?2022年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的．每題3分，共24分）
1. 2022的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. ?2022 D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)．
【詳解】解：2022的相反數(shù)是?2022．
故選：C．
【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2. 如圖所示的幾何體是由4個大小相同的小正方體搭成的，它的左視圖是（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到幾何體從左面看所得到的圖形即可．
【詳解】解：從左面可看，底層是兩個小正方形，上層右邊是一個小正方形．
故選：C．
【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加法的法則，完全平方公式，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方和冪的乘方運算法則對各項進(jìn)行運算即可．
【詳解】解：A、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次根式的加減法，積的乘方和冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，完全平方公式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
4. 為了解居民用水情況，小麗在自家居住的小區(qū)隨機(jī)抽查了10戶家庭月用水量，統(tǒng)計如下表：
月用水量/
7
8
9
10
戶數(shù)
2
3
4
1
則這10戶家庭的月用水量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. 8，7.5 B. 8，8.5 C. 9，8.5 D. 9，7.5
【答案】C
【解析】
【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校挥谧钪虚g的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個．
【詳解】解：表中數(shù)據(jù)為從小到大排列，數(shù)據(jù)9出現(xiàn)了4次最多為眾數(shù)，
在第5位、第6位是8和9，其平均數(shù)8.5為中位數(shù)，所以本題這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.5，眾數(shù)是9．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)．
5. 如圖，直線，等邊三角形的頂點在直線上，，則的度數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠3＝80°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°?40°?60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了平行線的性質(zhì)．
6. 如圖，在中，，，延長到點，使，連接，則度數(shù)（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等邊對等角求得，然后利用三角形的內(nèi)角和求得答案即可．
【詳解】解：，，
．
，，，
．
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是了解“等邊對等角”的性質(zhì)，難度不大．
7. 如圖，在矩形中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，則扇形的面積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面積公式求解．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查扇形的面積，三角函數(shù)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)．
8. 如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當(dāng)點停止運動時，點也隨之停止，連接，設(shè)運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）


A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出M在AD和在BD上時△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴當(dāng)M在AD上時，0≤t≤3，
，，
∴，
當(dāng)M在BD上時，3＜t≤4，
，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．
二、填空題（每小題3分，共24分）
9. 教育部2022年5月17日召開第二場“教育這十年”“1＋1”系列新聞發(fā)布會，會上介紹我國已建成世界最大規(guī)模高等教育體系，在學(xué)總?cè)藬?shù)超過44300000人．將數(shù)據(jù)44300000用科學(xué)記數(shù)法表示為_________．
【答案】
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：44300000＝．
故答案為：．
【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
10. 一個不透明的口袋中裝有5個紅球和個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學(xué)進(jìn)行了如下試驗：從袋中隨機(jī)摸出1個球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，為一次摸球試驗．根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出的值為_________．
摸球的總次數(shù)
100
500
1000
2000
…
摸出紅球的次數(shù)
19
101
199
400
…
摸出紅球的頻率
0.190
0.202
0.199
0.200
…

【答案】20
【解析】
【分析】利用大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率求解即可．
【詳解】解：∵通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2，
∴＝0.2，
解得：m＝20．
經(jīng)檢驗m＝20是原方程的解，
故答案為：20．
【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率和解分式方程，本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)摸出紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．
11. 如圖，，，相交于點，若，，則的長為_________．

【答案】5
【解析】
【分析】由平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性質(zhì)求出線段CD即可．
【詳解】解：∵，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，
∴△EAB∽△EDC，
∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，
又∵AB＝2.5，
∴CD＝5．
故答案為：5．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
12. 某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設(shè)甲車間每天加工件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得出乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，再根據(jù)甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．
【詳解】解：∵甲車間每天加工x件產(chǎn)品，乙車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，
∴乙車間每天加工1.5x件產(chǎn)品，
又∵甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在中，，，，點，分別在，上，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在上，連接，若，則的長為_________．

【答案】7.5
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得．根據(jù)求得的長．
【詳解】解：在中，
，
，，
．
，
，
，
．
．
．
．
將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在上，
．
．
故答案為：7.5．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中根據(jù)通過推理論證得到是斜邊上的中線．
14. 如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點，為中點，為中點，連接，則的長為_________．


【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位線定理得FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．
【詳解】解：如圖，取OD的中點H，連接FH，


∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，
∵點H是OD的中點，點F是AD的中點，
∴FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，
∴FH⊥BD，
∵點E是BO的中點，點H是OD的中點，
∴OE＝，OH＝，
∴EH＝，
∴EF＝，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點．在中，，邊在軸上，點是邊上一點，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點交于點，連接．若，則的值為_________．

【答案】1
【解析】
【分析】設(shè)D（m，），由OD：DB＝1：2，得出B（3m，），根據(jù)三角形的面積公式以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，解得k＝1．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D，∠OAB＝90°，
∴D（m，），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m，），
∴AB＝3m，OA＝，
∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點D交AB于點C，∠OAB＝90°，
∴，
∵，
∴，即，
解得k＝1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)、正確表示出B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在正方形中，點為的中點，，交于點，于點，平分，分別交，于點，，延長交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是_________．（填序號即可）．

【答案】①③④
【解析】
【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，證明∠CDF＝∠ECB，求出，可得①正確；根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合勾股定理求出，，，進(jìn)而求出可得②錯誤；過點G作GQ⊥DF于點Q，GP⊥EC于點P，用a表示出GM，GF，F(xiàn)N可得③正確；證明∠BEF＝∠HCD，求出，可得④正確．
【詳解】解：如圖，過點G作GQ⊥DF于點Q，GP⊥EC于點P，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a．

∵四邊形ABCD正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AE＝EB＝a，BC＝2a，
∴，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ECB＋∠DCF＝90°，
∵∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠ECB，
∴，故①正確，
∵BECD，
∴，
∵，，
∴，， ，
在Rt△CDF中，，CD＝2a，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②錯誤；
∵FM平分∠DFE，GQ⊥DF，GP⊥EC，
∴GQ＝GP，
∵，
∴，
∴，
∴BG＝DG，
∵DMBN，
∴，
∴GM＝GN，
∵，
∴，
∴，
∵∠GPF＝∠PFQ＝∠FQG＝90°，GP＝GQ，
∴四邊形GPFQ是正方形，
∴，
過點N作NJ⊥CE于點J，設(shè)FJ＝NJ＝m，則CJ＝2m，
∴，
∴，
∴，
∴MG＝GN＝GF＋FN＝，
∴MG：GF：FN＝，故③正確，
∵，
∴∠BEF＝∠HCD，
∵，，
∴，
∴△BEF∽△HCD，故④正確．
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
三、解答題（每小題8分，共16分）
17. 先化簡，再求值： ，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運算將式子進(jìn)行化簡，再代值計算即可．
【詳解】解：原式


，
當(dāng)時，
．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是掌握分式的混合運算法則．
18. 如圖，在四邊形中，與交于點，，，垂足分別為點，，且，．求證：四邊形是平行四邊形．


【答案】見解析
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件推知；然后由全等三角形的判定定理證得，則其對應(yīng)邊相等：；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．
【詳解】證明：，
．
．
在與中，
．
．
．
四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
四、解答題（每小題10分，共20分）
19. 某校開展“凝心聚力頌家鄉(xiāng)”系列活動，組建了四個活動小組供學(xué)生參加：（朗誦），（繪畫），（唱歌），（征文），學(xué)校規(guī)定：每名學(xué)生都必須參加且只能參加其中一個活動小組．學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對其參加活動小組情況進(jìn)行了調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（圖1和圖2）．

請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）本次共調(diào)查了_________名學(xué)生，扇形統(tǒng)計圖中“”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為_________．
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖．
（3）若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計這所學(xué)校參加活動小組的學(xué)生人數(shù)．
【答案】（1）100，126°
（2）見解析 （3）320
【解析】
【分析】（1）由A的人數(shù)及其所占百分比可得抽查的學(xué)生人數(shù)；用360°乘“C”所占比例可得扇形統(tǒng)計圖中“C”對應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（2）總?cè)藬?shù)減去A、C、D的人數(shù)求得B對應(yīng)人數(shù)，據(jù)此可補(bǔ)全圖形；
（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中D的人數(shù)所占比例即可．
【小問1詳解】
解：這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是24÷24%=100（人），
扇形統(tǒng)計圖中“C”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為×360°=126°
故答案為：100，126°；
【小問2詳解】
B人數(shù)為：100-（24+35+16）=25（人），
補(bǔ)全條形圖如下：
【小問3詳解】
（人），
答：估計這所字校參加D活動小組的學(xué)生人數(shù)有320人．
【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br /> 20. 2022年4月15日是第七個全民國家安全教育日，某校七、八年級舉行了一次國家安全知識競賽，經(jīng)過評比后，七年級的兩名學(xué)生（用，表示）和八年級的兩名學(xué)生（用，表示）獲得優(yōu)秀獎．
（1）從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗，恰好抽到七年級學(xué)生的概率是_________．
（2）從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗，請用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率．
【答案】（1）；
（2）作圖見解析，．
【解析】
分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
【小問1詳解】
從獲得優(yōu)秀獎的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗，恰好抽到七年級學(xué)生的概率是，
故答案為：；
【小問2詳解】
樹狀圖如下：

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的有8種結(jié)果，
所以抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級、一名來自八年級的概率為．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率．
五、解答題（每小題10分，共20分）
21. 北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸．為弘揚航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長為的勵志條幅（即）．小亮同學(xué)想知道條幅的底端到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點處，在點正上方點處測得條幅頂端的仰角為，然后向教學(xué)樓條幅方向前行到達(dá)點處（樓底部點與點，在一條直線上），在點正上方點處測得條幅底端的仰角為，若，均為（即四邊形為矩形），請你幫助小亮計算條幅底端到地面的距離的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．
【解析】
【分析】設(shè)AC與GE相交于點H，根據(jù)題意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后設(shè)CH＝x米，則AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出FH的長，從而求出GH的長，最后再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：設(shè)AC與GE相交于點H，

由題意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
設(shè)CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH?tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
經(jīng)檢驗：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．


（1）求點的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）點是反比例函數(shù)圖象上一點且縱坐標(biāo)是1，連接，，求的面積．
【答案】（1）；
（2）6
【解析】
【分析】（1）由一次函數(shù)的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）作BDx軸，交直線AC于點D，則D點的縱坐標(biāo)為1，利用函數(shù)解析式求得B、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．
【小問1詳解】
解：∵一次函數(shù)y＝x＋2的圖象過點A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵點A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
【小問2詳解】
∵點B是反比例函數(shù)圖象上一點且縱坐標(biāo)是1，
∴B（3，1），
作BDx軸，交直線AC于點D，則D點的縱坐標(biāo)為1，


代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝?1，
∴D（?1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴．
【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．
六、解答題（每小題10分，共20分）
23. 如圖，是的外接圓，為的直徑，點為上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若．

（1）求證：是的切線．
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）過程見解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）連接OE，先根據(jù)圓周角定理及已知條件得出∠ABC=∠BOE，進(jìn)而得出，再由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEO=∠ACB，然后根據(jù)直徑所對的是直角，即可得出答案；
（2）先說明，再設(shè)的半徑為r，并表示，，，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例得出，根據(jù)比例式求出半徑即可．
【小問1詳解】
證明：連接OE．

∵，，
∴∠ABC=∠BOE，
∴，
∴∠OED=∠BCD．
∵，
∴∠FEC=∠ACE，
∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，
即∠FEO=∠ACB．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠FEO=90°，
∴．
∵EO是的半徑，
∴EF是的切線．
【小問2詳解】
∵，
∴．
∵BF=2，．
設(shè)的半徑為r，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴半徑是3．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
24. 某超市購進(jìn)一批水果，成本為8元/，根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來10天的售價（元/）與時間第天之間滿足函數(shù)關(guān)系式（，為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天銷售量與時間第天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對應(yīng)值．
時間第天
…
2
5
9
…
銷售量
…
33
30
26
…

（1）求與的函數(shù)解析式；
（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為多少元？
【答案】（1）y＝?x＋35（1≤x≤10，x為整數(shù)）；
（2）在這10天中，第7天和第8天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為378元．
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，得出w＝＝，，再結(jié)合1≤x≤10，x為整數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)每天銷售量y與時間第x天之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，
根據(jù)題意，得：，
解得，
∴y＝?x＋35（1≤x≤10，x為整數(shù)）；
【小問2詳解】
解：設(shè)銷售這種水果的日利潤為w元，
則w＝
＝
＝，
∵1≤x≤10，x為整數(shù)，
∴當(dāng)x＝7或x＝8時，w取得最大值，最大值為378，
答：在這10天中，第7天和第8天銷售這種水果的利潤最大，最大銷售利潤為378元．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
七、解答題（本題滿分12分）
25. 如圖，在中，，，點在直線上，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．


（1）求證：；
（2）當(dāng)點在線段上（點不與點，重合）時，求的值；
（3）過點作交于點，若，請直接寫出的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）證明△ABD∽△CBE，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）當(dāng)點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進(jìn)而求得AN，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點D在AC的延長線上時，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．
【小問1詳解】
證明：如圖1，


作AH⊥BC于H，
∵AB＝AB，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，
∴sin60°＝，
∴BH＝AB，
∴BC＝2BH＝AB；
【小問2詳解】
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
由（1）得，，
同理可得，
∠DBE＝30°，，
∴∠ABC＝∠DBE，，
∴∠ABC?∠DBC＝∠DBE?∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴；
【小問3詳解】
：如圖2，


當(dāng)點D在線段AC上時，
作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，
設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，
由（1）得，，
在Rt△ABF中，∠BAF＝180°?∠BAC＝60°，AB＝3a，
∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a?sin60°＝，
在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝，
，
∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，
∴△DAG∽△DBF，
∴，
∴，
∴，
∵ANDE，
∴∠AND＝∠BDE＝120°，
∴∠ANG＝60°，
∴，
∴，
如圖3，


當(dāng)點D在AC的延長線上時，
設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，
由（1）得，
CE＝，
作BR⊥CA，交CA的延長線于R，作AQ⊥BD于Q，
同理可得，
AR＝a，BR＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述：的值為或．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類和較強(qiáng)的計算能力．
八、解答題（本題滿分14分）
26. 如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．

（1）求拋物線的解析式．
（2）點是第三象限拋物線上一點，直線與軸交于點，的面積為12，求點的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，若點是線段上點，連接，將沿直線翻折得到，當(dāng)直線與直線相交所成銳角為時，求點的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）P（?3，?7）；
（3）的坐標(biāo)為或．
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）先由△BDC的面積求出OD的長，從而確定D點坐標(biāo)為（0，?4），再由待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，直線BD與拋物線的交點即為所求；
（3）當(dāng)在第一象限時，由∠ODB＝45°，可知，求出直線BC的解析式，可設(shè)E（t，），在中，，則，在Rt△BHE中，由勾股定理得，求出t的值即可求坐標(biāo)；當(dāng)在第二象限時，軸，可得四邊形是平行四邊形，則，由折疊的性質(zhì)可判斷平行四邊形是菱形，再由BE＝OB，可得
，求出t的值即可求坐標(biāo)．
【小問1詳解】
將A（?1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
【小問2詳解】
令y＝0，則，
解得x＝?1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0，?4），
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x?4，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴P（?3，?7）；
【小問3詳解】
如圖1，當(dāng)在第一象限時，

設(shè)直線BC的解析式為，
，
解得，
∴，
設(shè)E（t，），，
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0，?4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直線與直線BP相交所成銳角為45°，
∴，
由折疊可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，

∴t＝，
∴；
如圖2，當(dāng)在第二象限，時，

∵∠ABP＝45°，
∴軸，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
由折疊可知，
∴平行四邊形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
綜上所述：的坐標(biāo)為或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

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