?1.1 等腰三角形

等腰三角形概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。
等腰三角形性質(zhì)：
1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）
2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）
【補(bǔ)充】利用三角形的全等可證明上述定理：已知等腰△ABC
作頂角的平分線 作底邊的垂線 作底邊的中線




∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。
等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。
等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)；
2）有三條對稱軸；
3）每個(gè)內(nèi)角都是60°
等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
?
【題型一】等腰三角形的定義
【典題】（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的兩條邊長分別為3和7，則這個(gè)等腰三角形的周長是（????）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
鞏固練習(xí)
1．（êê）（2022春·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x?4|+（y?8）2＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（　?。?br /> A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對
2．（êê）（2022秋·江蘇宿遷·八年級?？计谥校┰诘妊鰽BC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為（????）
A．7 B．7或11 C．11 D．7或10
3．（ê）（2022秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（????）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．（ê）（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級校聯(lián)考期末）如果一個(gè)等腰三角形的周長為17cm，一邊長為5cm，那么腰長為（???）
A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm
【題型二】根據(jù)等邊對等角求角度
【典題】（2022秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，則（????）

A． B． C． D．
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┰诘妊切蜛BC中，∠A＝2∠B，則∠C的度數(shù)為（????）
A．36° B．45° C．36°或45° D．45°或72°
2（ê）（2022秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1l2，點(diǎn)C、A分別在l1、l2上，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點(diǎn)B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
3．（ê）（2022秋·湖南長沙·八年級?？计谀┤鐖D，在ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC
C．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD
4．（ê）（2022秋·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80o，則∠B的度數(shù)是（??）

A．40o B．35o C．25o D．20o
5．（êê）（2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，點(diǎn)D在邊BC上，且滿足，過點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)E．設(shè)，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【題型三】根據(jù)三線合一求解
【典題】（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．35° C．40° D．70°
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022秋·天津武清·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（??）

A．35° B．45° C．55° D．60°
2．（ê）（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為（????）

A．15 B． C．9 D．
3．（ê）（2022秋·廣東中山·八年級統(tǒng)考期末）在中，，于點(diǎn)D，若，，則的周長為（????）
A．13 B．18 C．21 D．26
4．（ê）（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，若，，則的度數(shù)為（　　?。?br />
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．（ê）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點(diǎn)D在BA的延長線上，CA＝CD，BD＝6，則AD＝（　　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（êê）（2022秋·重慶·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的兩條中線，CE＝4cm，P是AD上的一個(gè)動點(diǎn)，則BP+EP的最小值是（　?。?br />
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
7．（ê）（2022春·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的長為_____．

8．（ê）（2022秋·湖南婁底·八年級校聯(lián)考期中）如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．

9．（ê）（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級校考期末）如圖，中，，，是邊上一點(diǎn)，且，若．求的長．

【題型四】根據(jù)三線合一證明
【典題】（2022秋·北京·八年級101中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，D是中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（????）

A． B． C．平分 D．
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022春·陜西咸陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當(dāng)固定點(diǎn)B，C到桿腳E的距離相等，且B、E、C在同一直線上時(shí)，電線桿DE就垂直于BC工程人員這種操作方法的依據(jù)是（　?。?br />
A．等邊對等角 B．等角對等邊
C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”
2．（ê）（2022秋·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以下結(jié)論：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分線．其中正確的有（???）．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
3．（ê）（2022秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AC、DB的交點(diǎn)為E，AE＝DE,；過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：ABE≌DCE；
（2）求證：F為BC邊的中點(diǎn)．

4．（ê）（2022秋·河南開封·八年級開封市第十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC．求證：CE=3AE．

5．（ê）（2022秋·湖南懷化·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，于點(diǎn)D，求證：．

6．（ê）（2022秋·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖①，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上．

（1）求證：；
（2）如圖②，若的延長線交于點(diǎn)F，且，垂足為F，，其他條件不變．求證：．





【題型五】根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形
【典題】（2022秋·江蘇·八年級期中）下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（　?。?br /> A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°
C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周長為14
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022春·河南鄭州·八年級?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是等腰三角形的是（????）
A．，， B．：：：：
C．， D．：：：：
2．（ê）（2022春·福建漳州·八年級福建省詔安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若的三邊，，滿足那么的形狀一定是（????）．
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．銳角三角形
3．（ê）（2022秋·天津河?xùn)|·八年級校考期中）下列三角形中，不是等腰三角形的是（????）
A．B．C． D．
【題型六】根據(jù)等角對等邊求邊長
【典題】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為（　　）

A．9 B．11 C．15 D．18
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022秋·天津河西·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，則長是（????）

A．4 B．5 C．6 D．8
2．（ê）（2022春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線，AD=10，則點(diǎn)D到AB的距離是（?????）

A．8 B．5 C．6 D．4
3．（ê）（2022秋·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將一張長方形紙片按圖中那樣折疊，若，，，則重疊部分（陰影）的面積是 _____．

【題型七】等腰三角形性質(zhì)與判定綜合
【典題】（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．



鞏固練習(xí)
1．（êêê）（2022秋·浙江·八年級期中）如圖，在 △ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn) D 在線段BC 上運(yùn)動（D 不與 B，C 重合），連接 AD，作 ∠ADE=40°，DE 與 AC 交于E．

（1）當(dāng) ∠BDA=115°時(shí)，∠BAD= °，∠DEC= °；當(dāng)點(diǎn)D 從B 向C 運(yùn)動時(shí)，∠BDA 逐漸變 （填“大”或“小”）；
（2）當(dāng)DC 等于多少時(shí)，△ABD 與 △DCE 全等？請說明理由；
（3）在點(diǎn)D 的運(yùn)動過程中，△ADE 的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出 ∠BDA 的度數(shù)；若不可以，請說明理由．






2．（ê）（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=6，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．

3．（ê）（2022秋·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1=42°，求∠BDE的度數(shù)．





【題型八】等邊三角形的性質(zhì)
【典題】（2022春·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，為等邊三角形，，則等于（????）

A． B． C． D．
鞏固練習(xí)
1．（êê）（2022秋·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B、C、E在一直線上，、都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)和，與相交于點(diǎn)F，與相交于點(diǎn)G，下列說法不一定正確的是（????）

A． B． C． D．
2．（ê）（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（êê）（2022秋·河北石家莊·八年級石家莊市第八十一中學(xué)?？计谀┰诘冗吶切蜛BC的內(nèi)部，按如圖所示的方式放置了兩個(gè)全等的等邊△BDE和△FGH．若求五邊形DECHF的周長，則只需知道（　?。?br />
A．△ABC的周長 B．△AFH的周長
C．四邊形FBGH的周長 D．四邊形ADEC的周長
4．（ê）（2022秋·四川南充·八年級四川省南充市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE⊥BC，CE＝3，則△ABC的周長為（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
5．（ê）（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀┻呴L為6的等邊三角形的面積是__________．
【題型九】等邊三角形的判定
【典題】（2022春·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)校考期中）若一個(gè)三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為，那么這個(gè)三角形一定為（????）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
鞏固練習(xí)
1．（ê）下列條件不能得到等邊三角形的是（???）
A．有一個(gè)內(nèi)角是60°的銳角三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角是60°的等腰三角形
C．頂角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底邊相等的等腰三角形
2．（ê）（2022秋·廣東東莞·八年級?？计谥校┫铝袟l件中，不能得到等邊三角形的是(????)
A．有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形 B．三邊都相等的三角形
C．有一個(gè)角是60°的等腰三角形 D．有兩個(gè)外角相等的等腰三角形
3．（êê）（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）△ABC的三邊a,b,c滿足則△ABC是（?????）
A．等邊三角形 B．腰底不等的等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（êê）若，，是的三邊長，且，則的形狀是（????）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．不能確定
5．（ê）（2022春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，AB=AC，D為AC的的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、F，且DE=DF．問是等邊三角形嗎？請說明理由．

6．（êê）（2022春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，三邊長a，b，c滿足?a2+2b2+c2?2ab-2bc=0，請判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．




7．（ê）（2022秋·廣東陽江·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，兩線相交于F點(diǎn)．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大?。?br /> （2）若D是BC的中點(diǎn)，∠ABE=30°，求證：△ABC是等邊三角形．





【題型十】含30°角的直角三角形有關(guān)計(jì)算
【典題】（2022春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長度為（????）

A． B． C． D．
鞏固練習(xí)
1．（ê）（2022秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，則的長為（????）．

A． B． C． D．
2．（ê）（2022春·甘肅慶陽·八年級?？计谥校┤鐖D，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B與燈塔P之間的距離為(????)

A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
3．（ê）（2022秋·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（????）

A．4 B．6 C．8 D．10
4．（ê）（2022春·湖南常德·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，∠A=60o，CD是斜邊AB上的高，若AD=3cm，則斜邊AB的長為（????）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

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