，2，則，，所以，由題意可知的可能取值為0，1，2，因為乙班的4人能正確回答這道題目的概率均為，所以，所以.19．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】(1) 設(shè),連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè),連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．20．某市質(zhì)監(jiān)部門嚴(yán)把食品質(zhì)量關(guān)，根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對本地的600家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核，通過隨機抽樣抽取其中的50家企業(yè)，統(tǒng)計其考核成績（單位：分）并制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽取3家考核成績不低于92分的企業(yè)代表發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績在區(qū)間的企業(yè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績服從正態(tài)分布，其中近似為這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），近似為樣本方差，經(jīng)計算，得，利用該正態(tài)分布，估計該市600家食品生產(chǎn)企業(yè)中質(zhì)量管理考核成績高于95.4分的有多少家？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，．【答案】(1)分布列見解析；期望為.(2)家. 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得考核成績不低于92分的企業(yè)有家，不低于96分的企業(yè)有2家，得到的所有可能取值為0，1，2，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；（2）求得這50家食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績的平均數(shù)，得出隨機變量，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于92分的企業(yè)有家，其中考核成績不低于96分的企業(yè)有2家，所以的所有可能取值為0，1，2，可得，，，所以的分布列為012所以期望為.（2）解：這50家食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績的平均數(shù)為：由題意得考核成績服從正態(tài)分布，所以，所以，可得，所以估計該市600家食品生產(chǎn)企業(yè)中質(zhì)量管理考核成績高于分的有家.21．如圖，平行六面體中，，，，點滿足(1)求的長度(2)求【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由線段的空間位置關(guān)系可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求即可；（2）由，結(jié)合（1）并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求值.【詳解】（1）如下圖，，又，所以，故.（2）如下圖，，所以.22．學(xué)校舉辦學(xué)生與智能機器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個班的學(xué)生報名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報名表，第二袋有6名男生和5名女生的報名表，現(xiàn)隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2名學(xué)生，讓他們參加比賽.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時輸積分.現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學(xué)，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，比賽共進行二輪.（i）在一輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列；（ii）在兩輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列和均值. 【答案】(1)(2)（i）分布列見解析（ii）分布列見解析，均值為0 【分析】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報名表”，由條件概率公式結(jié)合全概率公式求解；（2）（i）的可能取值為－2，0，2，計算出相應(yīng)概率，即得分布列；（ii）的可能取值為－4，－2，0，2，4，計算出相應(yīng)概率，即得分布列和均值；【詳解】（1）設(shè)“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“隨機抽取2張，恰好抽到一名男生和一名女生的報名表”由全概率公式得（2）（i）設(shè)在一輪比賽中得分為，則的可能取值為－2，0，2，則得分為的分布列用表格表示－202P（ii）設(shè)在二輪比賽中得分為，則的可能取值為－4，－2，0，2，4，則得分為的分布列用表格表示為－4－2024P

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