2022-2023學(xué)年山東省濱州市無棣縣八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列式子一定是二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列長度的三條線段能組成直角三角形的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  如圖，在平行四邊形中，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 4.  在中，有兩邊的長分別為和，則第三邊的長(    )A.  B.  C. 或 D. 或5.  實數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)為，，且，以原點為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點，則點所表示的數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 7.  如圖，?的對角線，相交于點，若，，則的長可能是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點是邊的中點，點在對角線上，且，連接若，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，在中，，，，點是上的一個動點，過點分別作于點，于點，連接，則線段的最小值為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  如圖，平行四邊形的對角線，相交于點點為的中點，連接并延長交于點，，下列結(jié)論：
?；；；其中正確結(jié)論的個數(shù)是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  二次根式有意義，則實數(shù)的取值范圍是______ ．12.  在二次根式中，最簡二次根式有______個．13.  在中，若，則 ______ ．14.  如圖，在?中，，，的平分線與的延長線相交于點，則的長為______ ．
 15.  如圖，在四邊形中，，，、、、分別是邊、、、的中點，則四邊形的周長為______ ．
 16.  如圖所示，是用個全等的直角三角形與個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用，表示直角三角形的兩直角邊，下列四個說法：，，，，其中說法正確的結(jié)論有______填序號．三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  如圖，折疊長方形一邊，點落在邊的點處，，．
求：的長；
的長．
四、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
計算：
；
先化簡，再求值：，其中．19.  本小題分
如圖，在?中，、分別是、邊上的點，且，
求證：≌．
若，求證：四邊形是矩形．
20.  本小題分
如圖，在中，為斜邊的中點，為上一點，為中點，若，．
求證：為的角平分線；
求的長．
21.  本小題分
某中學(xué)在校園一角開辟了一塊四邊形的“試驗田”，把課堂的“死教材”轉(zhuǎn)換為生動的“活景觀”，學(xué)生們在課堂上學(xué)習(xí)理論之余，還可以到“試驗田”實際操練，對生物的發(fā)展規(guī)律有了更為直觀的認識如圖，四邊形是規(guī)劃好的“試驗田”，經(jīng)過測量得知：，，，，求四邊形的面積．
22.  本小題分
如圖，在中，，為的中線．，，連接．
求證：四邊形為菱形；
連接，若，，求的長．
23.  本小題分
用“”、“”、“”填空： ______ ， ______ ， ______ ．
由中各式猜想與的大小，并說明理由．
請利用上述結(jié)論解決下面問題：
某園林設(shè)計師要對園林的一個區(qū)域進行設(shè)計改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為的花圃，所用的籬笆至少需要______
24.  本小題分
如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么我們就把這樣的三角形叫做“智慧三角形”．

【簡單運用】下列三個三角形，是智慧三角形的是______ 填序號；
如圖，已知等邊，請用尺規(guī)在該三角形邊上找出所有滿足條件的點，使為“智慧三角形”，并畫出作圖痕跡；
【深入探究】如圖，在正方形中，點是的中點，是上一點，且，試判斷是否為“智慧三角形”，并說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，有可能小于，故不一定是二次根式，不符合題意；
B、，，故一定是二次根式，符合題意；
C、，若時，無意義，不符合題意；
D、是三次根式，不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式的定義，逐項判斷即可求解．
本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
B、，可以組成直角三角形，故此選項符合題意；
C、，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
D、，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可．
此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
 3.【答案】 【解析】解：在平行四邊形中，，
又有，
把這兩個式子相加即可求出，
故選：．
利用平行四邊形的鄰角互補和已知，就可建立方程求出未知角．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：鄰角互補，建立方程組求解．
 4.【答案】 【解析】解：設(shè)第三邊的長為，當為直角邊時，，
當為斜邊時，，
故選：．
根據(jù)題意，分第三邊為直角邊與斜邊兩種情況討論，利用勾股定理即可求解．
【點睛】本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由圖可知：，，
則


．
故選：．
直接利用數(shù)軸上，的位置，進而得出，，再利用絕對值以及算術(shù)平方根的定義化簡得出答案．
此題主要考查了算術(shù)平方根以及實數(shù)與數(shù)軸，正確得出各項符號是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸以及復(fù)雜作圖，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)勾股定理，結(jié)合數(shù)軸即可得出結(jié)論．
【解答】
解：在中，，
則．
以為圓心，以為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點，
，
點表示的實數(shù)是．
故選：．  7.【答案】 【解析】解：?的對角線，相交于點，，，
，，
，，
，
，
在，，，四個數(shù)中，，
符合題意，
故選：．
由平行四邊形的性質(zhì)得，，由，得，而，可知符合題意，于是得到問題的答案．
此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，求得，，并且列出不等式是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：在矩形中，，，
，
，
點為中點，
又點為邊的中點，
為的中位線，
．
故選：．
由可得點為中點，從而可得為的中位線，進而求解．
本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，解題關(guān)鍵是掌握三角形的中位線的性質(zhì)．
 9.【答案】 【解析】解：，且，，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
當時，的值最小，
此時，的面積，
，
的最小值為；
故選：．
由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．
本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 10.【答案】 【解析】解：點為的中點，
，
又，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
即，故正確；
在平行四邊形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，點為的中點，
，
平行四邊形是菱形；
，故正確，
在中，，
，故正確；
在平行四邊形中，，
又點為的中點，
，故正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有個，
故選：．
通過判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件可得：，再解不等式即可．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．
 12.【答案】 【解析】解：，，，因此，，不是最簡二次根式，而是最簡二次根式，
故答案為：．
根據(jù)最簡二次根式的定義逐個進行判斷即可．
本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義，掌握二次根式的化簡方法是正確解答的前提．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
則是直角三角形，且邊是斜邊，
是直角．
故答案為：．
根據(jù)勾股定理的逆定理可判定，若三角形的三邊滿足，則所對的角是直角．
本題主要考查勾股定理逆定理的內(nèi)容，了解長邊所對角是直角是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案為：．
由平行四邊形，平分，可得，利用等角對等邊得出，結(jié)合圖形中線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握運用這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：四邊形中，、、、分別是邊、、、的中點，
，
，
四邊形的周長為：．
故答案為：．
根據(jù)三角形中位線定理可知，所求四邊形的邊長，等于的一半，，等于的一半，從而求得四邊形的周長．
本題考查三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì)，中位線是三角形中的一條重要線段，它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連．
 16.【答案】 【解析】解：大正方形面積為，
大正方形邊長為，
在直角三角形中，
，
故說法正確；
小正方形面積為，
小正方形邊長為，
，
，
，
故說法錯誤；
大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和，
，
，
故說法正確；
，
，
，
，
，
，
故說法錯誤；
故答案為：．
利用大正方形面積和小正方形面積可得出大正方形和小正方形的邊長，利用勾股定理可判斷，利用平方差公式可判斷，利用大正方形面積等于小正方形面積與四個直角三角形面積之和可判斷，利用可判斷．
本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用大正方形面積和小正方形面積得出大正方形和小正方形的邊長．
 17.【答案】解：由題意可得，，
在中，，
，
．
由題意可得，可設(shè)的長為，
則在中，，
解得，
即的長為． 【解析】由于翻折得到，所以可得，則在中，第一問可求解；
由于，可設(shè)的長為，進而在中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及翻折的問題，能夠熟練運用矩形的性質(zhì)求解一些簡答的問題．
 18.【答案】解：原式


；


，
當時，
原式． 【解析】先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可；
先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可．
本題主要考查了二次根式的混合計算，二次根式的化簡求值，熟知二次根式的相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
在和中，
，
≌．

四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形． 【解析】由在?中，，可利用判定≌．
由在?中，且，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形是平行四邊形，又由，可證得四邊形是矩形．
此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意有一個角是直角的平行四邊形是矩形，首先證得四邊形是平行四邊形是關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：，
，
為斜邊的中點，為中點，
是的中位線，
，
，
，
為的角平分線；

解：為斜邊的中點，為中點，，
，
，
，
在中，為斜邊的中點，
． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
根據(jù)三角形中位線定理得到，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查三角形的中位線定理，直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出的長．
 21.【答案】解：連接，

在中，，，
，
在中，，，，
，
為直角三角形，．
，
，
． 【解析】利用勾股定理計算，再利用勾股定理的逆定理，判斷三角形是直角三角形，后計算四邊形的面積．
本題考查了勾股定理及其逆定理，靈活運用定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：，，
四邊形為平行四邊形，
，為邊上的中線，
，
四邊形為菱形；
解：連接交于點，如圖，

四邊形為菱形，，
，
，
，
，，
． 【解析】先證明四邊形為平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；
由菱形的性質(zhì)可得，，，由直角三角形的性質(zhì)可求的長，即可求解．
本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】       【解析】解：，，
，，
，
；
，，
；
，，
．
故答案為：，，．

理由如下：
當，時，
，
，
，
．

設(shè)花圃的長為米，寬為米，則，，，
根據(jù)的結(jié)論可得：，
籬笆至少需要米．
故答案為：．
分別進行計算，比較大小即可；
根據(jù)第問填大于號或等于號，所以猜想；比較大小，可以作差，，聯(lián)想到完全平方公式，問題得證；
設(shè)花圃的長為米，寬為米，需要籬笆的長度為米，利用第問的公式即可求得最小值．
本題主要考查了二次根式的計算，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負性求證．
 24.【答案】 【解析】解：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
直角三角形是“智慧三角形”，故符合題意；
如圖所示，分別取，的中點、，連接，，
由三角形三邊的關(guān)系可知，
，即；
，是的中點，
，，
在中，由勾股定理得，
綜上所述，圖中的三角形不是“智慧三角形”；

如圖所示，取的中點，連接，
，，
是等邊三角形，
，
在中，由勾股定理得
圖中的三角形不是“智慧三角形”；

故答案為：；
如圖所示，分別作線段，的垂直平分線，垂足分別是和，
則點和點即為所求；

是“智慧三角形”．

理由如下：如圖，設(shè)正方形的邊長為．
是的中點，
．
，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
是直角三角形，即．
直角的斜邊上的中線等于的一半，
為“智慧三角形”．
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可判斷圖；如圖所示，分別取，的中點、，連接，，利用三角形三邊的關(guān)系，勾股定理以及三線合一定理分別證明，即可判斷圖；如圖，取的中點，連接，先證明是等邊三角形，推出，即可判斷圖；
由可知直角三角形一定是“智慧三角形”，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)只需要是或的中點時，此時，滿足為“智慧三角形”，據(jù)此作圖即可；
如圖，設(shè)正方形的邊長為，求出，，，利用勾股定理分別求出，，，利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形即可得到結(jié)論．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三線合一定理，等邊三角形的性質(zhì)與判斷，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形三邊的關(guān)系，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確理解題意并熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
 

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