2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通過(guò)求解分式不等式化簡(jiǎn)集合，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)集合，最后利用集合間的交運(yùn)算即可求解.【詳解】∵∴由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，從而，故.故選：C.2．已知集合，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別解出、集合，由“”是“”的必要不充分條件可知?，由此即可列出不等式，則可解出答案.【詳解】或，因?yàn)?/span>“”是“”的必要不充分條件，所以?，所以或，解得：或，故選：D.3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知曲線關(guān)于對(duì)稱，利用曲線的對(duì)稱性求.【詳解】由題意可知，正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱， ,根據(jù)對(duì)稱性可知，,.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間的概率，正態(tài)分布下兩類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，及曲線與軸之間的面積為1.(2)利用原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于，，中的哪一個(gè).4．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，排除AC選項(xiàng)，再特殊函數(shù)值，比較排除選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故可排除A、C；又，故可排除B；故選：D．5．圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含者中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，另3位棋手分別記為丙、丁、戊，則這5位棋手的分組情況有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙?。妆?，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲?。ㄒ叶∥?，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10種，其中甲和乙不在同一個(gè)小組的情況分別為（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙?。?，（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲?。ㄒ叶∥?，甲丙），共有6種，所以甲和乙不在同一個(gè)小組的概率.故選：C.6．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（     ）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【分析】根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字，結(jié)合計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算：當(dāng)首位數(shù)字為7，則剩余三位數(shù)分別為0，0，0，共有1個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為6，則剩余三位數(shù)分別為1，0，0，共有3個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為5，則剩余三位數(shù)分別為1，1，0或2，0，0，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為4，則剩余三位數(shù)分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為3，則剩余三位數(shù)分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為2，則剩余三位數(shù)分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為1，則剩余三位數(shù)分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；所以共有個(gè)好運(yùn)數(shù)，故選：C7．若函數(shù)，既有極大值也有極小值，則a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)既有極大值也有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等正根即可解決問題.【詳解】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，由題意，方程，即有兩個(gè)不相等的正根，設(shè)為，則，解得，即的取值范圍為.故選：A.8．已知 ，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的大小關(guān)系是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出大小.【詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.又，且，所以，所以，故選：D. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>B．的最大值為C．的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱D．的遞減區(qū)間是【答案】AC【分析】對(duì)于A，由求解判斷，對(duì)于B，利用換元法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷，對(duì)于C，對(duì)函數(shù)變形后，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷，對(duì)于D，利用換元法分析判斷【詳解】對(duì)于A，由題意得，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以A正確，對(duì)于B，令，則，因?yàn)?/span>，且在定義域內(nèi)遞減，所以，所以的最小值為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以是由反比例函數(shù)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，因?yàn)?/span>的對(duì)稱中心為，所以的對(duì)稱中心為，所以C正確，對(duì)于D，由，得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令，則，因?yàn)?/span>在上遞減，在上遞增，且在上遞增，所以在上遞減，在上遞增，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，，則（    ）A．一定是遞增數(shù)列 B．可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列C．、、仍成等比 D．，【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)，時(shí)，為遞減數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，為遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)C，等比數(shù)列，則、、仍成等比，故C正確；對(duì)D，等比數(shù)列中，，則必不為0，故D正確.故選：BCD.11．已知則（     ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由，可判定A不正確；由對(duì)于的運(yùn)算性質(zhì)，可判定B正確；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判定C正確；結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，因?yàn)?/span>，所以等號(hào)不成立，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以D正確.故選：BCD.12．水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個(gè)半徑為的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過(guò)秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足（，，），則下列敘述正確的是（   ）  A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件可得的值，從而求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，，，所以，則，又點(diǎn)，此時(shí)代入可得，解得，又，所以，故A正確；因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，故D正確；故選：AD 三、填空題13．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)0.618就是黃金分割，這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為，若，則           .【答案】【分析】由，利用平方關(guān)系求出，代入利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．【詳解】解：∵，若，∴，∴，故答案為：.14．在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若，則的最小值是        .【答案】9【分析】利用平面向量共線的結(jié)論 , 得到，然后用“1”的代換后，用基本不等式即可解..【詳解】∵是線段上一點(diǎn),∴三點(diǎn)共線，  ∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 ,  當(dāng)且僅當(dāng) 即 又∵ ∴時(shí)取等號(hào)，的最小值為 9 .故答案為：915．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為             【答案】【分析】先求出最長(zhǎng)弦和最短弦，再計(jì)算面積即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－1）2＋（y－3）2＝10，則圓心（1，3）半徑，由題意知最長(zhǎng)弦為過(guò)E點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)E點(diǎn)和這條直徑垂直的弦，即AC⊥BD，且，圓心和E點(diǎn)之間的距離為，故，所以四邊形ABCD的面積為.故答案為：.16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為      .【答案】【分析】根據(jù)已知條件分別求出，，，，，相加即可.【詳解】由題意，且當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，所以.故答案為：. 四、解答題17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，△ABC的面積為S．現(xiàn)有以下三個(gè)條件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0；③請(qǐng)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)填到下面問題中的橫線上，并求解．已知向量＝（4sinx，4），＝（cosx，sin2x），函數(shù)在△ABC中，，且____，求2b+c的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合恒等變換，即可求得；選擇①由正弦定理將邊化角，即可求得；選擇②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得；選擇③利用面積公式以及余弦定理即可求得；無(wú)論選擇哪個(gè)條件，角都一樣大小.利用正弦定理，構(gòu)造關(guān)于角的函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，.又.選擇①：（2c+b）cosA+acosB＝0，由正弦定理可得：，故可得，又，故可得，又，故.選擇②：sin2B+sin2C﹣sin2A+sinBsinC＝0，由正弦定理得：，由余弦定理得，有，故.選擇③：，由面積公式以及余弦定理可得：，解得，又，故可得.故不論選擇哪個(gè)條件，都有.又.則.故，又，故，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角恒等變換以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范圍問題的求解，屬綜合中檔題.18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減法整理化簡(jiǎn)即可求得前項(xiàng)和．【詳解】（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)公差為 所以，解得所以 正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為 所以，所以 解得，或（舍去）所以（2）由（1）知： 所以 兩式相減得： 19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是等邊三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若E為棱SA的中點(diǎn)，F為棱SB的中點(diǎn)，求證：平面平面SCD．(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在點(diǎn)M，位于AS的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處 【分析】（1）由題可得EPSD，EFCD，即證；（2）由題可得SP⊥平面ABCD，結(jié)合條件可得AD的長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝λ，利用條件列方程，即可解得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>E、F分別是SA、SB的中點(diǎn)，所以EF AB，在矩形ABCD中，AB CD，所以EF CD，CD 平面SCD，EF平面SCD，∴EF 平面SCD， 又因?yàn)?/span>E、P分別是SA、AD的中點(diǎn)，所以EP SD，SD 平面SCD，EP平面SCD，∴EP 平面SCD，又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，所以平面PEF 平面SCD．（2）假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)M滿足題意，在等邊三角形SAD中，P為AD的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，所以平面ABCD，所以SP是四棱錐的高．設(shè)，則，，所以，所以m＝2．以點(diǎn)P為原點(diǎn)，，的方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)，所以．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則，所以取．易知平面SAD的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以存在點(diǎn)M，位于AS的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處滿足題意．20．某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．(1)若，，求他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率；(2)已知，則：①取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的概率最大？并求出此時(shí)的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，最大概率為；②625 【分析】（1）先羅列出“神投小組”的可能情況，然后利用獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求概率即可；（2）①先求出獲得“神投小組”稱號(hào)的概率，結(jié)合可得令，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②利用二項(xiàng)分布的知識(shí)即可求解【詳解】（1）每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”,則可能的情況有①甲投中一次,乙投中兩次;②甲投中兩次,乙投中一次;③甲投中兩次,乙投中兩次,，他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率為（2）①由題意得他們?cè)谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率，又,則，令,則,在上單調(diào)遞增,則,此時(shí).②他們小組在輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的次數(shù)滿足,,則,平均要進(jìn)行625輪游戲.21．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為2．(1)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且的面積是，求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由已知可求雙曲線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，通過(guò)韋達(dá)定理求出三角形面積的表達(dá)式，解方程即可求出m，從而可求直線l的方程；（2）設(shè)與軸分別交于，，則，設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理得出的關(guān)系式，整理即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）由已知得，由，得，所以雙曲線的方程為，設(shè)，直線，由消去，得，顯然，則，，，，整理得，解得或（舍去），直線；（2）設(shè)與軸分別交于，設(shè)，則，，設(shè)，則，，設(shè)直線的方程為，由得，即，，，，，，直線不過(guò)，，，得，此時(shí)對(duì)于，即，有，滿足題意，所以直線為，則直線過(guò)定點(diǎn)．22．已知函數(shù).(1)若，求的極值.(2)若方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）對(duì)參數(shù)分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值（最值），從而得到不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>定義域?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，，令得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值.（2）解：因?yàn)?/span>，①若，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增要使方程在上有解，則 即 得 ，因?yàn)?/span>，所以.②若，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)不符合條件.③若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，要使方程在上有解，則需，解得，所以.綜上可知，的取值范圍為 

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2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期初檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期初檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案，共12頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，雙空題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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