第34講 平面向量的概念與線性運(yùn)算1、 向量的有關(guān)概念(1)零向量：長度為0的向量叫          ，其方向是不確定的．(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做         ．我們規(guī)定零向量與任一向量         ．(3)單位向量：長度等于         個單位長度的向量．(4)相等向量：長度相等且方向         的向量．(5)相反向量：與向量a長度相等，方向         的向量叫做a的相反向量．2、向量的線性運(yùn)算(1)向量加法滿足交換律a＋b＝         ，結(jié)合律(a＋b)＋c＝         ．向量加法可以使用三角形法則，平行四邊形法則．(2)向量的數(shù)乘：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時，λa與a方向         ；當(dāng)λ<0時，λa與a方向         ；當(dāng)a＝0時，λa＝         ；當(dāng)λ＝0時，λa＝         ．(3)實數(shù)與向量的運(yùn)算律：設(shè)λ，μ∈R，a，b是向量，則有：①λ(μa)＝         ；②(λ＋μ)a＝         ；③λ(a＋b)＝         ．3、 向量共線定理：如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是         ；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝         ． 1、【2022年新高考1卷】在中，點D在邊AB上，．記，則（       ）A． B． C． D．2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB邊上的中點，則=（       ）A． B． C． D． 1、在下列命題中，真命題的是　　　　．（填序號）①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．2、 如圖，已知＝a，＝b，＝3，＝2，則等于(　　) A. b－aB. a－bC. a－bD. b－a3、已知＝4e1＋2e2，＝2e1＋te2，若M、P、Q三點共線，則t＝(      )A. 1　   B. 2　  C. 4　  D. －14、已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，則(　　)A.A，B，D三點共線    B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線    D.A，C，D三點共線考向一　平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列命題，正確的有(　　)A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B．若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線變式1、給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若＝，則A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形；④在平行四邊形ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中錯誤的命題是　　　　．（填序號） 變式2、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．（1）與相等的向量有              ；（2）與相等的向量有          ；（3）與共線的向量有          ．   方法總結(jié)：向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線．考向二  向量的線性運(yùn)算 例2、如圖，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝　　　　.  變式1、（1）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于(　　)A.－   B.－C.＋   D.＋（2）如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點E，則等于(　　)A.－   B.＋C.－   D.＋ 變式2、設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點，則＋＋＋＝　　　　．（用表示） 方法總結(jié)：向量的線性運(yùn)算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．考向三 共線定理的應(yīng)用 例3、設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2) 試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．    變式1、如圖，在△ABC中，D是BC上靠近點B的四等分點，E，F分別為AC，AD的三等分點，且分別靠近A，D兩點，設(shè)＝a，＝b.(1) 試用a，b表示，，；(2) 證明：B，E，F三點共線．   變式2、如圖，在△ABO中，＝，＝，AD與BC相交于點M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示.       方法總結(jié)：利用共線向量定理解題的方法(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．即A，B，C三點共線?，共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)＝λ＋μ (λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.1、 已知a，b是不共線的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三點共線，則λ的值為(　　)A. －1    B. －2C. －2或1    D. －1或22、（多選題）.在△ABC中，下列命題正確的是(　　 )A.－＝B.＋＋＝0C.若(＋)·(－)＝0，則△ABC為等腰三角形D.若·＞0，則△ABC為銳角三角形3、（2020屆山東省泰安市高三上期末）（多選題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F為AE的中點，則（    ）A．B．C．D．4、（2022年河北省承德市高三模擬試卷） 如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（    ）A.  B. C.  D.

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