?《2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關系》同步練習
一、選擇題（ 本大題共10小題，共40分）
1．（4分）設一元二次方程x2﹣2x+3＝0的兩個實根為x1和x2，則x1x2＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，則x+y＝（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．（4分）已知實數(shù)m，n滿足條件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，則+的值是（　　）
A． B． C．或2 D．或2
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，則2x12+x22﹣2x1＝（　?。?br /> A．16 B．17 C．18 D．19
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根分別為2和3，則b，c的值分別為（　　）
A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
6．（4分）設x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，則x12+x22的值為（　?。?br /> A．6 B．8 C．14 D．16
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，則一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象一定不經過（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式α2+β﹣3α的值是（　?。?br /> A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
9．（4分）設x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則的值是（　?。?br /> A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x2+x1x2的值為（　?。?br /> A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
二、填空題（ 本大題共5小題，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣4x1+3x1x2的值為　 ?。?br /> 12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x1?x2﹣x1﹣x2＝　 　．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的兩根，且x1+x2﹣x1x2＝7，則k＝　 　．
14．（4分）如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式n2+mn+m+2018＝　 ?。?br /> 15．（4分）設a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則＝　 　．
三、解答題（ 本大題共5小題，共40分）
16．（8分）已知關于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根為1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．




17．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）若方程兩根為平行四邊形一組鄰邊長，當該平行四邊形是菱形時，求菱形邊長．



18．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有兩根α，β．
（1）求m的取值范圍；
（2）若＝﹣1，則m的值為多少？
19．（8分）已知關于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設此方程的兩個根分別為x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．






20．（8分）已知x1、x2是關于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0兩個實數(shù)根，并且x1≠x2．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．

參考答案與試題解析
一、選擇題（ 本大題共10小題，共40分）
1．（4分）設一元二次方程x2﹣2x+3＝0的兩個實根為x1和x2，則x1x2＝（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，求出x1x2＝即可得到答案．
【解答】解：x2﹣2x+3＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝3，
x1x2＝＝3，
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，正確掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系公式是解題的關鍵．
2．（4分）已知x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，則x+y＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】由x，y滿足的條件及x≠y，可得出x，y為一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的兩個不等實根，再利用根與系數(shù)的關系即可求出x+y的值．
【解答】解：∵x≠y，且x2﹣x＝10，y2﹣y＝10，
∴x，y為一元二次方程z2﹣z﹣10＝0的兩個不等實根，
∴x+y＝1．
故選：A．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于﹣是解題的關鍵．
3．（4分）已知實數(shù)m，n滿足條件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，則+的值是（　?。?br /> A． B． C．或2 D．或2
【分析】分m＝n及m，n為一元二次方程x2﹣7x+2＝0的兩不等實根兩種情況考慮，當m＝n時，+＝2；當m，n為一元二次方程x2﹣7x+2＝0的兩不等實根時，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出m+n＝7，mn＝2，將其代入+＝中即可求出結論．綜上，此題得解．
【解答】解：∵實數(shù)m，n滿足條件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，
∴m＝n或m，n為一元二次方程x2﹣7x+2＝0的兩不等實根．
當m＝n時，+＝1+1＝2；
當m，n為一元二次方程x2﹣7x+2＝0的兩不等實根時，
m+n＝7，mn＝2，
∴+＝＝＝．
綜上所述，+的值為2或．
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及分式的加減法，分m＝n及m，n為一元二次方程x2﹣7x+2＝0的兩不等實根兩種情況求出+的值是解題的關鍵．
4．（4分）已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，則2x12+x22﹣2x1＝（　?。?br /> A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系結合一元二次方程的解可得出：x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，將其代入2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出結論．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，
∴x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，
∴2x12+x22﹣2x1＝（x12﹣2x1）+（x1+x2）2﹣2x1x2＝5+22﹣2×（﹣5）＝19．
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，利用根與系數(shù)的關系及一元二次方程的解找出x12﹣2x1＝5，x1+x2＝2，x1x2＝﹣5是解題的關鍵．
5．（4分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根分別為2和3，則b，c的值分別為（　?。?br /> A．5，6 B．﹣5，﹣6 C．5，﹣6 D．﹣5，6
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系，直接代入計算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c＝0的兩根分別為2和3，
∴2+3＝﹣b，2×3＝c，
∴b＝﹣5，c＝6，
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．解題的關鍵是熟練掌握根與系數(shù)的字母表達式，并會代入計算．
6．（4分）設x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，則x12+x22的值為（　?。?br /> A．6 B．8 C．14 D．16
【分析】由根與系數(shù)的關系即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5
∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝4+10
＝14
故選：C．
【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，本題屬于基礎題型．
7．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，則一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象一定不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出a+b＝4、ab＝3，再結合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，即可找出一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象經過的象限，此題得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，
∴a+b＝4，ab＝3，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝3x+4．
∵3＞0，4＞0，
∴一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象經過第一、二、三象限．
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系結合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，找出一次函數(shù)圖象經過的象限是解題的關鍵．
8．（4分）若α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式α2+β﹣3α的值是（　　）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
【分析】先根據(jù)方程根的定義得到α2＝4α+2018，則α2+β﹣3α＝α+β+2018，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到α+β＝4，然后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：∵α是方程x2﹣4x﹣2018＝0的根，
∴α2﹣4α﹣2018＝0，即α2＝4α+2018，
∴α2+β﹣3α＝4α+2018+β﹣3α＝α+β+2018，
∵α，β是方程x2﹣4x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，
∴α+β＝4，
∴α2+β﹣3α＝4+2018＝2022．
故選：B．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定義．
9．（4分）設x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣6 或﹣5 D．6 或5
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2＝2、x1x2＝﹣1，將其代入＝中即可求出結論．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣6．
故選：A．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關鍵．
10．（4分）已知方程x2﹣x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，則代數(shù)式x1+x2+x1x2的值為（　?。?br /> A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣1
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2＝1、x1x2＝﹣2，將其代入x1+x2+x1x2中即可求出結論．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的兩個實數(shù)根為x1、x2，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣2＝﹣1．
故選：D．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關鍵．
二、填空題（ 本大題共5小題，共20分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣4x1+3x1x2的值為　2　．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系可得出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，將其代入x12﹣4x1+3x1x2中即可求出結論．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的兩根為x1，x2，
∴x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，
∴x12﹣4x1+3x1x2＝﹣1+3×1＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系找出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1是解題的關鍵．
12．（4分）若方程x2﹣5x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x1?x2﹣x1﹣x2＝　﹣6?。?br /> 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2＝5，x1?x2＝﹣1，將其代入x1?x2﹣x1﹣x2＝x1?x2﹣（x1+x2）中即可求出結論．
【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣1＝0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1?x2＝﹣1，
∴x1?x2﹣x1﹣x2＝x1?x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣5＝﹣6．
故答案為：﹣6．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于﹣，兩根之積等于是解題的關鍵．
13．（4分）已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的兩根，且x1+x2﹣x1x2＝7，則k＝　﹣11?。?br /> 【分析】利用根與系數(shù)的關系，先把x1，x2之間的關系寫出來，代入方程求出k．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+4x+k＝0的兩根，
∴x1+x2＝﹣4，x1?x2＝k，
∵x1+x2﹣x1x2＝7，
∴﹣4﹣k＝7，
∴k＝﹣11．
故答案為：﹣11
【點評】將根與系數(shù)的關系代入方程解題是一種經常使用的解題方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
14．（4分）如果m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式n2+mn+m+2018＝　2019?。?br /> 【分析】由m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n可得出m，n為一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系可得出m+n＝1，mn＝﹣3，再將其代入n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018中即可求出結論．
【解答】解：∵m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，m≠n，
∴m，n為一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的兩個不等實數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴n2+mn+m+2018＝（n2﹣n）+（m+n）+mn+2018＝3+1﹣3+2018＝2019．
故答案為：2019．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，利用根與系數(shù)的關系找出m+n＝1，mn＝﹣3是解題的關鍵．
15．（4分）設a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，則＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，將其代入+＝中即可求出結論．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的兩個實數(shù)根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，
∴+＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系找出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018是解題的關鍵．
三、解答題（ 本大題共5小題，共40分）
16．（8分）已知關于x的方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0的一根為1．
（1）求2m2﹣6m﹣10的值；
（2）求方程的另一根．
【分析】（1）代入x＝1可求出m2﹣3m＝4，將其代入2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10中即可求出結論；
（2）設方程的另一根為x1，由兩根之和等于﹣，可得出關于x1的一元一次方程，解之即可得出結論．
【解答】解：（1）將x＝1代入方程x2﹣5x+m2﹣3m＝0，得：1﹣5+m2﹣3m＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴2m2﹣6m﹣10＝2（m2﹣3m）﹣10＝2×4﹣10＝﹣2．
（2）設方程的另一根為x1，
由根與系數(shù)的關系，得：x1+1＝5，
解得：x1＝4．
∴方程的另一根為4．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，解題的關鍵是：（1）代入x＝1求出m2﹣3m＝4；（2）牢記“兩根之和等于﹣”．
17．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）若方程兩根為平行四邊形一組鄰邊長，當該平行四邊形是菱形時，求菱形邊長．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式和非負數(shù)的性質即可得到結論；
（2）根據(jù)菱形的性質和一元二次方程根的判別式解方程即可得到結論．
【解答】（1）證明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵平行四邊形是菱形，
∴鄰邊相等，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴△＝（m﹣2）2＝0，
∴m＝2，
此時有方程：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，
∴菱形邊長為2．
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
18．（8分）已知關于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有兩根α，β．
（1）求m的取值范圍；
（2）若＝﹣1，則m的值為多少？
【分析】（1）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根可知△＞0，求出m的取值范圍即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得出α+β與αβ的值，代入代數(shù)式進行計算即可．
【解答】解：（1）由題意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；

（2）由根與系數(shù)的關系得：α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴＝﹣1，
m2﹣2m﹣3＝0
（m﹣3）（m+1）＝0
m1＝﹣1，m1＝3，
由（1）知m≥﹣，
所以m1＝﹣1應舍去，
m的值為3．
【點評】本題考查的是根與系數(shù)的關系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此題的關鍵．
19．（8分）已知關于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣25＝0，
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設此方程的兩個根分別為x1、x2，其中x1＜x2，若2x1＝x2﹣7，求m的值．
【分析】（1）首先得到△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）＝100＞0證得方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）根據(jù)已知條件得到得出關于m的方程求得答案即可．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣25）
＝16m2﹣16m2+100
＝100＞0，
∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）∵[x﹣（2m+5）][x﹣（2m﹣5）]＝0，
∴x﹣（2m+5）＝0或x﹣（2m﹣5）＝0，
∴x1＝2m﹣5，x2＝2m+5，
∵2x1＝x2﹣7，
∴2（2m﹣5）＝2m+5﹣7，
解得：m＝4．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及公式法求一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的各種解法是解題的關鍵．
20．（8分）已知x1、x2是關于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0兩個實數(shù)根，并且x1≠x2．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值；
（3）若|x1﹣x2|＝6，求的值．
【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，然后解不等式即可得到k的范圍；
（2）先確定整數(shù)k的值為1或2，然后把k＝1或k＝2代入方程得到兩個一元二次方程，然后解方程確定方程有整數(shù)解的方程即可；
（3）由根與系數(shù)的關系可得x1+x2＝﹣2，x1?x2＝2k﹣4，利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，根據(jù)|x1﹣x2|＝6，那么20﹣8k＝36，求出k＝﹣2，計算出x1?x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，進而求出的值．
【解答】解：（1）依題意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；

（2）因為k＜且k為正整數(shù)，
所以k＝l或2，
當k＝l時，方程化為x2+2x﹣2＝0，△＝12，此方程無整數(shù)根；
當k＝2時，方程化為x2+2x＝0 解得x1＝0，x2＝﹣2，
故所求k的值為2；

（3）∵x1、x2是關于x的方程x2+2x+2k﹣4＝0兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝2k﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k，
∵|x1﹣x2|＝6，
∴20﹣8k＝36，
∴k＝﹣2，
∴x1?x2＝2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
∴＝36+3×（﹣8）﹣5＝7．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了根的判別式．

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初中數(shù)學湘教版九年級上冊電子課本

2.1 一元二次方程

版本： 湘教版

年級： 九年級上冊

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