1. 已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，則（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意得集合的所有非空真子集，再求和即可.
【詳解】解：因?yàn)榧系乃蟹强照孀蛹海?br>所以，，即.
故選：B
2. 如圖，已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)分別交直線于點(diǎn)，則（ ）
A. 為定值B. 為定值
C. 可能等于D. 可能等于2
【答案】B
【解析】
【分析】直曲聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理即可進(jìn)行判斷.
【詳解】設(shè)直線方程為：， ，，
，
， ，
，
直線方程為： ，令 ，得
故，同理可得，
所以，故B正確，D錯(cuò)誤.
，當(dāng)且僅當(dāng)取等，故C錯(cuò)誤，A錯(cuò)誤.
故選：B
3. 實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知即，構(gòu)造函數(shù)，確定其在上單調(diào)遞減，可得，又設(shè)，其在上單調(diào)遞增，所以得，即可判斷的大?。辉贅?gòu)造函數(shù)，可得恒成立，可判斷，最值可得結(jié)果.
【詳解】解：由已知得，
①設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，因此，
即，所以，
又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，因此，所以
則，所以；
②設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，恒成立；取時(shí)，；
綜上得
故選：C.
4. 衢州市某中學(xué)開展做數(shù)學(xué)題猜密碼益智活動(dòng).已知數(shù)列的通項(xiàng)，，數(shù)列的通項(xiàng)，現(xiàn)將數(shù)列和中所有的項(xiàng)混在一起，按照從小到大的順序排成數(shù)列，若滿足成立的的最小值為，若該中學(xué)密碼為計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)的后6位，則該中學(xué)的WiFi的密碼為（ ）
A. 461538B. 255815C. 037036D. 255813
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意帶入驗(yàn)證即可.
【詳解】由題意，數(shù)列的通項(xiàng)，可得數(shù)列由數(shù)字，
數(shù)列的通項(xiàng)，可得數(shù)列由數(shù)字，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)數(shù)列前38項(xiàng)中有的前32項(xiàng)和數(shù)列的前6項(xiàng)構(gòu)成，
此時(shí)，
此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證：
，
此時(shí)，不符合題意，
當(dāng)
，
此時(shí)首次滿足，即，又由，所以該中學(xué)的的密碼為255813.
故選：D.
二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，不選?有選錯(cuò)的得0分）
5. 設(shè)函數(shù)，存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分、、三種情況討論，當(dāng)時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)只需函數(shù)在斷點(diǎn)處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；
【詳解】解：因?yàn)椋?br>若，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)不存在最小值；
若，則，此時(shí)，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，
二次函數(shù)對(duì)稱軸為，開口向上，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
要使函數(shù)存在最小值，只需，解得，
綜上可得.
故選：ABC
6. 當(dāng)下新能源汽車備受關(guān)注，某?！熬G源”社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和喜歡新能源汽車是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡新能源汽車和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（ ）
附：
A. 68B. C. 70D. 71
【答案】CD
【解析】
【分析】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，根據(jù)題目得到列聯(lián)表，計(jì)算，得到答案.
【詳解】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，則男生喜歡新能源汽車的人數(shù)，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的.則列出聯(lián)表如下：
所以，即，所以，
故選：CD
7. 已知，圓，則（ ）
A. 存在2個(gè)不同的，使得圓與軸或軸相切
B. 存在唯一的，使得圓在軸和軸上截得的線段長(zhǎng)相等
C. 存在4個(gè)不同的，使得圓過坐標(biāo)原點(diǎn)
D. 存在唯一的，使得圓的面積被直線平分
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)圓心所在的直線或曲線上，利用數(shù)形結(jié)合或?qū)?shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論求解.
【詳解】由條件可知，圓的半徑為1，圓心坐標(biāo)為，即圓心在曲線上運(yùn)動(dòng).
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，圓與軸相切，當(dāng)，即或時(shí)，圓與軸相切，所以滿足要求的有3個(gè)，錯(cuò)誤；
對(duì)于，若圓在軸和軸上截得的線段長(zhǎng)相等，
則圓心到軸和軸的距離相等，故圓心在上，
又圓心上，設(shè),
令,解得,令,解得,
所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,
所以無解，即與無交點(diǎn)，
設(shè)在恒成立，
所以在 單調(diào)遞增,且，
由零點(diǎn)的存在性定理得有唯一零點(diǎn)，
即有一個(gè)解，
所以與有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的僅有一個(gè)，B正確；
對(duì)于，若圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由圖可知，與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的有2個(gè)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，若圓的面積被直線平分，則直線經(jīng)過圓心，
即證有唯一解，令，
令，解得，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以，所以有唯一解，
故D正確.
故選：BD.
8. 在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（ ）
A. 平面
B. 三棱錐的外接球直徑
C. 在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)到的中點(diǎn)的最短距離必大于
D. 記直線與過點(diǎn)的平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，平面與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線.
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)A：根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分析判斷；對(duì)B：根據(jù)題意分析可得：三棱錐是頂角為直角的正三棱錐，利用轉(zhuǎn)化法求外接圓直徑；對(duì)C：根據(jù)題意：點(diǎn)到中點(diǎn)的直線距離為，結(jié)合圓錐側(cè)面分析判斷；對(duì)D：根據(jù)題意可得，結(jié)合圓錐的截面分析判斷.
【詳解】對(duì)于：若平面，平面ABC，平面平面，
則，
因?yàn)闉橹睆?，為圓錐底面圓的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形
所以，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：因?yàn)椋瑒t，
故，則，
同理，
且三棱錐是正三棱錐，
設(shè)其外接球半徑為，則三棱錐的外接球可以轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為的正方體的外接球，
∴，故B正確；
對(duì)于C：由于是邊長(zhǎng)為等邊三角形，故點(diǎn)到中點(diǎn)的距離為，
故在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)到的中點(diǎn)的最短距離大于，故C正確；
對(duì)于D：∵與母線的夾角的余弦值為，則，即，所以平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
二?填空題（本題共4小題，每題5分，共20分，請(qǐng)把答案寫在相應(yīng)的位置上）
9. 已知，則在上的投影向量為___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，再根據(jù)在上的投影向量為計(jì)算可得.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以，，
所以在上的投影向量為.
故答案為：
10. 已知定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，又滿足，則___________.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】1
【解析】
【分析】令，代入求得，令，代入、求得，令，根據(jù)都有，得到，根據(jù)求出可得答案．
【詳解】，而，
又，令，由于當(dāng)時(shí)，都有，故，即當(dāng)時(shí)，，而，故.
故答案為：1.
11. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】解法1：首先求的最小值，再構(gòu)造，變形求的最小值；解法2：利用基本不等式的推廣，變形求的最小值.
【詳解】解析1：由已知條件可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值是.
解析2：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值是.
故答案為：
12. 已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或向負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位.若移動(dòng)n次，則當(dāng)n＝6時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為___________；當(dāng)n＝___________時(shí)，質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.
【答案】 ①. ##0.3125 ②. 23或25
【解析】
【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求n＝6時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率，再求質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率表達(dá)式并求其最值.
【詳解】設(shè)第n次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率為，
事件n＝6時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)等價(jià)于事件前6次移動(dòng)中有且只有3次向左移動(dòng)，
所以事件n＝6時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為,
事件第次移動(dòng)后質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處等價(jià)于事件質(zhì)子在次移動(dòng)中向右移了次，
所以第次移動(dòng)后質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率，
設(shè)，
則，
令可得，
化簡(jiǎn)可得，
所以，，所以
令可得，，所以，
又，
所以m=9或m=10，即或時(shí)，質(zhì)子位于5對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.
故答案為：；23或25.
三?解答題（本題共6小題，每小題15份，共90分）
13. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，.
（1）證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.
【答案】（1）證明見解析，;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的定義可得為等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)后由與的關(guān)系求即可；
（2）由兩角差的正切公式變形，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【小問1詳解】
令，得，又，所以；
令，得，又，；
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，
所以，
所以，
于是，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
故；
【小問2詳解】
因?yàn)椋瑒t，
于是，
.
14. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）若，求邊上的中線長(zhǎng)度的最大值；
（2）若，點(diǎn)分別在等邊的邊上（不含端點(diǎn)）.若面積的最大值為，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)正弦定理，三角恒等變換公式以及余弦定理再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解；
(2)利用正弦定理，三角恒等變換將表示為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用三角函數(shù)性質(zhì)討論最值即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)椋裕?br>即,
所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得?（當(dāng)時(shí)取到等號(hào)），
且，
又因?yàn)樗?br>即，
所以，所以.故的最大值為
【小問2詳解】
由（1）可知，由于面積的最大值為，
則，得，所以的最大值為，
因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，
在中，由正弦定理得所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，其中，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，
解得或（舍去）
15. 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試.根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)級(jí).現(xiàn)設(shè)，分別以表示第一次排序時(shí)被排為的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令，則是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.
（1）假設(shè)等可能地為的各種排列，寫出的可能值集合，并求的分布列；
（2）某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有.
①試按（1）中的結(jié)果，計(jì)算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測(cè)試相互獨(dú)立）；
②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.
【答案】（1）答案見解析
（2）①；②該品酒師有良好的酒味鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè)，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）列舉出所有可能的排列，并計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的X值，由古典概型概率公式可得對(duì)應(yīng)概率和分布列；（2）①由中數(shù)據(jù)結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算求解；②結(jié)合極小概率事件的分析.
【小問1詳解】
可用列表列出，為的全排列，共24種，計(jì)算每種排列下的值，
則的可能取值集合為，在等可能的假定下可得：
,
的分布列為：
【小問2詳解】①首先，將三輪測(cè)試都有的概率.
②由于是一個(gè)很小的概率，這表明如果僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到三輪測(cè)試都有的結(jié)果可能性很小，所以我們認(rèn)為該品酒師有良好的酒味鑒別功能，不是靠隨機(jī)猜測(cè).
16. 在棱長(zhǎng)均為的正三棱柱中，為的中點(diǎn)．過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，．
（1）若為的中點(diǎn)，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；
（2）若四棱雉的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；
（3）設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點(diǎn)在棱上變動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）連結(jié)，并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，利用比例關(guān)系確定為靠近的三等分點(diǎn)，然后先求出棱柱的體積，連結(jié)，，由和進(jìn)行求解，即可得到答案；
（2）求出點(diǎn)到平面的距離，得到點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，通過面面垂直的性質(zhì)定理可得即為截面與底面所成的二面角，在三角形中利用邊角關(guān)系求解即可；
（3）設(shè)，則，，先求出的關(guān)系以及取值范圍，然后將轉(zhuǎn)化為，表示，求解取值范圍即可．
【詳解】解：（1）連接，并延長(zhǎng)分別交，延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，
連接交于點(diǎn)，連接，．
易得．
故為靠近的三等分點(diǎn)．，．
下面求三棱柱被截面分成兩部分的體積比．
三棱柱的體積．
連接，．由平面知，為定值．
．
．
．故．
（2）由及得，．
又，所以．
即點(diǎn)到的距離為，為靠近的四等分點(diǎn)．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以截面與平面所成角即為截面與平面所成角，
在中，，，故．
又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br>所以平面．則即為截面與底面所成的二面角．
在中，，，．
故．
因此，截面與平面所成二面角的正弦值為．
（3）設(shè)，則，．
設(shè)的面積為，所以．
又因?yàn)?，所以?br>且．令則
故．
令則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以，
所以
17. 已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)兩點(diǎn).
（1）若雙曲線的右支上的三個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，試求的值；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，過作軸的垂線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明：直線過定點(diǎn).
【答案】（1）；
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線的定義即可求解；
（2）設(shè)直線，由條件可得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，寫出直線的方程，證明直線過點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求證，再由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得證.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線方程：，
顯然，將代入得：，
解得，即雙曲線；
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱性可知，，
則
.
【小問2詳解】
設(shè)直線，
易得.
所以由，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
所以，于是的方程：，
下證直線過定點(diǎn).
即證，即證.
即證.而
.
故即證：（1）
由.
，，代入（1）式：
成立，即證.
故直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線方程猜測(cè)直線恒過點(diǎn)，利用分析法轉(zhuǎn)化為求證即可，再由直線與雙曲線方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關(guān)系，代入上式即可求證出結(jié)果.
18. 已知函數(shù).
（1）若曲線與不存在相互平行或重合的切線，求的取值范圍；
（2）討論曲線與的公切線條數(shù).
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性得，進(jìn)而結(jié)合題意得恒成立，再求解恒成立問題即可得答案；
（2）結(jié)合（1）得只需討論當(dāng)時(shí)的情況，進(jìn)而分別設(shè)出曲線，的切點(diǎn)，求得切線方程，進(jìn)而得，再令換元整理轉(zhuǎn)化為研究方程，的解個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究即可.
【小問1詳解】
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，，則，令，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，，
因?yàn)榍€與不存在相互平行或重合的切線
所以，恒成立，即，
因，，
所以，即的取值范圍為；
小問2詳解】
解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，兩條曲線不存在公切線；
當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線的切點(diǎn)為，曲線的切點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>所以在處的切線方程為，
同理可得，在處的切線方程為，
由題意可知，，即，
消去得，
令，整理得，
所以，兩條曲線的切線條數(shù)即為上述關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，
因?yàn)椋?br>設(shè)，則，令，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，即
設(shè)，
則，
設(shè)，
則，令，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，，
所以令，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)楫?dāng)趨近于及時(shí)，趨近于，且，
所以存在，使得，即兩條曲線存在兩條公切線，
綜上，當(dāng)時(shí)，兩條曲線無公切線；當(dāng)時(shí)，兩條曲線存在兩條公切線.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于討論當(dāng)時(shí)的情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得曲線，的切線得，進(jìn)而換元整理轉(zhuǎn)化為研究方程，的解個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究即可。類別
喜歡新能源汽車
不喜歡新能源汽車
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