?2024屆湖北省部分名校高三上學期新起點8月聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題
1．已知集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解兩個集合中的不等式，得到這兩個集合后求并集.
【詳解】不等式解得，不等式解得，
則，，
.
故選：B.
2．已知復數(shù)滿足，則（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算求得，再求復數(shù)的模即可.
【詳解】依題意，，所以.
故選：C
3．已知向最，向量滿足，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)向量，根據(jù)題意即可解得，由模長的坐標表示即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由可得，
又，由可得
解得，即，所以.
故選：D
4．下列函數(shù)中，函數(shù)值域與函數(shù)的值域完全相同的有（????）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，求各函數(shù)的值域，比較即可，
【詳解】對勾函數(shù)，，當定義域為時，有；有，
所以對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
時，函數(shù)有最小值2，趨近于0時，函數(shù)值趨近于.
函數(shù)定義域為，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
當時有最小值2，則函數(shù)的值域為.
函數(shù)中，有，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
當時有最小值2，則函數(shù)的值域為.
，有，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當時有最小值2，則函數(shù)的值域為.
，當時，，的值域與函數(shù)的值域不相同.
，當時，，的值域與函數(shù)的值域不相同.
所以的值域與函數(shù)的值域完全相同.
故選：B
5．等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項和公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：A
6．已知，若，則（??????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及二倍角公式求解，再利用誘導公式及兩角和的余弦公式求解即可.
【詳解】，
，
，

.
故選：B
7．如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動點（含端點），過與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由與接近平行時，交線接近是一個圓，時，交線是一個長軸最大的橢圓求解.
【詳解】解：當與接近平行時，交線接近是一個圓，離心率接近0；
當時，交線是一個長軸最大的橢圓，
此時長軸長為，解得，
又短半軸長為，則焦距的一半為，
所以離心率，
所以離心率的取值范圍是.
故選：A
8．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷，再構(gòu)造函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
為偶函數(shù)，
，所以，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，
，易知，
對于與，同時取對數(shù)可得與，
構(gòu)造函數(shù)，則，
令可得，令可得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，
化簡得，
又在上單調(diào)遞增，故，即得，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即.
故選：D

二、多選題
9．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2臺加工的次品率為，第3臺加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起. 已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，從混放的零件中任取一個零件，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.06
B．該零件是次品的概率為0.036
C．如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0. 98
D．如果該零件是次品，那么它不是第1臺車床加工出來的概率為
【答案】BC
【分析】結(jié)合條件概率公式的變形可判斷A；根據(jù)全概率公式判斷B；根據(jù)對立事件的概率計算判斷C；根據(jù)條件概率以及對立事件的概率計算判斷D.
【詳解】記事件A：零件為次品，記事件：第臺車床加工的零件，
則，，
，
對于A，任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為，故A錯誤；
對于B，任取一個零件是次品的概率為
，故B正確；
對于C，如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為，故C正確；
對于D，如果該零件是次品，那么它不是第1臺車床加工出來的概率為，故D錯誤，
故選：BC
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（????）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．若函數(shù)的圖象向右平移個單位后關(guān)于軸對稱，則可以為
D．函數(shù)為偶函數(shù)
【答案】AC
【分析】先化簡，由正弦函數(shù)的最小正周期公式可判斷A；將代入可驗證B；由三角函數(shù)的平移變換可判斷C；由奇偶函數(shù)的定義可判斷D.
【詳解】
，
的最小正周期為，故A正確；
當時，不是的一條對稱軸，故B錯誤；
函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到
，
由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，
，即，
當時，，即函數(shù)的圖象向右平移個單位后關(guān)于軸對稱，
則可以為，故C正確；
易知函數(shù)的定義域為，又
，
∴ 函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：AC.
11．下列說法正確的是（????）
A．已知命題，則
B．“函數(shù)是偶函數(shù)”的必要條件是“函數(shù)滿足”
C．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
D．若，則三次函數(shù)有且僅有一個零點
【答案】ACD
【分析】根據(jù)全稱命題的否定判斷A；根據(jù)必要條件以及充分條件的判定判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷C；利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點的判定判斷D.
【詳解】由含有一個量詞的命題的否定定義可知，命題，則，A正確；
由可得，即可得是偶函數(shù)，
又由是偶函數(shù)，可得，當時，無法推出，
故“函數(shù)滿足”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充分條件，故B錯誤；
隨機變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，對稱軸為，
由可得，故C正確；
三次函數(shù)，
，
或恒成立，等號僅在時成立，即在上單調(diào)，
又當x取無窮大正數(shù)或無窮小的負數(shù)時，函數(shù)值可以取到正無窮大或負無窮小，
故三次函數(shù)有且僅有一個零點，故D正確.
故選：ACD
12．端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日之一，而粽子是端午節(jié)不可缺少的傳統(tǒng)美食. 粽子是中國歷史文化積淀最深厚的傳統(tǒng)食品之一，其主要材料是糯米、餡料，一般用箬葉包裹而成，形狀多樣，主要有角粽、塔粽、長粽、三角粽、四角粽、枕頭粽等，其中塔粽的形狀可以近似看成一個四棱錐. 現(xiàn)有一個塔粽，下列說法錯誤的是（????）
A．在塔粽中，若，且，分別為的中點，則
B．若塔粽是所有棱長均為的正棱錐，現(xiàn)需要在這個塔粽內(nèi)部放入一個牛肉丸子（牛肉丸子的形狀近似地看成球），則這個牛肉丸子的最大體積為
C．若塔粽是底面邊長為3的菱形，且為的中點，，若銳二面角的大小為，則直線與平面所成角的大小為
D．若塔粽的底面是平行四邊形，點是側(cè)棱上異于端點的一動點，則在側(cè)棱上存在點，使平面
【答案】ABD
【分析】選項A，判斷平面成立的條件；選項B，求正棱錐內(nèi)切球的體積；選項C，根據(jù)二面角的定義，由已知角求邊長，再求未知二面角；選項D，根據(jù)線面平行的條件判斷點是否存在.
【詳解】對于選項A，，當點同時是線段和線段的中點時，
，，平面，，
有平面，平面，有，由，才有，
而題設(shè)條件并沒有說點同時是線段和線段的中點，∴不能得到，故A選項錯誤；
對于選項B，由題意知，只有當牛肉丸子內(nèi)切于塔粽時，牛肉丸子的體積才最大，
設(shè)塔粽的體積為、表面積為、底面積為、高為h，牛肉丸子的半徑為，則，
又∵，∴，，
又，，
∴牛肉丸子的最大體積為，故B選項錯誤；
對于選項C，過點在平面內(nèi)作于點，連接（如圖），
??
底面邊長為3的菱形，且，則為等邊三角形，為的中點，則，
，有，平面，，
平面，平面，故，
又，平面，，所以平面，
為在平面內(nèi)的射影，是直線與平面所成角的平面角，
又，是銳二面角的平面角，
故，又，，
在等邊中，，
在中，，
在中，，
，直線與平面所成的角的大小為. 故C選項正確；
對于選項D，設(shè)側(cè)棱的中點為，
（1）當點在線段上移動時（點異于線段的端點），則在側(cè)棱上存在點，使平面，
此時為的中點，即. 理由如下：
??
設(shè)，連接，易知為的中點，
當時，，平面，平面，
∴平面，故在側(cè)棱上存在點，使平面.
（2）當點在線段上移動時（點與點不重合），要在上找一點使平面，
??
則點在線段的延長線上，且點為線段的中點，不符合題目的要求，
故在側(cè)棱上不存在點，使平面.
綜上所述，若塔粽的底面是平行四邊形，點是側(cè)棱上異于端點的一動點，
則在側(cè)棱上不一定存在點，使平面. 故D選項錯誤.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：
空間圖形中的垂直，平行和距離問題，要充分利用空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.

三、填空題
13．若的二項展開式的各項的系數(shù)和為64，則其展開式的常數(shù)項為 .
【答案】20
【分析】由各項系數(shù)和求出，利用展開式的通項求常數(shù)項.
【詳解】展開式的各項的系數(shù)和為64，令，有，解得，
故展開式的通項公式為，
令，解得，故展開式的常數(shù)項為.
故答案為：20
14．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中是圓錐的頂點，分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是 .
??
【答案】
【分析】求出圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積，進而求出則該陀螺的表面積.
【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，
圓錐的母線長為，圓錐的側(cè)面積為，
圓柱的側(cè)面積為，
故該陀螺的表面積.
故答案為：
15．已知圓，直線，當圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為 .
【答案】
【分析】直線過的定點，當直線垂直于時，圓被直線截得的弦長最短，可求直線的方程.
【詳解】由題意，直線的方程化為，
由得
∴直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，
要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，
，解得，
代入到直線的方程并化簡得.
故答案為：.
16．以下數(shù)表構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角形”.
??
該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為 .
【答案】
【分析】利用歸納推理得出每一行第一個數(shù)的規(guī)律，繼而確定數(shù)表的行數(shù)，即可求得答案.
【詳解】由題意得：除最后兩行外，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行的公差為4，…，第k行的公差為，
由數(shù)表知第一行的第一個數(shù)為：，
第二行的第一個數(shù)為：，
第三行的第一個數(shù)為：，
第四行的第一個數(shù)為：，
…
第行的第一個數(shù)為：，
又由于表中的下面一行的數(shù)的個數(shù)比上一行少一個，且第一行最后一個數(shù)為2023，
故數(shù)表中共有2023行，∴第2023行只有一個數(shù)，且這個數(shù)為：，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了歸納推理的知識，解答本題的關(guān)鍵是歸納得出每一行第一個數(shù)的規(guī)律，從而結(jié)合表中的行數(shù)，求得答案.

四、解答題
17．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．
(1)求角B的大?。?br /> (2)若，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理、正弦的兩角和公式可求解；
（2）由正弦定理、輔助角公式及三角函數(shù)求范圍可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，
因為sinA≠0，所以，因為，所以．
（2）因為，，由正弦定理可得，
于是，＝＝，
因為△ABC為銳角三角形，且，
所以，，
所以，可得：，
所以△ABC周長的取值范圍為：．
18．推進垃圾分類處理，是落實綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié). 為了解某居民小區(qū)對垃圾分類的了解程度，隨機抽取100名小區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷測試的得分繪制成下面的頻率分布表：
得分







男性人數(shù)
6
10
19
6
5
6
3
女性人數(shù)
2
5
8
13
11
4
2
(1)將小區(qū)居民對垃圾分類的了解程度分為“不太了解（得分低于60分）”和“比較了解（得分不低于60分）”兩類，請先完成列聯(lián)表，然后依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析小區(qū)居民對垃圾分類的了解是否與性別有關(guān)；
(2)從參與問卷測試且得分不低于80分的小區(qū)居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人作為環(huán)保宣傳隊長，設(shè)3人中男性隊長的人數(shù)為，求的分布列和期望.

不太了解
比較了解
合計
男性



女性



合計



附：.

0. 10
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001

2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，小區(qū)居民對垃圾分類的了解與性別無關(guān)
(2)分布列見解析，期望為

【分析】（1）由頻率分布表中提供的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，計算，與臨界值比較后確定結(jié)論；
（2）根據(jù)分層抽樣確定樣本中男性女性的人數(shù)，列出的可能取值，計算相應(yīng)的概率，得到分布列，根據(jù)公式計算期望.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布表得到列聯(lián)表：

不太了解
比較了解
合計
男性
35
20
55
女性
15
30
45
合計
50
50
100
零假設(shè)為：小區(qū)居民對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷不成立，
因此可以認為成立，即小區(qū)居民對垃圾分類的了解與性別無關(guān).
（2）不低于80分的居民的樣本中，男性有9人，女性有6人，
故抽取男性人，抽取女性人，
的可能取值為，則
，，
分布列為：

1
2
3




的數(shù)學期望為：.
19．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，且，點是的中點.
??
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上（不含端點）是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點，使得二面角的余弦值為

【分析】（1）根據(jù)四棱錐和菱形性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理即可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可得出證明.
（2）建立以為坐標原點的空間坐標系，設(shè)出點的坐標，分別求出平面和平面的法向量，再由二面角的余弦值為即可求出符合題意的點.
【詳解】（1）連接，如下圖所示：
??
由四邊形為菱形，可得，
又平面，又平面，所以，
，且平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）取的中點，連接，則，依題意易知三條線兩兩互相垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系如下圖所示：
??
由，可得
????
設(shè)點，則，其中，
由點在線段上，可設(shè)（其中），
即，可得，
所以
設(shè)為平面的法向量，
則即
令，則
設(shè)為平面的法向量，
則即
令，則
依題意可知，
即，
即，即或（舍），所以；
故存在點使得二面角的余弦值為.
20．已知正項數(shù)列滿足；且對任意的正整數(shù)都有成立，其中是數(shù)列的前項和，為常數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，證明：數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由首項可得，再利用即可求得數(shù)列是等差數(shù)列，進而寫出等差數(shù)列通項公式；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和可得，又，即可得.
【詳解】（1）當時，有，可解得；
即，
所以，
兩式相減可得，
整理得
又，所以，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
因此.
數(shù)列的通項公式為
（2）由可得，
所以，
，
兩式相減可得

，
即可得，
又，所以，即；
所以.
21．已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，且對，成立，求的最小值；
(2)若函數(shù)的圖像上存在一點與函數(shù)的圖像上一點關(guān)于軸對稱，求的長.
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由求的最小值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有交點，列等式化簡求出交點坐標可得的長.
【詳解】（1），函數(shù)定義域為R，
則，
由解得，解得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
由題意，則，
則的最小值為.
（2）由題意的圖像與函數(shù)的圖像有交點，
化為有解，
設(shè)，則；
則由得，
由得，
消去，得，????
顯然；
當時，方程無解；
當時，方程無解；
故此方程的解為，即
，則.
【點睛】方法點睛：
函數(shù)的圖像上存在一點與函數(shù)的圖像上一點關(guān)于軸對稱，可轉(zhuǎn)化為的圖像與函數(shù)的圖像有交點，列出等式，利用指數(shù)式和對數(shù)式的運算，化簡得到點縱坐標，可得的長.
22．直角坐標系中，已知動點到定點的距離比動點到定直線的距離小1，記動點的軌跡為.
(1)求軌跡的方程；
(2)點是曲線上位于直線的上方的點，過點作曲線的切線交于點，若，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）由題意動點到定點與到定直線的距離相等，滿足拋物線的定義，可求軌跡方程；
（2）設(shè)，由得到的關(guān)系式，利用導數(shù)求過點曲線的切線方程，求出交點的坐標，利用向量法求，結(jié)合已知條件化簡為常數(shù).
【詳解】（1）由題意，動點到定點的距離與動點到定直線的距離相等，
滿足拋物線定義，則，得，
則的方程為；
（2）設(shè)，則，
，則.
即，
??
由，有，過點的切線的斜率為，
則切線的方程為，
同理切線的方程為，
聯(lián)立方程組解得，
由點是曲線上位于直線的上方的點，可知，
則，，
則



代入，得
，
即為定值.
【點睛】方法點睛：
1.求動點的軌跡方程，可以直接利用已知的一些幾何量的等量關(guān)系，表述成含的等式，就得到軌跡方程，如果軌跡符合解析幾何中一些常用定義，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。
2.求定值問題常見的方法有：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

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這是一份湖北省部分名校2023-2024學年高三上學期新起點8月聯(lián)考數(shù)學試題（含解析），共11頁。

2024湖北省部分名校高三上學期新起點8月聯(lián)考數(shù)學試題PDF版含答案：

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