?重難點02五種導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想（核心考點講與練）
能力拓展

題型一：函數(shù)與方程思想
一、單選題
1．（2022·廣西柳州·三模（理））若曲線在點處的切線方程為，則的最大值為（???????）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合題設(shè)可得，再根據(jù)目標式構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可.
【詳解】由題設(shè)，，則，而，
所以處的切線方程為，
則，故，
令，則，
當(dāng)時，，即遞增；當(dāng)時，，即遞減；
所以，故的最大值.
故選：A
2．（2022·浙江·寧波市鄞州高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知實數(shù)， 函數(shù)， 滿足， 則的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)是的兩個零點且，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求得，，進而代換目標式得到以為參數(shù)、為自變量的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，即可求最大值.
【詳解】令是的兩個零點，由題設(shè)若，
由根與系數(shù)關(guān)系有：，，
所以，
由且，即，
所以，
令，則，在上，
所以在上遞增，則.
綜上，，此時，
所以時，的最大值.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)的零點并注意，由根與系數(shù)關(guān)系用零點表示m、n，進而轉(zhuǎn)化為以為自變量的二次函數(shù)形式，根據(jù)其開口方向及其最值得到不等關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求不等式中關(guān)于表達式的值域.
二、多選題
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，我們把橫縱坐標相等的點稱之為“完美點”，下列函數(shù)的圖象中存在完美點的是（???????）
A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4
【答案】AC
【分析】橫縱坐標相等的函數(shù)即，與有交點即存在完美點，依次計算即可.
【詳解】橫縱坐標相等的函數(shù)即，與有交點即存在完美點，
對于A,，解得，即存在完美點，
對于B,，無解，即不存在完美點，
對于C,，解得或，即存在完美點，
對于D,， ,即，解得，即不存在完美點，
故選：AC.
三、雙空題
4．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在邊上分別取點E，F(xiàn)，G，且滿足，在△內(nèi)建造噴泉瀑布，在△內(nèi)種植花卉，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)______時，棧道最短，此時_______．

【答案】???? ????
【分析】由題設(shè)有△△，設(shè)，根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得，注意的范圍，進而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】由題意， △△，
設(shè)，則．
在△中，得，則．
由于，解得.
令，，則．
令，則，
當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減；
所以，有最大值，則.
故答案為：，．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：注意根據(jù)，的長度判斷對應(yīng)三角函數(shù)值的范圍.
四、解答題
5．（2021·全國·模擬預(yù)測）．
（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有三個不相同的零點，求證：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及零點的性質(zhì)，即可求解；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在性定理及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題得定義域為，．
∵有兩個極值點，
∴在內(nèi)有兩個零點．
設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，
可得的最小值為，
∴．
（Ⅱ）證明：，
設(shè)的兩根為，，且，
∴，，
可得，
當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，
依題意有三個不同的零點，
∴，，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，
且，，
，，
根據(jù)零點存在性定理得，使；，使．令，，則，，
又，，，
∴．
6．（2021·河南平頂山·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在處的切線與直線平行
（1）求實數(shù)的值，并求的極值；
（2）若方程有兩個不相等的實根，，求證：.
【答案】（1），極小值為；（2）證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率求出的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到極值；
（2）令，，構(gòu)造函數(shù)，原題轉(zhuǎn)化為有兩個實數(shù)根，，利用導(dǎo)數(shù)可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，利用單調(diào)性，可得轉(zhuǎn)化為即可求證.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，
由題意知，
，令，則，
當(dāng)時，；時，.
的極小值為
（2）由（1）知，由得，
即，
所以.
，不妨設(shè)
令，，
則原題轉(zhuǎn)化為有兩個實數(shù)根，，
又，令，得；令，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時，，，，
由圖象可知，，.
設(shè)，
則.
當(dāng)時，，則
在上單調(diào)遞減.
又
時，，得到，即，
又，，
又，則，且，在上單調(diào)遞增，
，即，即.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某地打算修建一條公路，但設(shè)計路線正好經(jīng)過一個野生動物遷徙路線，為了保護野生動物，決定修建高架橋，為野生動物的遷徙提供安全通道.若高架橋的兩端及兩端的橋墩已建好，兩端的橋墩相距1200米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)測，一個橋墩的工程費用為500萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費用為萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因素，記余下工程的費用為y萬元.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)需新建多少個橋墩才能使y最小？并求出其最小值.參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)
(2)需新建個橋墩才能使y最小，最小值為萬元.
【分析】（1）利用題中的已知條件設(shè)出需要建設(shè)橋墩的個數(shù)，進而表示出工程的費用即可；
（2）利用（1）的結(jié)果，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.
(1)由已知兩端的橋墩相距1200米，且相鄰兩橋墩相距x米，故需要建橋墩個，
則


所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，
(2)由（1）知

令，即，解得（舍）或
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，y有最小值，
且
又
（萬元）
所以需新建個橋墩才能使y最小，最小值為萬元.
題型二：數(shù)形結(jié)合思想
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知直線與曲線相切于兩點，函數(shù)，則對函數(shù)描述正確的是（???????）

A．有極小值點，沒有極大值點 B．有極大值點，沒有極小值點
C．至少有兩個極小值點和一個極大值點 D．至少有一個極小值點和兩個極大值點
【答案】C
【分析】由題設(shè)，令與切點橫坐標為且，由圖存在使，則有三個不同零點，結(jié)合圖象判斷的符號，進而確定單調(diào)性，即可確定答案.
【詳解】由題設(shè)，，則，
又直線與曲線相切于兩點且橫坐標為且，
所以的兩個零點為，由圖知：存在使，
綜上，有三個不同零點，
由圖：上，上，上，上，
所以在上遞減，上遞增，上遞減，上遞增.
故至少有兩個極小值點和一個極大值點.
故選：C.
2．（2021·河南·西南大學(xué)附中高三期中（文））已知函數(shù)，若存在實數(shù)當(dāng)時，滿足則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，所以，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出在時的值域，從而得到的取值范圍．
【詳解】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，，
，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，且，
，
，
的取值范圍為，
故選：D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象上任取一點，過點作其切線，交于點，過點作其切線，交于點，過點作其切線，交于點，則的取值（???????）

A．與有關(guān)，且存在最大值 B．與有關(guān)，且存在最小值
C．與有關(guān)，但無最值 D．與無關(guān)，為定值
【答案】D
【分析】先證明一個結(jié)論：函數(shù)的圖象上任取一點，.
過點作其切線交于點，過點作交于另兩個點 ，則；利用該結(jié)論即可求出的橫坐標關(guān)于的表達式，進而求出直線與的方程，聯(lián)立直線與的方程，即可求出點的橫坐標，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.
【詳解】先證函數(shù)的圖象上任取一點，.
過點作其切線交于點，過點作交于另兩個點 ，則.
證明:設(shè)過點的直線為，聯(lián)立得: ，得方程
則方程必有一根，于是方程可改寫為，其中，
當(dāng)與相切于點時，方程有重根，韋達定理知；
當(dāng)與相交于點時，方程有另兩個根，
韋達定理知.
故.

由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
設(shè)，連結(jié)，交于另一點，由對稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以；

設(shè)，連結(jié)交于另一點由對稱性，則，由上述結(jié)論，則，所以.
于是直線為，直線為，
聯(lián)立得: ，解得，
所以，故的取值與無關(guān)，為定值.
故選：D.
二、多選題
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列說法正確的有（???????）
A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)有唯一零點
C．函數(shù)有無數(shù)個極值點 D．函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)
【答案】CD
【分析】根據(jù)不是周期函數(shù)，從而可判斷選項A錯誤；
令，，，
作出與的圖象，由圖象可判斷選項B；
作出與的圖象，由圖可判斷選項C；
通過圖象可判斷在不單調(diào)，從而可判斷選項D.
【詳解】，
因為不是周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，A錯；
令，，，
令，則，
作出與的圖象，由圖可知，與的圖象至少有兩個交點，

至少有兩個零點，至少有兩個零點，B錯誤；
作出與的圖象，由圖可知，有無數(shù)個零點

有無數(shù)個極值點，即有無數(shù)個極值點，C正確；
因為在有零點，所以在不單調(diào)，
在不單調(diào)，D正確；
故選：CD.
三、雙空題
5．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程的根為________．若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】???? 或2；???? .
【分析】（1）當(dāng)時，運用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可得，可得一根，當(dāng)時，直接求解可得.
（2）先運用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象列出函數(shù)有3個零點所需要的條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】解：（1）當(dāng)時，，所以，
令，得，并且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，故當(dāng)時，有唯一根，
當(dāng)時，，令，解得（舍去）或2，
故當(dāng)時，的根為2，
綜上，根為或2；
（2）因為，
當(dāng)時，由（1），則，
當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且僅當(dāng)，且，
因為當(dāng)時，則有或，
即或，

由圖象得，要使函數(shù)有三個零點，且，
則或或
解得實數(shù)的取值范圍是
故答案是：或2；.
6．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)則函數(shù)的最小值為________；若關(guān)于的方程有四個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】???? ????
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在每段上的最小值，比較大小即可；求出過點且與相切的直線的斜率，再由數(shù)形結(jié)合可得出與有4個交點時的斜率取值范圍，即可得解.
【詳解】令，表示過定點，斜率為的動直線，
當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，
，
在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)圖象與直線，如圖所示，

關(guān)于的方程有四個不同的實根，等價于函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，
當(dāng)時，的圖象在點處切線斜率為，
該切線過點時，滿足，解得，
的圖象過點的切線斜，
當(dāng)時，，的圖象在點處的切線斜率為，該切線過點時，，
，解得，
的圖象過點的切線斜率為2，
由函數(shù)圖象知，當(dāng)動直線在直線與所夾不含軸的對頂角區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)動（不含邊界直線）時，函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，此時的取值范圍是．
故答案為：；
四、填空題
7．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根，進而設(shè)，然后先通過導(dǎo)數(shù)的方法探討函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再討論關(guān)于t的方程的根的分布，最后求得答案.
【詳解】問題即在區(qū)間上恰有四個不同的實數(shù)根.
設(shè)，，則時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，且.如示意圖：
?????
由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)有2個零點，于是問題關(guān)于t的的方程即在上有2個不等實根.
設(shè)的兩個零點為，易知.
于是，.
故答案為：.
【點睛】本題較難，首先直接處理較為麻煩，因此對原方程進行恒等變形，進而采用“換元法”降低試題的難度.另外，我們經(jīng)常采用“數(shù)形結(jié)合法”進行輔助解題，這樣更加形象和直觀.
題型三：分類與整合思想
一、多選題
1．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中常數(shù)，，則下列說法正確的有（???????）
A．函數(shù)的定義域為
B．當(dāng)，時，函數(shù)有兩個極值點
C．不存在實數(shù)和m，使得函數(shù)恰好只有一個極值點
D．若，則“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的充分不必要條件
【答案】BC
【分析】A判斷時的定義域情況即可；B利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，判斷是否有兩個變號零點即可；C、D對求導(dǎo)，構(gòu)造結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論和m，應(yīng)用零點存在性定理判斷變號零點的個數(shù)，進而判斷極值點個數(shù)及單調(diào)性.
【詳解】A：當(dāng)時定義域為，錯誤；
B：且定義域為，則，
而在上遞減，上遞增，且，，
所以在上各有一個變號零點，則有兩個極值點，正確；
C：，則，
令，則圖象開口向上，對稱軸且，
要使有極值點，必有變號零點，則，所以或，
當(dāng)時，則定義域為，又，
此時則，故在上遞增，又，即，無極值點；
此時則，則在遞減，遞增，
故、各有一個零點，即有兩個變號零點；
當(dāng)時，則定義域為，且，，
則在上遞增，又，即，無極值點；
當(dāng)時，定義域為，，
此時則，故在上遞減，遞增，
又，，趨向正無窮趨于正無窮，故在、各有一個變號零點，即有兩個變號零點；
此時則，則在遞增，又，即，無極值點；
綜上，不存在實數(shù)和m，使得函數(shù)恰好只有一個極值點，正確；
D：結(jié)合C分析：當(dāng)且時有，則在上恒正，即，此時是增函數(shù)；
當(dāng)且時有，則在，各有一個零點，易得有兩個變號零點，此時不單調(diào)，
命題的充分性不成立，錯誤.
故選：BC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：C、D首先對求導(dǎo)，構(gòu)造，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論參數(shù)判斷變號零點的個數(shù)及單調(diào)性.
二、解答題
2．（2022·四川南充·三模（理））已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，若，求證：對于任意，函數(shù)有唯一零點．
【分析】（1）求導(dǎo)，通過討論的范圍研究導(dǎo)函數(shù)的符號變化，進而研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)研究.的單調(diào)性，再利用放縮法進行轉(zhuǎn)化求證.
(1)解：的定義域為，
且，
當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，
①當(dāng)時，在單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，當(dāng)時，
即時，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時，
即時，
由得，
所以在、單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增；
綜上所述：
①當(dāng)時，在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
③時，在單調(diào)遞減；
④當(dāng)時，在、
單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
(2)解：當(dāng)時，，

，
令，則．
則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．
所以
所以
在單調(diào)遞減．
當(dāng)時，由
得
當(dāng)時，
由
得
存在唯一，使得函數(shù)．
所以對于任意，函數(shù)有唯一零點．
3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，常數(shù)a是實數(shù).
(1)設(shè)，求曲線在點處的切線方程；
(2)，都有，求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先求出，再求導(dǎo)得到，即可求出切線方程；
（2）令，求導(dǎo)后令，通過得到在單調(diào)遞增，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時，說明，使，不合題意，即可求解.
(1)設(shè)，則，
∴，，
∴，
∴曲線在點處的切線方程頭，即．
∴曲線在點處的切線方程為．
(2)設(shè),
則．
設(shè)，則．
∴函數(shù)在單調(diào)遞增．
當(dāng)時，．
∴，故在單調(diào)遞增．
又∵，故對任意都成立．
即當(dāng)時，，都有,即．
當(dāng)時，，
，
∴，使．
∵函數(shù)在單調(diào)遞增，
∴，都有．
∴在單調(diào)遞減．
∴，使，即，使，與，都有矛盾．
綜上所述，a的取值范圍為．
【點睛】本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后令，通過得到的單調(diào)性，求得的最小值，再討論當(dāng)時，得到在單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時，說明，使，不合題意，即可求解.
4．（2022·湖南師大附中二模）已知函數(shù).
(1)若，比較與的大??；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有3個零點
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)可求得，再分和兩種情況討論，結(jié)合零點的存在性定理，從而可得出結(jié)論.
(1)解：當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
因為，
所以；
(2)解：，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，
即，
①若，即，則，在上遞增，
因為，則為的唯一零點；
②若，即，則，
因為，，則在內(nèi)僅有個零點，記為n，
因為，
設(shè)，則當(dāng)時，，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
從而，即，
所以在內(nèi)僅有一個零點，記為m，
于是，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，
因為，，則，，
故在內(nèi)有唯一零點，
因為，
則在內(nèi)有唯一零點，
因為，
則在內(nèi)有唯一零點，
所以在內(nèi)有3個零點.
綜上所述，當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有3個零點.
【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點的問題，考查了二次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力及分類討論思想，屬于難題.
5．（2022·河北唐山·二模）已知函數(shù)，，曲線和在原點處有相同的切線l．
(1)求b的值以及l(fā)的方程；
(2)判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)，并說明理由．
【答案】(1)，的方程：.
(2)在上有1個零點，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)曲線和在原點處有相同的切線l，則可知斜率相等，進一步求出b的值以及l(fā)的方程；
（2）函數(shù)零點即是圖象與軸的交點，需要用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)，其中要進行二次求導(dǎo)，運用零點存在性定理說明函數(shù)的零點情況.
(1)依題意得： ，.
，
，的方程：.
(2)當(dāng)時，，，此時無零點.
當(dāng)時，
令
則，顯然在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，
因此可得時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；又，
所以存在，使得，
即時，，，單調(diào)遞減；
時，，，單調(diào)遞增；
又，，所以在上有一個零點.
綜上，在上有1個零點.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)的零點、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理，知識考查較為綜合，對學(xué)生是一個挑戰(zhàn)，屬于難題.
6．（2022·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后對a分類討論，解不等式得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由題意轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，記，利用導(dǎo)數(shù)可得，再利用導(dǎo)數(shù)及零點的性質(zhì)求出即可得解.
(1)
①當(dāng)時，時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，在上遞減；
②當(dāng)時，令，得或，函數(shù)遞增；
令，得，函數(shù)遞減
③當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在R上遞增
④當(dāng)時，令，得或，函數(shù)遞增；
令，
得，函數(shù)遞減.
(2)不等式在上恒成立，
即對任意的恒成立，
對任意的恒成立
記，則，
記，則，易知在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，且，
存在，使得，且當(dāng)時，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，即，故在上單調(diào)遞增，
，即，
又，故，即，
令
在上恒成立，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，

.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出函數(shù)后，需要再次利用導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理，確定的單調(diào)性及極值是解題的關(guān)鍵，需要較強的運算及思維能力，當(dāng)?shù)玫胶?，再根?jù)零點的定義及函數(shù)單調(diào)性求出，屬于難題.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若存在唯一極值點，且極值為0，求a的值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)當(dāng)或時，在上無零點；
當(dāng)或時，在上有1個零點；
當(dāng)時，在上有2個零點．
【分析】（1）求出，分、兩種情況討論的單調(diào)性，然后可得答案；
（2）分類討論在區(qū)間上的單調(diào)性，每種情況下結(jié)合的函數(shù)值的符號判斷其零點個數(shù).
(1)（1）由已知，可得．
①當(dāng)時，則當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，
此時不存在極值點，不符合題意；
②當(dāng)時，則由得或（舍）．
∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
∴存在唯一極大值點．
∴，解得
(2)（1）當(dāng)時，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增．
∵，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上無零點.
（2）當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞增，
∵，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
（3）當(dāng)時，，知在上單增，在上單減，
①當(dāng)時，∵，，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.
②當(dāng)時，∵，，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.
③當(dāng)時，∵，，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
（4）當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞減，
∵，，
由零點存在性定理知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.
綜上，當(dāng)或時，在上無零點；
當(dāng)或時，在上有1個零點；
當(dāng)時，在上有2個零點．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是要掌握分類討論的思想，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的符號討論函數(shù)的零點個數(shù).
題型四：轉(zhuǎn)化與劃歸思想
一、單選題
1．（2022·廣西南寧·二模（理））設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（???????）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【分析】將已知條件變形為，構(gòu)造兩個函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可.
【詳解】解：易知等價于．
令，則．
令得．
當(dāng)時；當(dāng)時．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有最大值．
令，則．
當(dāng)時不符合，舍去，所以．
則，．
當(dāng)時；當(dāng)時．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有最小值．
若成立，只需，
即，即．
兩邊取自然對數(shù)可得．
當(dāng)時等式成立；當(dāng)時有．
令，本題即求的最大的正整數(shù)．
恒成立，則在上單調(diào)遞減．
因為，，，
所以的最大正整數(shù)為9．
故選：B．
【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，同時也考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，對解題能力有一定的挑戰(zhàn)性，是難題.
2．（2022·山東·夏津第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知不等式恰有2個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原不等式等價于，，設(shè)，，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點結(jié)合圖象可求.
【詳解】原不等式等價于，，
設(shè)，，所以，得．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
又，且時，，
因此與的圖象如下，

當(dāng)時，顯然不滿足條件，
當(dāng)時，只需要滿足，即，解得．
故選：D．
3．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式對任意，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線上的點的距離最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求上斜率為1的切線上切點坐標，再應(yīng)用點線距離公式求最小距離，即可得m的范圍.
【詳解】設(shè)，則T的幾何意義是直線上的點與曲線上的點的距離，
將直線平移到與面線相切時，切點Q到直線的距離最?。?br /> 而，令，則，可得，
此時，Q到直線的距離，故，
所以．
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將題設(shè)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線與曲線上點的最小距離且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點線距離公式求m的范圍.
二、多選題
4．（2022·廣東廣州·二模）我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，如，表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，只需兩個數(shù)碼0和1，如四位二進制的數(shù)，等于十進制的數(shù)13．把m位n進制中的最大數(shù)記為，其中m，，為十進制的數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)問題背景的介紹，可以得到m位n進制中的最大數(shù)的書寫方法，進而得到選項中最大數(shù)的式子，再進行大小比較即可.
【詳解】對于A：即是：，A正確；
對于B：即是：
即是：，B正確；
對于C、D：
，即是：

，即是：

構(gòu)造函數(shù)：，求導(dǎo)得：

，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；

代入得：
即是：，
，D正確.
故選：ABD
【點睛】本題考查背景知識的從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程，對獲取信息從而抽象成數(shù)學(xué)問題的能力有一定的要求，隨后需要用數(shù)列求和得出需要的結(jié)果，再從構(gòu)造函數(shù)的角度考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，
運用函數(shù)的性質(zhì)進行大小比較，對學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn)，屬難題.
5．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則（?????）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C． D．?dāng)?shù)列的前項和為，則.
【答案】AC
【分析】根據(jù)定義結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和錯位相減求和，依次判斷各選項即可得出結(jié)果.
【詳解】因為與互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故A正確；
因為，所以數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯誤；
因為7為質(zhì)數(shù)，所以與不互質(zhì)的數(shù)為7，14，21，…，，共有個，
所以，故C正確；
因為，所以
設(shè)，則
所以，
所以，從而數(shù)列的前項和為，故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________．
【答案】3
【分析】根據(jù)已知條件進行同構(gòu)，研究同構(gòu)函數(shù)單調(diào)性得到再轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】因為，
所以，
令，則，
因為當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即，
所以．
故答案為：3
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值集合是_________．
【答案】
【分析】通過同構(gòu)與換元的轉(zhuǎn)化，將原題轉(zhuǎn)化為求恒成立時的取值集合，通過觀察可知是函數(shù)的極大值點，所以，得到，再驗證對恒成立的充分性即可.
【詳解】因為對恒成立，
兩邊同時除以得，即，
所以，令，，
則對恒成立，
令，則，
顯然，所以是函數(shù)的極大值點，
所以，得，
下面驗證對恒成立的充分性，
當(dāng)時，，，
令，得，此時單調(diào)遞減，
令，得，此時單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即是恒成立的充要條件.
所以.
故答案為：
四、解答題
8．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若為函數(shù)的極大值點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)，時，單調(diào)遞增；當(dāng)，時，單調(diào)遞減；
(2).
【分析】（1）首先求其定義域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求其單調(diào)區(qū)間；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)并將其表示成二次函數(shù)與另一個函數(shù)乘積形式，分段討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極大值點求得的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域為
當(dāng)時， ，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
綜上所述，
當(dāng)，時，單調(diào)遞增；
當(dāng)，時，單調(diào)遞減.
(2)

令，
當(dāng)時，由（1）知，為函數(shù)的極大值點，成立；
當(dāng)時，的圖象開口向上，
，方程有兩根，設(shè)為，且，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點，成立；
當(dāng)或時，的圖象開口向下，
對稱軸，，，
方程有兩正根，設(shè)為，且，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
令，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點，成立；
當(dāng)時，的圖象開口向下，，對稱軸，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
為函數(shù)的極大值點，成立；
當(dāng)時，在上恒成立，
不是函數(shù)的極值點，舍去；
當(dāng)即時，的圖象開口向下，
，方程有兩根，設(shè)為，且，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
為函數(shù)的極小值點，舍去；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性以及極值問題時應(yīng)注意如下幾方面：
(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；
(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；
(3)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；
(4)本題研究極值點的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化成和兩個函數(shù)；
(5)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
(6)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．
9．（2022·江西·臨川一中高三期中（文））設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個實數(shù)根，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明見解析
【分析】（1）首先求出定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）首先把代入化簡方程，然后根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得出兩根的取值范圍，利用換元法得出兩根的表達式，接著運用分析法從構(gòu)造函數(shù)的角度，利用函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值情況證明不等式.
(1)，
令解得：；令解得：
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.
(2)證明：，
令，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的極大值為：，
，不妨設(shè)，則 ，故，
令，所以，
要證，只要證：，
只要證：，
令，
設(shè)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，
則存在，使得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，
即證得：.
【點睛】本題考查函數(shù)零點問題，零點存在性定理，用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問題，對分析問題和解決問題的能力有一定的要求，學(xué)生應(yīng)從基礎(chǔ)入手，層層深入，各個擊破.
10．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）若，且直線與曲線相切.
(1)求的值；
(2)證明：當(dāng)，不等式對于恒成立.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)切點為，則有，解之即可的解；
（2）要證當(dāng)，不等式對于恒成立，只需證當(dāng)，不等式對于恒成立，令，只需證明即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得證.
(1)解：設(shè)切點為，，
則，解得：，
；
(2)
證明：要證當(dāng)，不等式對于恒成立，
只需證當(dāng)，不等式對于恒成立，
令，
令，
，
令，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
故，
，
則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
所以，
所以函數(shù)在上遞增，
即函數(shù)在上遞增，
又，
所以，所以在上遞增，
又因為，故恒成立，
即當(dāng)，不等式對于恒成立.
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了放縮及轉(zhuǎn)換思想，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、計算能力及邏輯推理能力，難度很大.
題型五：特殊與一般思想
一、單選題
1．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））若曲線在處的切線也是的切線，則（???????）
A．-1 B．-2
C．2 D．
【答案】B
【分析】求出曲線在處的切線，設(shè)切線與曲線切于點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點坐標，確定值．
【詳解】由得，，又
∴曲線在處的切線方程為
設(shè)直線與曲線切于點
由得，
∴，，即
∴，解得
故選：B
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意區(qū)分函數(shù)在某點處的切線與過某點的切線．過某點的切線問題一般設(shè)切點坐標為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程（或切線斜率），利用所過點求出切點坐標，得出結(jié)論
2．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論中錯誤的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】A選項令，進行驗證即可；B選項令，通過驗證結(jié)論成立；C選項當(dāng)時，舉反例時，不滿足條件；D選項求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)存在極值進行判斷．
【詳解】當(dāng)，則，函數(shù)的定義域為，
此時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由得，，
則當(dāng)時，則，此時函數(shù)遞增，當(dāng)時，則，此時函數(shù)遞減，
故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，
則對，；故A正確，
當(dāng)，則，則，
故，，，故B正確．
當(dāng)時，，滿足，但，
故，，不成立，故C錯誤．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
由，則，即，
即，函數(shù)都存在極值點，又，即，成立，故D正確，
故選：C．
【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，利用特殊值法和排除法是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．
3．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則的值為（???????）
A．2 B．1 C．0 D．?2
【答案】A
【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并計算和的值.
【詳解】因為，所以，所以
，
，
所以．
故選：A．
【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重點考察計算，化簡，變形能力，屬于中檔題型.
二、填空題
4．（2020·全國·高三專題練習(xí)）有如下結(jié)論：若無窮等比數(shù)列的公比滿足，則它的各項和．已知函數(shù)f(x)=x2-2x,0?x?213f(x-22),x>2，則的圖象與軸圍成的所有圖形的面積之和為__．
【答案】4
【解析】由已知可得,函數(shù)與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個首項為，公比為的無窮等比數(shù)列,代入公式求解即可.
【詳解】當(dāng)時，，與軸圍成的封閉圖形面積為：；
當(dāng)時，，故當(dāng)時，函數(shù)圖象與軸圍成的封閉圖形長擴大2倍，高縮小到,故面積為：；
同理，當(dāng)時，函數(shù)圖象與軸圍成的封閉圖形面積為：；
依次類推可得,函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個首項為，公比為的無窮等比數(shù)列，
根據(jù)題中的公式得,函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積之和.
故答案為：4
【點睛】本題考查利用定積分求函數(shù)與軸圍成的封閉圖形的面積和無窮等比數(shù)列的求和公式;通過計算,得出函數(shù)的圖象與軸圍成的所有圖形的面積構(gòu)成一個首項為，公比為的無窮等比數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.





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