TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9028" 題型一 庫侖定律與帶電體平衡 PAGEREF _Tc9028 \h 1
\l "_Tc19984" 類型1 庫侖力的疊加 PAGEREF _Tc19984 \h 1
\l "_Tc10566" 類型2 庫侖力作用下的平衡 PAGEREF _Tc10566 \h 5
\l "_Tc32521" 題型二 電場強(qiáng)度的理解和計(jì)算 PAGEREF _Tc32521 \h 10
\l "_Tc6398" 題型三 等量同種和異種點(diǎn)電荷周圍電場強(qiáng)度的比較 PAGEREF _Tc6398 \h 13
\l "_Tc17683" 題型四 電場強(qiáng)度的疊加 PAGEREF _Tc17683 \h 18
\l "_Tc12268" 類型1 點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的疊加 PAGEREF _Tc12268 \h 19
\l "_Tc19270" 類型2 非點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的疊加及計(jì)算 PAGEREF _Tc19270 \h 23
\l "_Tc10743" 題型五 靜電場中的動(dòng)力學(xué)分析 PAGEREF _Tc10743 \h 34
題型一 庫侖定律與帶電體平衡
1．庫侖定律適用于真空中靜止點(diǎn)電荷間的相互作用。
2．對(duì)于兩個(gè)均勻帶電絕緣球體，可將其視為電荷集中在球心的點(diǎn)電荷，r為球心間的距離。
3．對(duì)于兩個(gè)帶電金屬球，要考慮表面電荷的重新分布，如圖2所示。
(1)同種電荷：F＜keq \f(q1q2,r2)；
(2)異種電荷：F＞keq \f(q1q2,r2)。
4．不能根據(jù)公式錯(cuò)誤地認(rèn)為r→0時(shí)，庫侖力F→∞，因?yàn)楫?dāng)r →0時(shí)，兩個(gè)帶電體已不能看作點(diǎn)電荷了。
類型1 庫侖力的疊加
【例1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在半徑為R的圓周上均勻地分布著六個(gè)電荷量均為q的正電荷。在圓心O處固定有一個(gè)電荷量為q的負(fù)電荷，現(xiàn)隨機(jī)將六個(gè)正電荷中的兩個(gè)更換為電荷量為q的負(fù)電荷，靜電力常量為k，此時(shí)O點(diǎn)的負(fù)電荷受到的靜電力大小可能為（ ）
A．B．
C．D．
【例2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，質(zhì)量相等可視為點(diǎn)電荷的A、B、C三個(gè)帶電絕緣小球，其中A帶負(fù)電并固定在絕緣豎直彈簧下端，當(dāng)A、B、C三個(gè)小球的球心距離為L時(shí)，B、C小球帶電荷量相等并懸在空中處于靜止?fàn)顟B(tài)，下列說法正確的是（ ）
A．小球A帶的電荷量是小球B帶電荷量的2倍
B．小球A受到五個(gè)作用力
C．彈簧彈力等于B、C兩個(gè)小球?qū)球引力的矢量和
D．剪斷彈簧后B、C兩個(gè)小球一起做自由落體運(yùn)動(dòng)
【例3】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，M、N和P是以為直徑的半圓弧上的三點(diǎn)，O點(diǎn)為半圓弧的圓心，。電荷量相等、符號(hào)相反的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別置于M、N兩點(diǎn)，這時(shí)處于O點(diǎn)的點(diǎn)電荷所受靜電力大小為；若將N點(diǎn)處的點(diǎn)電荷移至P點(diǎn)，則O點(diǎn)的點(diǎn)電荷所受靜電力大小變?yōu)?，與之比為（ ）
A．B．C．D．
【例4】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，真空中有三個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷，它們固定在邊長為的等邊三角形的頂點(diǎn)A、B、C處，已知每個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量都是q，靜電力常量為k，則A、B處的電荷對(duì)C處電荷的靜電力的合力大小為（ ）
A．B．C．D．
類型2 庫侖力作用下的平衡
(1)解題思路
涉及庫侖力的平衡問題，其解題思路與力學(xué)中的平衡問題一樣，只是在原來受力的基礎(chǔ)上多了庫侖力，具體步驟如下：
(2)“三個(gè)自由點(diǎn)電荷”的平衡問題
①平衡的條件：每個(gè)點(diǎn)電荷受到另外兩個(gè)點(diǎn)電荷的合力為零或每個(gè)點(diǎn)電荷處于另外兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的合電場強(qiáng)度為零的位置。
②
【例1】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一勁度系數(shù)為的絕緣輕質(zhì)彈簧，一端固定在傾角為的光滑絕緣斜面的上端，另一端與帶電量為、質(zhì)量為m的球a連接。a的右側(cè)固定有帶電量為Q的球b、系統(tǒng)靜止時(shí)，a對(duì)斜面的壓力恰好為零，兩球心高度相同，球心間距和彈簧的長均為l。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，兩帶電小球視為點(diǎn)電荷，則（ ）
A．球b帶正電，B．球b帶負(fù)電，
C．彈簧的原長為D．彈簧的原長為
【例2】．（2023·海南·統(tǒng)考二模）用絕緣細(xì)線a、b將兩個(gè)帶電小球1和2連接并懸掛，已知小球2的重力為G，如圖所示，兩小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)線a與豎直方向的夾角為30°，兩小球連線與水平方向夾角為30°，細(xì)線b水平，則（ ）
A．小球1帶電量一定小于小球2的帶電量
B．細(xì)線a拉力大小為
C．細(xì)線b拉力大小為
D．小球1與2的質(zhì)量比為
【例3】．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）某同學(xué)設(shè)計(jì)如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置來驗(yàn)證庫侖定律：將一個(gè)帶電小球A用絕緣細(xì)線懸掛，并將另一個(gè)與小球A帶同種電荷的小球B與它靠近，A球受到B球的靜電斥力F而發(fā)生偏移，測(cè)得A球的質(zhì)量為m，懸點(diǎn)到A球球心的距離為l。首先，在保持兩球電荷量不變的情況下，移動(dòng)小球B改變兩球之間的距離，用刻度尺測(cè)量穩(wěn)定后兩球間的距離r和A球偏移的距離d（實(shí)驗(yàn)中滿足）；然后，設(shè)法改變兩球的電荷量，再進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)。下列說法正確的是（ ）
A．實(shí)驗(yàn)中，小球A所受靜電力的測(cè)量值
B．為方便驗(yàn)證“靜電力與距離平方成反比的關(guān)系”，應(yīng)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出F與的關(guān)系圖像
C．用不帶電導(dǎo)體球C分別與A、B兩球接觸后，A、B兩球一定帶等量同種電荷
D．實(shí)驗(yàn)中僅測(cè)量d與r，也可以驗(yàn)證“靜電力與距離平方成反比的關(guān)系”
【例4】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在光滑、絕緣的水平面上，沿一直線依次排列三個(gè)帶電小球A、B、C，均可視為質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。若它們恰能處于平衡狀態(tài)，那么這三個(gè)小球所帶電荷量及電性的關(guān)系可能的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【例5】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，帶電金屬小球A用絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，O點(diǎn)正下方帶電小球B固定在絕緣支座上，兩小球可視為質(zhì)點(diǎn)，平衡時(shí)其間距離為L?，F(xiàn)將與小球A完全相同的三個(gè)不帶電的金屬小球依次并充分與A接觸后移開，則再次平衡后A、B間距離為（ ）
A．B．
C．D．L
【例6】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）如圖，水平向右的勻強(qiáng)電場中有a、b兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電小球，小球所帶電荷量的大小相同、電性未知?，F(xiàn)將兩小球用絕緣細(xì)線懸掛于同一點(diǎn)，兩球靜止時(shí)，它們距水平面的高度相等，線與豎直方向的夾角分別為，且，不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是（ ）

A．若a、b電性相反，則球a的質(zhì)量一定大于球b的質(zhì)量
B．若a、b電性相反，則球a的質(zhì)量可能等于球b的質(zhì)量
C．若同時(shí)剪斷兩根細(xì)繩，則a球可能先落地
D．若同時(shí)剪斷兩根細(xì)繩，則a、b兩球一定同時(shí)落地
題型二 電場強(qiáng)度的理解和計(jì)算
1．電場強(qiáng)度的性質(zhì)
(1)矢量性：規(guī)定正電荷在電場中某點(diǎn)所受電場力的方向?yàn)樵擖c(diǎn)電場強(qiáng)度的方向。
(2)唯一性：電場中某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E是唯一的，它的大小和方向與放入該點(diǎn)的電荷q無關(guān)，它決定于形成電場的電荷(場源電荷)及空間位置。(3)疊加性：如果有幾個(gè)靜止點(diǎn)電荷在空間同時(shí)產(chǎn)生電場，那么空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度是各場源電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和。
2．電場強(qiáng)度的三個(gè)公式比較
eq \a\vs4\al(三個(gè),公式)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E＝\f(F,q)（適用于任何電場）,E＝\f(kQ,r2)（適用于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場）,E＝\f(U,d)（適用于勻強(qiáng)電場）))
【例1】(多選)如圖甲所示，在x軸上有一個(gè)點(diǎn)電荷Q(圖中未畫出)，O、A、B為軸上三點(diǎn)．放在A、B兩點(diǎn)的試探電荷受到的電場力跟試探電荷所帶電荷量的關(guān)系如圖乙所示．以x軸的正方向?yàn)殡妶隽Φ恼较?，則( )
A．點(diǎn)電荷Q一定為正電荷
B．點(diǎn)電荷Q在A、B之間
C．A點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為2×103 N/C
D．同一電荷在A點(diǎn)受到的電場力比在B點(diǎn)的大
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）圖甲中AB是一條過點(diǎn)電荷的線，圖乙為在線上a、b處的檢驗(yàn)電荷所受靜電力大小與電荷量之間的關(guān)系圖像，由此可知以下判斷可能正確的是（ ）
A．場源電荷是一定是正電荷，位于a點(diǎn)的左側(cè)
B．場源電荷是正電荷，位于b點(diǎn)的右側(cè)
C．場源電荷可以是負(fù)電荷，位于a點(diǎn)的左側(cè)
D．場源電荷是負(fù)電荷，位于b點(diǎn)的右側(cè)
【例3】真空中Ox坐標(biāo)軸上的某點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，坐標(biāo)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0.2 m和0.7 m．在A點(diǎn)放一個(gè)帶正電的試探電荷，在B點(diǎn)放一個(gè)帶負(fù)電的試探電荷，A、B兩點(diǎn)的試探電荷受到靜電力的方向都跟x軸正方向相同，靜電力的大小F跟試探電荷電荷量q的關(guān)系分別如圖中直線a、b所示．忽略A、B間的作用力．下列說法正確的是( )
A．B點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為0.25 N/C
B．A點(diǎn)的電場強(qiáng)度的方向沿x軸負(fù)方向
C．點(diǎn)電荷Q的位置坐標(biāo)為0.3 m
D．點(diǎn)電荷Q是正電荷
題型三 等量同種和異種點(diǎn)電荷周圍電場強(qiáng)度的比較
【例1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）如圖所示，A、B為真空中兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷，O為連線的中點(diǎn)，c、d兩點(diǎn)位于兩電荷連線的中垂線上，且，取無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)面，則下列說法正確的是（ ）比較項(xiàng)目
等量異種點(diǎn)
電荷
等量同種點(diǎn)
電荷
電場線的分布圖
連線中點(diǎn)O
處的場強(qiáng)
連線上O點(diǎn)場強(qiáng)最小，指向負(fù)電荷一方
為零
連線上的場強(qiáng)大小(從左到右)
沿連線先變小，再變大
沿連線先變小，再變大
沿連線的中垂線由O點(diǎn)向外的場強(qiáng)大小
O點(diǎn)最大，向外逐漸變小
O點(diǎn)最小，向外先變大后變小
關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的場強(qiáng)(如A與A′、B與B′、C與C′等)
等大同向
等大反向
A．圖中a、b兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同，ab連線間O點(diǎn)場強(qiáng)最大
B．圖中c、d兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同，cd連線間O點(diǎn)場強(qiáng)最大
C．圖中a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)不同，ab連線間O點(diǎn)電勢(shì)為0
D．圖中c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)不同，cd連線間O點(diǎn)電勢(shì)為0
【例2】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，兩個(gè)等量異種電荷產(chǎn)生的電場中，abcd四點(diǎn)分別處于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，其中ab兩點(diǎn)在等量正負(fù)電荷的連線上，且關(guān)于連線的中垂線對(duì)稱，則下列說法正確的是（ ）

A．a(chǎn)b兩點(diǎn)的電勢(shì)相等
B．cd兩點(diǎn)的電場強(qiáng)度相同
C．移動(dòng)單位負(fù)電荷從d到c，電場力做正功
D．移動(dòng)單位正電荷從b到d，電場力沿做功比直接沿對(duì)角線做功大
【例3】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，實(shí)線是電量為q的等量異種點(diǎn)電荷的電場線分布示意圖，虛直線是兩電荷連線PQ的中垂線，圓形虛線的圓心在正電荷處，半徑為R，右側(cè)與虛直線相切于O點(diǎn)，M、N是圓形虛線上的兩點(diǎn)，電勢(shì)均為，N點(diǎn)到負(fù)電荷的距離為，靜電力常量為k，規(guī)定無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，兩電荷固定不動(dòng)，下列說法正確的是（ ）
A．在圓形虛線上移動(dòng)電荷，電場力不做功B．O點(diǎn)的場強(qiáng)小于N點(diǎn)的場強(qiáng)
C．N點(diǎn)的場強(qiáng)大小為
D．把電量為q的負(fù)電荷從N點(diǎn)移到O點(diǎn)的過程中電勢(shì)能增加
【例4】．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，兩個(gè)帶等量負(fù)電荷的小球A、B（可視為點(diǎn)電荷），被固定在光滑的絕緣水平面上，M、N是小球A、B連線的水平中垂線上的兩點(diǎn)，且MO＝ON?，F(xiàn)將一個(gè)電荷量很小的帶正電的小球C（可視為質(zhì)點(diǎn)）由M點(diǎn)靜止釋放，在小球C向N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，下列關(guān)于小球C的說法可能正確的是（ ）
A．速度先增大，再減小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再減小，過O點(diǎn)后，加速度先減小再增大
D．加速度先減小，再增大
【例5】．（2023·湖南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，兩個(gè)帶等量正電的點(diǎn)電荷分別位于x軸上的P、Q兩點(diǎn)，其位置關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱。圓弧曲線是一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心的半圓，c點(diǎn)為半圓與y軸的交點(diǎn)，a、b為一平行于x軸的直線與半圓的交點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)、b兩點(diǎn)的場強(qiáng)相同
B．a(chǎn)、b兩點(diǎn)的電勢(shì)相同
C．將一個(gè)負(fù)點(diǎn)電荷沿著圓弧從a移到c點(diǎn)再沿y軸正方向移動(dòng)，電勢(shì)能先增大后不變
D．半圓上任一點(diǎn)，兩電荷的電場強(qiáng)度大小分別是、，則為一定值
【例6】（2023·青海海東·高三?？茧A段練習(xí)）如圖所示，紙面內(nèi)固定著兩個(gè)等量的同種點(diǎn)電荷，它們之間的距離為4R。以其連線的中點(diǎn)O為圓心、R為半徑畫圓，A、B、C、D為圓周上的四個(gè)點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷的連線上，C、D 兩點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線的中垂線上，下列說法正確的是（ ）
A．C點(diǎn)的場強(qiáng)與D點(diǎn)的場強(qiáng)相同
B．若從A點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)子，則該質(zhì)子將沿A、B直線一直加速
C．A、C兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差等于B、D兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差
D．將一電子從A點(diǎn)沿直線移到O點(diǎn)再沿直線移到C點(diǎn)，則電子的電勢(shì)能先增加后不變
題型四 電場強(qiáng)度的疊加
1．電場強(qiáng)度的疊加(如圖所示)
2．“等效法”“對(duì)稱法”和“填補(bǔ)法”
(1)等效法
在保證效果相同的前提下，將復(fù)雜的電場情景變換為簡單的或熟悉的電場情景．
例如：一個(gè)點(diǎn)電荷＋q與一個(gè)無限大薄金屬板形成的電場，等效為兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷形成的電場，如圖甲、乙所示．
(2)對(duì)稱法
利用空間上對(duì)稱分布的電荷形成的電場具有對(duì)稱性的特點(diǎn)，使復(fù)雜電場的疊加計(jì)算問題大為簡化．
例如：如圖所示，均勻帶電的eq \f(3,4)球殼在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，等效為弧BC產(chǎn)生的場強(qiáng)，弧BC產(chǎn)生的場強(qiáng)方向，又等效為弧的中點(diǎn)M在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)方向．
(3)填補(bǔ)法
將有缺口的帶電圓環(huán)或圓板補(bǔ)全為完整的圓環(huán)或圓板，或?qū)肭蛎嫜a(bǔ)全為球面，從而化難為易、事半功倍．
3．選用技巧
(1)點(diǎn)電荷電場、勻強(qiáng)電場場強(qiáng)疊加一般應(yīng)用合成法．
(2)均勻帶電體與點(diǎn)電荷場強(qiáng)疊加一般應(yīng)用對(duì)稱法．
(3)計(jì)算均勻帶電體某點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)一般應(yīng)用補(bǔ)償法或微元法．
類型1 點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的疊加
【例1】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，半徑為的球面下方有一圓周，該圓周與球面直徑垂直，在該圓周上等分的三點(diǎn)位置分別固定電荷量為的三個(gè)點(diǎn)電荷A、、，且點(diǎn)電荷A與球心的連線與球直徑的夾角，在球面的最高點(diǎn)處固定另電荷量同為的點(diǎn)電荷，已知靜電力常量為，則下列說法正確的是（ ）

A．點(diǎn)電荷受到的庫侖力大小為
B．點(diǎn)的場強(qiáng)豎直向下
C．沿著直徑由到電勢(shì)先降低再升高
D．點(diǎn)電場強(qiáng)度小于點(diǎn)
【例2】（2023·湖北·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，空間存在一個(gè)正四面體ABCD，其邊長為a，在水平面上兩個(gè)頂點(diǎn)B、C各固定一個(gè)電荷量為的點(diǎn)電荷，在頂點(diǎn)D固定一個(gè)電荷量為的點(diǎn)電荷，則頂點(diǎn)A處的電場強(qiáng)度大小為（ ）
A．B．C．D．
【例3】(2021·湖南卷，4)如圖所示，在(a，0)位置放置電荷量為q的正點(diǎn)電荷，在(0，a)位置放置電荷量為q的負(fù)點(diǎn)電荷，在距P(a，a)為eq \r(2)a的某點(diǎn)處放置正點(diǎn)電荷Q，使得P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為零。則Q的位置及電荷量分別為 ( )
A．(0，2a)，eq \r(2)q B．(0，2a)，2eq \r(2)q
C．(2a，0)，eq \r(2)q D．(2a，0)，2eq \r(2)q
【例4】（2022屆云南省昆明市第一中學(xué)月考）如圖所示，真空中有A.、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一直線上，AB=BC=CD=d，在A、C兩點(diǎn)各放置一個(gè)點(diǎn)電荷，其中位于C點(diǎn)的點(diǎn)電荷帶電量為q（q

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