?中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)——二次函數(shù)（壓軸題專項(xiàng)）
1、【遂寧中考】如圖，頂點(diǎn)為P（3，3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在該圖象上，OB交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接BN、ON．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
①連接OP，當(dāng)OP＝MN時(shí)，請(qǐng)判斷△NOB的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．
②求證：∠BNM＝∠ONM．






2、如圖，直線y＝－x＋n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，－2)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．










3、如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n＜0)以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過(guò)點(diǎn)A的直線y＝kx＋m交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA．拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸，垂足為M.

(1)求k的值；
(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由．









4、已知拋物線y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－4.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線上的一點(diǎn)，BD平分四邊形ABCD的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3) 如圖2，平移拋物線y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－2上有一動(dòng)點(diǎn)P，
過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點(diǎn)E、F(直線PE、PF不與y軸平行)，
求證：直線EF恒過(guò)某一定點(diǎn).






5、如圖1，點(diǎn)A是直線y＝kx(k＞0，且k為常數(shù))上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝(x－h(huán))2＋m交直線y＝x于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C．(點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合)
(1)請(qǐng)寫出h與m之間的關(guān)系；(用含k的式子表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)(如圖2)，求線段AC與OF的比值．
　　
　　　　圖1　　　 　圖2







6、已知直線y＝x－2t與拋物線y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k為已知數(shù))，在t＝2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求k的值；
(2)t由小變大時(shí)，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，y＝x－2t的值總小于y＝a(x－t)2＋k的值，
試求a與m的關(guān)系式；
(3)當(dāng)0≤t＜m時(shí)，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，在a為定值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否存在最大值，若有，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的取值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．









7、如圖，已知矩形ABCO在坐標(biāo)系的第一象限，它的長(zhǎng)AO是寬OC的倍，且有兩邊在坐標(biāo)軸上．將△ACO沿對(duì)角線AC翻折的△ACP，P點(diǎn)落在經(jīng)過(guò)矩形ABCO四個(gè)頂點(diǎn)的⊙E上，⊙E的半徑為R.

(1)用R的式子表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)若拋物線y＝ax2＋x＋c經(jīng)過(guò)P、A兩點(diǎn)，請(qǐng)你判斷點(diǎn)C是否在此拋物線上；
(3)若(2)中的拋物線的頂點(diǎn)為Q，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M，那么直線OB將△AMQ的面積分為兩個(gè)部分的比值k是否是一個(gè)定值？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，請(qǐng)求出其比值k.








8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋m(m為大于0的常數(shù))與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C，開口向下的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為直徑的⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
(1)直接寫出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；
(2)求ac的值；
(3)若直線l平行于AC，且與拋物線y＝ax2＋bx＋c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，連接PA，PC，當(dāng)△PAC的面積等于4時(shí)，求⊙M與拋物線y＝ax2＋bx＋c的交點(diǎn)坐標(biāo)．



9、如圖1，拋物線y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝OA，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P只在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接PB，試問(wèn)△PCB的面積是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出其最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，試問(wèn)，四邊形CDPQ是否能成為菱形？如果能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．









參考答案
1、【遂寧中考】如圖，頂點(diǎn)為P（3，3）的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在該圖象上，OB交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接BN、ON．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
①連接OP，當(dāng)OP＝MN時(shí)，請(qǐng)判斷△NOB的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．
②求證：∠BNM＝∠ONM．

【解析】（1）∵二次函數(shù)頂點(diǎn)為P（3，3）∴設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣3）2+3∵二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣ ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x
（2）設(shè)B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直線OB解析式為：y＝（﹣b+2）x
∵OB交對(duì)稱軸l于點(diǎn)M∴當(dāng)xM＝3時(shí)，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6
∴M（3，﹣b+6）∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3+3
∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3 ∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）
∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為（3+3，﹣3）．
②證明：如圖，設(shè)直線BN與x軸交于點(diǎn)D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）
設(shè)直線BN解析式為y＝kx+d ∴ 解得：∴直線BN：y＝﹣bx+2b
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x軸
∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM


2、如圖，直線y＝－x＋n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，－2)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)．

【解析】：(1)由直線y＝－x＋n過(guò)點(diǎn)
C(0，4)，得n＝4，
∴y＝－x＋4.令y＝0時(shí)，－x＋4＝0，解得x＝3.∴A(3，0)．∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，B(0，－2)，
∴∴
∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2.
(2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P，D(m，－2)．
若△BDP為等腰三角形，則PD＝BD.
①當(dāng)點(diǎn)P在直線BD上方時(shí)，PD＝m2－m.
(ⅰ)若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則m＜ 0，BD＝－m.
∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．
(ⅱ)若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，則m＞ 0，BD＝m.
∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.
②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，m＞ 0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.
綜上所述，當(dāng)m＝或，△BDP為等腰直角三角形，此時(shí)PD的長(zhǎng)為或.


3、如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n＜0)以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE.過(guò)點(diǎn)A的直線y＝kx＋m交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA．拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸，垂足為M.

(1)求k的值；
(2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由．
【解析】 (1)根據(jù)題意得到：E(3n,0)，G(n，－n)．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx＋m＝m，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，m)．
∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，
∵FB＝AF，
∴m2＋n2＝(－2n－m)2，
化簡(jiǎn)，得m＝－0.75n，
對(duì)于y＝kx＋m，當(dāng)x＝n時(shí)，y＝0，
∴0＝kn－0.75n，
∴k＝0.75
(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)E、F、G，
∴
解得a＝，b＝－，c＝－0.75n.
∴拋物線為y＝x2－x－0.75n.
解方程組：
得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n.
∴H坐標(biāo)(5n,3n)，HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，
∴△AMH的面積＝0.5×HM×AM＝6n2.
而矩形AOBC的面積＝2n2，
∴△AMH的面積∶矩形AOBC的面積＝3∶1，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變．

4、已知拋物線y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－4.
(1) 求拋物線的解析式；
(2) 如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線上的一點(diǎn)，BD平分四邊形ABCD的面積，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3) 如圖2，平移拋物線y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－2上有一動(dòng)點(diǎn)P，
過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與拋物線有唯一的公共點(diǎn)E、F(直線PE、PF不與y軸平行)，
求證：直線EF恒過(guò)某一定點(diǎn).

【解析】(1) y＝x2＋(2m－1)x－2m＝(x＋m－0.5)2－m2－m－0.25，∵最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－4，
∴－m2－m－0.25＝－4，即4m2＋4m－15＝0，∴m＝1.5或－2.5. ∵m＞0.5，∴m＝1.5.
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3.
(2) ∵y＝x2＋2x－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3). 連AC交BD于E，
過(guò)A作AM⊥BD于M，過(guò)C作CN⊥BD于N，
由△ABD與△CBD面積相等，得AM＝CN.
于是易得△AEM≌△CEN(AAS)，∴AE＝CE，∴E(－1.5，－1.5).
又B(1，0)，∴直線BE的解析式為y＝0.6x－0.6.
由，解得D(－，－).
(3) 設(shè)E(t，t2)，F(xiàn)(n，n2)，設(shè)直線PE為y＝k1(x－t)＋t2，
由，得 x2－k1x＋k1t－t2＝0，△＝k12－4(k1t－t2)＝(k1－2t)2＝0，∴k1＝2t.
∴直線PE為y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2. 令y＝－2，得xP＝.
同理，設(shè)直線PF為y＝k2(x－n)＋n2，xP＝，得：＝，
∵t≠n，∴tn＝－2.
設(shè)直線EF的解析式為y＝kx＋b，由，得x2－kx－b＝0，
∴xE·xF＝－b，即tn＝－b，∴b＝2. ∴直線EF為y＝kx＋2，過(guò)定點(diǎn)(0，2).




5、如圖1，點(diǎn)A是直線y＝kx(k＞0，且k為常數(shù))上一動(dòng)點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝(x－h(huán))2＋m交直線y＝x于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C．(點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合)
(1)請(qǐng)寫出h與m之間的關(guān)系；(用含k的式子表示)
(2)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到使EF與x軸平行時(shí)(如圖2)，求線段AC與OF的比值．
　　
　　　　圖1　　　　圖2
【解析】 (1)∵拋物線頂點(diǎn)(h，m)在直線y＝kx上，∴m＝kh；
(2)解方程組
將②代入①得到：(x－h(huán))2＋kh＝kx，
整理得：(x－h(huán))[(x－h(huán))－k]＝0，
解得：x1＝h，x2＝k＋h.
代入到方程②得y1＝kh，y2＝k2＋hk.
所以點(diǎn)E坐標(biāo)是(k＋h，k2＋hk)
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝(x－h(huán))2＋m＝h2＋kh，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)是(0，h2＋kh)
當(dāng)EF和x軸平行時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等，
即k2＋kh＝h2＋kh
解得：h＝k(h＝－k舍去，否則E，F(xiàn)，O重合)
此時(shí)點(diǎn)E(2k,2k2)，F(xiàn)(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)
∴AC∶OF＝k2∶2k2＝1∶2

6、已知直線y＝x－2t與拋物線y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k為已知數(shù))，在t＝2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求k的值；
(2)t由小變大時(shí)，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當(dāng)t大于正數(shù)m時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，y＝x－2t的值總小于y＝a(x－t)2＋k的值，
試求a與m的關(guān)系式；
(3)當(dāng)0≤t＜m時(shí)，設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，在a為定值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否存在最大值，若有，請(qǐng)求出相應(yīng)的t的取值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】 (1)由題意，t＝2時(shí)，直線剛好經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．
而此時(shí)直線解析式為y＝x－4，
對(duì)稱軸坐標(biāo)為直線x＝2.
易得k＝－2.
(2)當(dāng)t＞m時(shí)，無(wú)論自變量x取何值，一次函數(shù)的值總小于二次函數(shù)的值，
說(shuō)明當(dāng)t＝m時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
可設(shè)此時(shí)直線與拋物線解析式分別為y＝x－2m和y＝a(x－m)2－2，聯(lián)立消去y，得：
ax2－(2am＋1)x＋am2－2＋2m＝0，
由Δ＝0得：8a＋1－4am＝0.
(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐標(biāo)系內(nèi)構(gòu)造直角三角形后易知，
AB＝
聯(lián)立直線與拋物線解析式消去y，得：ax2－(2at＋1)x＋at2－2＋2t＝0.
由求根公式可知：
＝＝，
AB＝＝.
由于a為定值且a>0，所以－4a

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中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)——壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練（二次函數(shù)與幾何模型綜合）

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