一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；
【詳解】由，而，
所以.
故選：A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由，則，當(dāng)時(shí)不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
3. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
4. 函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
5. 已知函數(shù)的一條對稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項(xiàng)即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.
【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：
A選項(xiàng)中，B選項(xiàng)中，
C選項(xiàng)中，D選項(xiàng)中，
排除選項(xiàng)CD，
對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)一個(gè)對稱中心，排除選項(xiàng)A，
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，
故選：B.
6. 已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（ ）
A. 3B. 18C. 54D. 152
【答案】C
【解析】
【分析】由題意對所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行賦值，得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組確定首項(xiàng)和公比的值，然后結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得的值.
【詳解】由題意可得：當(dāng)時(shí)，，即， ①
當(dāng)時(shí)，，即， ②
聯(lián)立①②可得，則.
故選：C.
7. 調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（ ）

A. 花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B. 花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)
C. 花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D. 若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)可分析出相關(guān)性的問題，從而判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤
散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：C
8. 在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.
【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，?
在中，因?yàn)椋?，所以?br>在中，因?yàn)椋裕?br>所以
故選：B
9. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.
【詳解】如圖，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設(shè),則，所以，所以.
因,所以，所以，所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分．
10. 已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以，然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可.
【詳解】由題意可得.
故答案為：.
11. 在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，
令可得，，
則項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：60.
12. 過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．
【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
當(dāng)時(shí)，同理可得．
故答案為：．
13. 甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；
根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．
【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，
所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，
；
記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，
黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，
所以，．
故答案為：；．
14. 在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因?yàn)?，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據(jù)余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，
則時(shí)，有最大值.
故答案為：；.

15. 若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，此時(shí)成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時(shí)，，此時(shí)成立．
（2）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，顯然不成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時(shí)，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．
三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16. 在中，角所對的邊分別是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．
【小問1詳解】
由正弦定理可得，，即，解得：；
【小問2詳解】
由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
【小問3詳解】
由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都為銳角，因此，，
故．
17. 三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).
（1）求證：//平面；
（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；
（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；
（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解
小問1詳解】
連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，
又平面，平面，于是//平面.
【小問2詳解】
過作，垂足為，過作，垂足為,連接.
由面，面，故，又，，平面，則平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面與平面所成角即.
又，，則，故，在中，，則，
于是
【小問3詳解】
[方法一：幾何法]
過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.
由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，
由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.
又平面，則，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，
即點(diǎn)到平面的距離是.
[方法二：等體積法]
輔助線同方法一.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
，
.
由，即.
18. 設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．
（1）求橢圓方程及其離心率；
（2）已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.
（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.
【小問1詳解】
如圖，

由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
【小問2詳解】
由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去整理得：，
由韋達(dá)定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直線的方程為.
19. 已知是等差數(shù)列，．
（1）求的通項(xiàng)公式和．
（2）已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．
【答案】（1），；
（2）(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.
【解析】
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時(shí)，，
取，當(dāng)時(shí)，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論猜想，然后分別排除和兩種情況即可確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前項(xiàng)和.
【小問1詳解】
由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
注意到，從到共有項(xiàng)，
故.
小問2詳解】
(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，
取，則，即，
當(dāng)時(shí)，，
取，此時(shí)，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
據(jù)此猜測，
否則，若數(shù)列的公比，則，
注意到，則不恒成立，即不恒成立，
此時(shí)無法保證，
若數(shù)列的公比，則，
注意到，則不恒成立，即不恒成立，
此時(shí)無法保證，
綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
其前項(xiàng)和為：.
【點(diǎn)睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計(jì)算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識(shí)很有裨益.
20. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在處切線的斜率；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）證明：．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；
（2）問題化為時(shí)，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；
（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.
【小問1詳解】
，則，
所以，故處的切線斜率為；
【小問2詳解】
要證時(shí)，即證，
令且，則，
所以在上遞增，則，即.
所以時(shí).
【小問3詳解】
設(shè)，，
則，
由（2）知：，則，
所以，故在上遞減，故；
下證，
令且，則，
當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，
所以，故在上恒成立，
則，
所以，，…，，
累加得：，而，則，
所以，故；
綜上，，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.

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