?2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計30分）
1．實數(shù)9的相反數(shù)等于（　?。?br /> A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
2．下列計算正確的是（　?。?br /> A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b
3．孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌．下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（　?。?br /> A． B． C． D．
5．如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（　?。?br /> A．8 B．6 C．4 D．2
7．數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），當kx+b＜x時，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
8．工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（　?。?br />
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（　　）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
10．如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（　　）


A．24 B．24 C．12 D．12
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計18分）
11．計算：＝　 ?。?br /> 12．為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動．6名選手投中籃圈的個數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 　 ?。?br /> 13．若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則+的值為 　 ?。?br /> 14．中國象棋文化歷史久遠．某校開展了以“縱橫之間有智慧 攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國象棋文化節(jié)．如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（﹣1，﹣2），“馬”位于點（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標系下的坐標是 　 ?。?br />
15．如圖，已知直線y＝2x與雙曲線y＝（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點A，若OA＝，則k的值為 　 ?。?br />
16．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為 　 　．

三、解答題（本大題共8小題，共計72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）先化簡，再求值：﹣，其中a＝3．
18．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有我”知識競賽活動．李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按成績劃分為A、B、C、D四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：
（1）表中a＝　 　，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 　 ?。?br /> （2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有多少人？
（3）若A等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等級
成績x/分
人數(shù)
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7




19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求證：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．

20．（8分）亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐——鄂州花湖機場，于2022年3月19日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°，同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點E、G、C、B在同一水平線上）．求：
（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；
（2）此時飛機的高度AB．（結(jié)果保留根號）

21．（8分）在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示：
（1）小明家離體育場的距離為 　 　km，小明跑步的平均速度為 　 　km/min；
（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．

22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．
（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．



23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．
例如：拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF＝MN，F(xiàn)H＝2OH＝1．
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：　 　，　 　．
【技能訓(xùn)練】
（2）如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；
【能力提升】
（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升華】
（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．
如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．

24．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點P為線段AB上一動點．
（1）請直接寫出點B的坐標；
（2）若動點P滿足∠POB＝45°，求此時點P的坐標；
（3）如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應(yīng)點為A′，當PA′⊥OB時，求此時點P的坐標；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．



2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計30分）
1．實數(shù)9的相反數(shù)等于（　?。?br /> A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．
【解答】解：實數(shù)9的相反數(shù)是：﹣9．
故選：A．
【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
2．下列計算正確的是（　　）
A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b
【分析】按照整式冪的運算法則和合并同類項法則逐一計算進行即可得答案．
【解答】解：∵b與b2不是同類項，
∴選項A不符合題意；
∵b6÷b3＝b3，
∴選項B不符合題意；
∵（2b）3＝8b3，
∴選項C不符合題意；
∵3b﹣2b＝b，
∴選項D符合題意，
故選：D．
【點評】此題考查了整式冪與合并同類項的相關(guān)運算能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用相關(guān)計算法則．
3．孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌．下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
4．如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)三視圖的定義解答即可．
【解答】解：該幾何體的主視圖為：一共有兩列，左側(cè)有三個正方形，右側(cè)有一個正方形，所以A選項正確，
故選：A．
【點評】本題主要考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解答本題的關(guān)鍵．
5．如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】由題意可得AC＝BC，則∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠CBA＝15°．
【解答】解：由題意可得AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，
∴∠CAB＝∠CBA＝15°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CBA＝15°．
故選：B．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)題意得出BC＝AC是解答本題的關(guān)鍵．
6．生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（　?。?br /> A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】通過觀察可知2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，則22022與22的尾數(shù)相同，即可求解．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，
∴2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022與22的尾數(shù)相同，
故選：C．
【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給式子，探索出尾數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
7．數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），當kx+b＜x時，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（　?。?br />
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以寫出當kx+b＜x時，x的取值范圍．
【解答】解：由圖象可得，
當x＞3時，直線y＝x在一次函數(shù)y＝kx+b的上方，
∴當kx+b＜x時，x的取值范圍是x＞3，
故選：A．
【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判斷方法得出四邊形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切線的性質(zhì)得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），進而得出EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半徑，繼而求出這種鐵球的直徑．
【解答】解：如圖，連接OE，交AB于點F，連接OA，

∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四邊形ACDB是平行四邊形，
∴四邊形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于點E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴這種鐵球的直徑為20cm，
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
9．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（　　）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)確定a、b、c的正負即可解答；③將點A的坐標代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖象即可解答；⑤運用作差法判定即可．
【解答】解：①由拋物線的開口方向向下，
則a＜0，故①正確；
②∵拋物線的頂點為P（1，m），
∴﹣＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在正半軸，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②錯誤；
③∵拋物線經(jīng)過點A（2，1），
∴1＝a?22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；
④∵拋物線的頂點為P（1，m），且開口方向向下，
∴x＞1時，y隨x的增大而減小，即④正確；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，則⑤正確
綜上，正確的共有4個．
故選：C．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，靈活運用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．
10．如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（　?。?br />

A．24 B．24 C．12 D．12
【分析】沿BC的方向?qū)Q和MN平移重合，即B和C點重合，點D平移至T，連接AT，即AB+CD最小，進一步求得結(jié)果．
【解答】解：如圖，

作DL⊥PQ于L，過點A作PQ的垂線，過點D作PQ的平行線，它們交于點R，延長DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，則當BC在B′C′時，AB+CD最小，最小值為AT的長，
可得AK＝AE?sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，
∴AR＝2+6+4＝12，
∵AD＝24，
∴sin∠ADR＝＝，
∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD9＝60°，
∴∠ADT＝90°，
∴AT＝＝＝12，
故答案為：C．
【點評】本題考查了平移性質(zhì)和平移的運用，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，將B和C兩地變?yōu)椤耙粋€點”．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計18分）
11．計算：＝　2?。?br /> 【分析】如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么x是a的算術(shù)平方根，由此即可求解．
【解答】解：∵22＝4，
∴＝2．
故答案為：2
【點評】此題主要考查了學(xué)生開平方的運算能力，比較簡單．
12．為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動．6名選手投中籃圈的個數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 　3　．
【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念求解即可．
【解答】解：因為這組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3，
故答案為：3．
【點評】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
13．若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則+的值為 　?。?br /> 【分析】由實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，據(jù)此可得a+b＝4，ab＝3，將其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
則a+b＝4，ab＝3，
則原式＝＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的兩個不相等的實數(shù)根及韋達定理．
14．中國象棋文化歷史久遠．某校開展了以“縱橫之間有智慧 攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國象棋文化節(jié)．如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（﹣1，﹣2），“馬”位于點（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標系下的坐標是 ?。ī?，1）?。?br />
【分析】應(yīng)用平面內(nèi)點的平移規(guī)律進行計算即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)平面內(nèi)點的平移規(guī)律可得，
把“帥”向左平移兩個單位，向上平移3個單位得到“兵”的位置，
∴（﹣1﹣2，﹣2+3），
即（﹣3，1）．
故答案為：（﹣3，1）．
【點評】本題主要考查了點的坐標，熟練掌握平面內(nèi)點的坐標平移規(guī)律進行求解即可得出答案．
15．如圖，已知直線y＝2x與雙曲線y＝（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點A，若OA＝，則k的值為 　2?。?br />
【分析】由點A在直線y＝2x上，且OA＝，可求得A點坐標為（ 1，2）把已知點的坐標代入解析式可得，k＝2．
【解答】解：設(shè)A（x，y），
∵點A在直線y＝2x上，且OA＝，
∴A點坐標為（ 1，2），
∵點A在雙曲線y＝（x＞0）上，
∴2＝k，
故答案為：2．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合題．
16．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為 　?。?br />
【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一點F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，證△APB∽△BFE，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的長．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一點F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴＝＝2，
設(shè)BP＝x，則AP＝2x，
作BH⊥AD延長線于H，

∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝，BH＝，
∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（x）2+（x）2＝62，
解得x＝或﹣（舍去），
∴AP＝，BP＝，
∴△ABP的周長為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共計72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（8分）先化簡，再求值：﹣，其中a＝3．
【分析】根據(jù)同分母分式加法的法則計算即可，然后將a的值代入化簡后的式子計算即可．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝a﹣1，
當a＝3時，原式＝3﹣1＝2．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式加法的運算法則和因式分解的方法．
18．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有我”知識競賽活動．李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按成績劃分為A、B、C、D四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：
（1）表中a＝　20　，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 　108°??；
（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有多少人？
（3）若A等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等級
成績x/分
人數(shù)
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

【分析】（1）由A的人數(shù)除以所占比例得出抽取的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；
（2）由全校參加此次競賽共有的人數(shù)乘以成績?yōu)锳等級的學(xué)生所占比例即可；
（3）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到T1，T2的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：15÷＝60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×＝108°，
故答案為：20，108°；
（2）600×＝150（人），
答：估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有150人；
（3）畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到T1，T2的結(jié)果有2種，
∴恰好抽到T1，T2的概率為＝．
【點評】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．
19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求證：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．

【分析】（1）元矩形的性質(zhì)得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再證∠CDF＝∠DCF，即可得出結(jié)論；
（2）證△CDF是等邊三角形，得CD＝DF＝6，再證△OCD是等邊三角形，得OC＝OD＝6，則BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∴S矩形ABCD＝BC?CD＝6×6＝36．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐——鄂州花湖機場，于2022年3月19日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°，同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點E、G、C、B在同一水平線上）．求：
（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；
（2）此時飛機的高度AB．（結(jié)果保留根號）

【分析】（1）根據(jù)斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理進行計算即可解答；
（2）過點D作DH⊥AB，垂足為H，則DG＝BH＝30米，DH＝BG，設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù) 定義求出AB的長，從而求出AH，DH的長，然后在Rt△ADH中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，
∴＝，
∴GC＝3DG＝90（米），
在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），
∴兩位市民甲、乙之間的距離CD為30米；
（2）過點D作DH⊥AB，垂足為H，

則DG＝BH＝30米，DH＝BG，
設(shè)BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC?tan45°＝x（米），
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝60+30，
經(jīng)檢驗：x＝60+90是原方程的根，
∴AB＝（60+90）米，
∴此時飛機的高度AB為（60+90）米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示：
（1）小明家離體育場的距離為 　2.5　km，小明跑步的平均速度為 　　km/min；
（2）當15≤x≤45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（3）當小明離家2km時，求他離開家所用的時間．

【分析】（1）根據(jù)圖象可以直接看到小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為：路程÷時間；
（2）是分段函數(shù)，利用待定系數(shù)法可求；
（3）小明離家2km時，有兩個時間，第一個時間是小明從家跑步去體育場的過程中存在離家2km，利用路程÷速度可得此時間，第二個時間利用BC段解析式可求得．
【解答】解：（1）小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為＝km/min；
故答案為：2.5，；
（2）如圖，B（30，2.5），C（45，1.5），

設(shè)BC的解析式為：y＝kx+b，
則，
解得：，
∴BC的解析式為：y＝﹣x+4.5，
∴當15≤x≤45時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y＝；
（3）當y＝2時，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴當小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或min．
【點評】本題考查了函數(shù)的圖象，能夠從函數(shù)的圖象中獲取信息是解題的關(guān)鍵，注意他所用的時間單位是min．
22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．
（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．

【分析】（1）由圓周角定理得出∠ACB＝90°，進而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，結(jié)合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切線；
（2）由tanA＝，得出＝，由△PCB∽△PAC，得出＝＝＝，進而求出PB＝2，PA＝8，OC＝3，由平行線分線段成比例定理得出，進而求出CD＝6，即可求出△OCD的面積．
【解答】解：（1）PC是⊙O的切線，理由如下：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠PCB＝∠OAC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，
∵OC是半徑，
∴PC是⊙O的切線；
（2）在Rt△ACB中，tanA＝，
∵tanA＝，
∴＝，
∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝＝＝，
∵PC＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，
∴OC＝OB＝OA＝3，
∵BC∥OD，
∴，即，
∴CD＝6，
∵OC⊥CD，
∴＝×3×6＝9．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，掌握圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形面積的計算公式是解決問題的關(guān)鍵．
23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．
例如：拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF＝MN，F(xiàn)H＝2OH＝1．
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：　（0，）　，　y＝﹣?。?br /> 【技能訓(xùn)練】
（2）如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；
【能力提升】
（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升華】
（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．
如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．

【分析】（1）根據(jù)焦點的坐標公式和準線l的方程直接得出結(jié)論即可；
（2）可求出點P的縱坐標，從而確定P點的橫坐標；
（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，從而，，進一步求得結(jié)果；
（4）設(shè)點M（m，m2），根據(jù)＝2列出方程，求得m的值，進一步求得結(jié)果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案為：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣4，
∴準線為：y＝﹣4，
∴點P的縱坐標為：2，
∴＝2，
∴x＝±4，
∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如圖，


作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，F(xiàn)H＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）設(shè)點M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E為線段HF的黃金分割點，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
當EH＝﹣1時，S△HME＝＝＝﹣1，
當EH＝3﹣時，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面積是﹣1或3﹣．
【點評】本題考查了閱讀運用新知識能力，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識的結(jié)論．
24．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點P為線段AB上一動點．
（1）請直接寫出點B的坐標；
（2）若動點P滿足∠POB＝45°，求此時點P的坐標；
（3）如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應(yīng)點為A′，當PA′⊥OB時，求此時點P的坐標；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．


【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如圖1中，過點P作PH⊥OB于點H．設(shè)PH＝OH＝x，構(gòu)建方程求出x，再利用相似三角形的性質(zhì)求出PB即可；
（3）如圖2中，設(shè)PA′交OB于點T．利用相似三角形的性質(zhì)求出ET，再求出PB，可得結(jié)論；
（4）如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK，連接KG，延長KG交x軸于點R，過點K作KJ⊥AF于點J．KQ⊥OR于點Q，過點O作OW⊥KR于W．證明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最?。?br /> 【解答】解：（1）如圖1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；

（2）如圖1中，過點P作PH⊥OB于點H．

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
設(shè)PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（3）如圖2中，設(shè)PA′交OB于點T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性質(zhì)可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（4）如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK，連接KG，延長KG交x軸于點R，過點K作KJ⊥AF于點J．KQ⊥OR于點Q，過點O作OW⊥KR于W．

∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，F(xiàn)P＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴點G在直線KR上運動，當點G與W重合時，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四邊形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OQ＝+＝，
∴OW＝OR?sin60°＝4，
∴OG的最小值為4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等邊三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴線段FP掃過的面積＝＝．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/6/30 7:32:37；用戶：柯瑞；郵箱：ainixiaoke00@163.com；學(xué)號：500557

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