?衢州市2023年1月高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷
數(shù)學(xué)
選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．
1. 已知集合，，則
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集定義直接求解即可.
【詳解】集合，，則.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)橛煽梢酝瞥觯?br /> 所以“”是“”的充分條件，
由，可得或，
所以“”不是“”的必要條件；
所以“”是“”的充分不必要條件；
故選：A.
3. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“中間數(shù)”比較大小即可.
【詳解】，，，
所以.
故選：B
4. 已知函數(shù)在是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求解即可.
【詳解】令，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，函數(shù)在是增函數(shù)，
所以為增函數(shù)，故，
又，，所以，解得，
綜上，的取值范圍為.
故選：C.
5. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，從而可得直角三角形的直角邊，分別求出，再根據(jù)求得，在化弦為切即可得出答案.
【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則直角三角形的直角邊分別為，
因?yàn)闉橹苯侨切屋^小的銳角，所以，
，
則，
即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故選：C.
6. 函數(shù)的圖象可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值以及冪函數(shù)圖象的增長(zhǎng)速度進(jìn)行排除.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?br /> 所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈淖兓俣仍絹碓娇?
的變化速度越來越慢，所以的變化速度越來越快，故D錯(cuò)誤；
故選：A.
7. “碳達(dá)峰”，是指二氧化碳的排放不再增長(zhǎng)，達(dá)到峰值之后開始下降；而“碳中和”，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值（億噸）后開始下降，其二氧化碳的排放量（億噸）與時(shí)間（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過5年，二氧化碳的排放量為（億噸）．已知該地區(qū)通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，能抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要能實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過多少年？（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】由條件列式確定參數(shù)，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算解方程即可.
【詳解】由題意可得，即，解得，
令，即，
兩邊取對(duì)數(shù)得，
所以，即，
解得，
故選：C
8. 已知函數(shù)與，若存在使得，則不可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的定義可以判斷A選項(xiàng)，其余可將選項(xiàng)全部代入后，看是否能求解出來進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
相當(dāng)于1個(gè)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)，不符合函數(shù)定義，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，整理得
，解得，即，即，
存在，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，令，得，則，即，
存在，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，可得出，存在所以選項(xiàng)D正確；
故選：A
二、選擇題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 若，，則可以是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】AC
【解析】
【分析】由條件，可知是第一象限角，據(jù)此得到范圍，即可確定所在的象限.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，故是第一象限角，
由，
得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.
故選：AC.
10. 已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 為奇函數(shù) C. 是增函數(shù) D. 是周期函數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于A項(xiàng)、B項(xiàng)，令，令代入計(jì)算即可；對(duì)于C項(xiàng)、D項(xiàng)，舉反例判斷即可.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，令得：，解得：，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，令得：，由A項(xiàng)知，，所以，所以為奇函數(shù)，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但是減函數(shù).故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但不是周期函數(shù).故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A. 的最小值為6 B. 的最小值為
C. 的最大值為 D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根據(jù)化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)選項(xiàng)通過基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可.
【詳解】，
即，且，.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A選項(xiàng)是正確的；
，當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C選項(xiàng)是正確的；
，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故D選項(xiàng)是正確的.
故選：ACD.
12. 已知函數(shù)，，則（ ）
A. 若，則方程只有一個(gè)解
B. 若，則方程至少有一個(gè)解
C. 若，則方程恒有一個(gè)解
D. 若方程有三個(gè)解，，，且，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】取，即可判斷A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，令，解出方程，可得，進(jìn)而判斷B選項(xiàng)；時(shí)，可直接判斷C選項(xiàng)；對(duì)于D，設(shè)，可得，即得，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理和一元二次函數(shù)根的個(gè)數(shù)求解即可.
【詳解】對(duì)于A，取，，則，，
由，
當(dāng)時(shí)，，即（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，即（舍去）.
所以方程無解，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則當(dāng)時(shí)，令，
得，即，必有一解，故B正確；
對(duì)于C，若，則，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恒有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令，整理得到：，
而，故此方程在上有且只有零點(diǎn)，
即方程恒有一個(gè)解，故C正確；
對(duì)于D，若方程有三個(gè)解，，，不妨設(shè)，
則有，
故由得，
從而得到，
從而有，故，
又由解的個(gè)數(shù)得，
解得，故D正確.
故選：BCD.
非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．
13. 已知扇形的圓心角為，半徑為2，則該扇形的面積為______．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用扇形的面積公式得到答案.
【詳解】 .
故答案為：.
14. 計(jì)算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，從而可得函數(shù)的零點(diǎn)只能為，從而可求得，再利用定義法得出在上的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.
【詳解】，
因，
所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
要使函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)的零點(diǎn)只能為，
，所以，
此時(shí)，
令，設(shè)，
則


，
因?yàn)椋?，則，
所以，
即，
所以函數(shù)在上遞增，
又在上遞增，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
又，故可知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，符合題意，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于判斷出函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由此函數(shù)的零點(diǎn)只能為，要注意檢驗(yàn).
16. 若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，，換元可得，進(jìn)而求解.
【詳解】由于，為使取最大值，必使，即或同號(hào)，
當(dāng)，則，故，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)同號(hào)，不妨令且，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，令，，且，則，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
綜上，的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，解一元二次不等式求出集合B，然后求其補(bǔ)集即可.
（2）根據(jù)，得，分類討論二次不等式求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，∴或.
【小問2詳解】
由已知得，∵，∴
若，則，∴，此時(shí)符合題意．
若，由判別式大于等于0知：或，
令，要使，∴，即，
∴，此時(shí)或，
綜上所述．
18. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．（點(diǎn)不與原點(diǎn)重合）
（1）若，求值；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)終邊上一點(diǎn)結(jié)合任意角三角函數(shù)定義求解即可；
(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式先求出正弦值范圍，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求余弦值范圍，結(jié)合任意角的余弦公式求解即得.
【小問1詳解】
∵，∴

∴或
【小問2詳解】
∵，∴
又∵,∴,即得
∴．
19. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)在的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）最小正周期為，，
（2）
【解析】
【分析】（1）分別利用和，即可求解出結(jié)果.
（2）由可得，可令，畫出在的圖像，
結(jié)合圖像可得出，從而求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意可知，的最小正周期，令，，
解得,,即的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
因?yàn)榭傻?，令，即?br /> 畫出在的圖像如下，因?yàn)樵诘闹涤驗(yàn)椋?br /> 所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為


20. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．
（1）求的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明；
（2）若，解關(guān)于的不等式：．
【答案】（1），在上單調(diào)遞減，證明見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得，從而可求得，任取且，再利用作差法比較即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，，則不等式即為不等式，分類討論，從而可得解.
【小問1詳解】
∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)為奇函數(shù)符合題意，
函數(shù)單調(diào)遞減，證明如下：
任取且，
則，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，
∴在上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
∵在上單調(diào)遞減，∴有且僅有，
∴，即，
∴，∴，
當(dāng)，則；當(dāng)，則，
綜上，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則.
21. 2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有500名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)做出適當(dāng)調(diào)整，把原有技術(shù)人員分成維護(hù)人員和研發(fā)人員，其中維護(hù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，維護(hù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．
（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前500名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？
（2）若對(duì)任意，均有以下兩條成立：①調(diào)整后研發(fā)人員年總投入不低于維護(hù)人員的年總投入；②調(diào)整后維護(hù)人員的年人均投入不少于調(diào)整前500名技術(shù)人員年人均投入．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）50人 （2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)題意得到，解得答案.
（2）根據(jù)題意得到，，解不等式并利用均值不等式計(jì)算得到范圍.
【小問1詳解】
調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬元，
則，整理得，解得，
又因?yàn)?，所以要使這名技術(shù)研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前500名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為50人．
【小問2詳解】
，兩邊同除以得，整理得；
，解得；
故恒成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，
，當(dāng)時(shí)，取得最大值15，所以，
所以.
22. 已知函數(shù)．
（1）若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
（2）記，求證：對(duì)任意，均有．
【答案】（1）有兩個(gè)零點(diǎn)，理由見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，分和兩種情況討論，即得解；
（2）由題得，由于在遞減，在遞增，所以再分，和三種情況討論得證.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，
①即時(shí)，，此時(shí)無解；
②即時(shí)，在遞減，在遞增，
故，
此時(shí)，有兩解：綜上可知，有兩個(gè)零點(diǎn)．
【小問2詳解】
事實(shí)上，且，
因?yàn)?，結(jié)合知在遞減，在遞增
①若，即時(shí)，在遞增，故成立，另一方面，結(jié)合知，，故成立．
②若，即時(shí)，在遞減，故成立，另一方面，結(jié)合知，，故成立．
③若，即時(shí)，在遞減，在遞增，故成立，下面證明，只需證，
由，
（?。┤?，即時(shí)，，則
，注意到，由成立及
成立可知成立，即此時(shí)成立．
（ⅱ）若，即時(shí)，，則
，注意到，由成立及
成立可知．即此時(shí)成立．
結(jié)合（?。áⅲ┛芍闪ⅲ?br /> 綜上，對(duì)任意，均有．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合分類討論思想的靈活運(yùn)用，其一是靈活運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析，其二是分類討論的思想在第2問的靈活運(yùn)用.

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