一、選擇題
1. 設(shè)集合，U為整數(shù)集，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．
【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．
故選：A．
2. 若復數(shù)，則（ ）
A. -1B. 0 ·C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
3. 執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（ ）

A. 21B. 34C. 55D. 89
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出．
【詳解】當時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；
當時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；
當時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；
當時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．
故選：B.
4. 向量，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設(shè),
由題知,等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
5. 已知正項等比數(shù)列中，為前n項和，，則（ ）
A. 7B. 9C. 15D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
6. 有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（ ）
A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】先算出報名兩個俱樂部的人數(shù),從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部的概率,利用條件概率的知識求解.
【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為，
記“某人報足球俱樂部”為事件,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件，
則，
所以.
故選:.
7. “”是“”的（ ）
A. 充分條件但不是必要條件B. 必要條件但不是充分條件
C. 充要條件D. 既不是充分條件也不是必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，是成立的必要不充分條件.
故選：B
8. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
9. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（ ）
A. 120B. 60C. 40D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
10. 已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.
故選：C.
11. 在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；
法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.
【詳解】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
12. 己知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
二、填空題
13. 若為偶函數(shù)，則________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，
所以，即，
則，故，
此時，
所以，
又定義域為，故為偶函數(shù)，
所以.
故答案為：2.
14. 設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．
【答案】15
【解析】
【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.
【詳解】作出可行域，如圖，
由圖可知，當目標函數(shù)過點時，有最大值，
由可得，即,
所以.
故答案為：15
15. 在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.
【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面中心為，連接，如圖，
由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.
故答案為：12
16. 在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
三、解答題
17. 已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．
【小問1詳解】
因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
【小問2詳解】
因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
18. 在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

（1）求證：；
（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點，即可得證；
（2）利用直角三角形求出的長及點到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.
【小問1詳解】
如圖，

底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
過作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距離為1，，
在中，，
設(shè)，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
【小問2詳解】
，
，
過B作，交于D，則為中點，
由直線與距離為2，所以
，，，
在，，
延長，使，連接，
由知四邊形為平行四邊形，
，平面，又平面，
則在中，，，
在中，，，
,
又到平面距離也為1，
所以與平面所成角的正弦值為.
19. 為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．
（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）
對照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實驗組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）分布列見解析，
（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【解析】
【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.
【小問1詳解】
依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
【小問2詳解】
（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，
可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，
故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.
20. 已知直線與拋物線交于兩點，且．
（1）求；
（2）設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；
（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．
【小問1詳解】
設(shè)，
由可得，，所以，
所以，
即，因為，解得：．
【小問2詳解】
因為，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，
由可得，，所以，，
，
因為，所以，
即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設(shè)點到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，
當時，的面積．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.
21. 已知
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【小問1詳解】
令,則
則
當
當,即.
當,即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
【小問2詳解】
設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調(diào)遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應(yīng)當.
四、選做題
22. 已知，直線（t為參數(shù)），為的傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點，．
（1）求的值；
（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的幾何意義即可解出；
（2）求出直線的普通方程，再根據(jù)直角坐標和極坐標互化公式即可解出．
【小問1詳解】
因為與軸，軸正半軸交于兩點，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因為，所以．
【小問2詳解】
由（1）可知，直線的斜率為，且過點，
所以直線的普通方程為：，即，
由可得直線的極坐標方程為．
23. 已知．
（1）求不等式的解集；
（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分和討論即可;
（2）寫出分段函數(shù),畫出草圖,表達面積解方程即可.
【小問1詳解】
若,則,
即,解得,即,
若,則,
解得,即,
綜上,不等式的解集為.
【小問2詳解】
.
畫出的草圖,則與坐標軸圍成與
的高為,所以
所以,解得
【點睛】
對照組
實驗組
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合計
對照組
6
14
20
實驗組
14
6
20
合計
20
20
40

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