?2021屆西藏自治區(qū)日喀則區(qū)南木林高級中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題


一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：
解不等式得集合A,求函數(shù)定義域得集合B，根據(jù)交集定義求解集合交集即可.
詳解：
集合，，
所以.
故選B.
點睛：
本題主要考查了集合的描述法和集合交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.
2．定義運算，若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由已知得，變形后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．
【詳解】
由題意，，
∴，
則，
∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第一象限．
故選．
【點睛】
本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．
3．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，在等比數(shù)列中有解得，則
故選C．
4．若雙曲線的一個焦點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)雙曲線中，，的關(guān)系，直接求解即可.
【詳解】
因為雙曲線的一個焦點為，所以
所以，解得.
故選:B
【點睛】
本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
5．在中，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案．
【詳解】
在中，因為，
由正弦定理知，又，所以，
又由余弦定理知：，
解得，即，故選A．
【點睛】
本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．在中，通常涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.
6．在 的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A．1 B．10 C．-10 D．0
【答案】D
【解析】由二項的展開式的通項為，進(jìn)而可求得展開式的的系數(shù)，得到答案.
【詳解】
由題意，二項式的展開式的通項為，
所以的展開式中，
的系數(shù)為：.
故選：D.
【點睛】
本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于較易題.
7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有一道關(guān)于玉石的問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（兩）.問玉、石重各幾何？”如圖所示的程序框圖反映了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的，分別為（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】執(zhí)行程序框圖，；；；，結(jié)束循環(huán)，輸出的分別為，故選C.
【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可.
8．已知點是拋物線上的一點，是其焦點，定點，則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：由點是拋物線上的一點可求得拋物線方程，進(jìn)而可得焦點坐標(biāo)，利用正弦定理求出外接圓半徑，即可得結(jié)果.
詳解：將點坐標(biāo)代入拋物線方程，得，解得點，據(jù)題設(shè)分析知，，又為外接球半徑），外接圓面積，故選B.
點睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
9．設(shè)是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，再結(jié)合兩角和的正切公式，即可求解.
【詳解】
由題意，是方程的兩個根，
可得
又由.
故選：A.
【點睛】
本題主要考查了兩角和的正切的化簡、求值，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，其中解答中熟記兩角和的正切公式是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.
10．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：先利用已知條件判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，再解不等式.
詳解：由于是定義在上的奇函數(shù)，
∴，且在上為增函數(shù)，
∴f(x)是R上的增函數(shù)，
∵f(1)=3,
所以,
∴2x-1＜1，
∴x＜1.
故選A.
點睛：解抽象的函數(shù)不等式，一般先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再把不等式化成的形式，再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)不等式解答.
11．若tan+=4，則sin2=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由所給等式利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得，再利用二倍角公式代入相應(yīng)值即可得解.
【詳解】
，
，
即，
，
.
故選：D.
【點睛】
本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、二倍角公式，屬于較易題.
12．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】將問題轉(zhuǎn)化為：漸近線與直線的距離大于等于圓的半徑，由此求解出雙曲線離心率的取值范圍.
【詳解】
因為與雙曲線的漸近線平行，又在上，
所以若與雙曲線的右支沒有公共點，則只需要滿足與的距離大于等于，
所以，所以，所以離心率的取值范圍是，
故選：A.
【點睛】
本題考查求解雙曲線離心率的范圍，對學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力要求較高，難度較難.涉及到和雙曲線某一支的交點個數(shù)問題，注意借助雙曲線的漸近線進(jìn)行分析.


二、填空題
13．已知向量與的夾角為，，，則__________.
【答案】6.
【解析】求出即得解.
【詳解】
由題意，向量的夾角為，
所以，
所以.
故答案為：6
【點睛】
本題主要考查向量模的計算，考查向量的數(shù)量積運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
14．若，，則__________.
【答案】
【解析】先求出，，再求即可.
【詳解】
解：因為，所以，解得或
因為，所以，
所以
故答案為：
【點睛】
本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差的余弦公式，是基礎(chǔ)題.
15．已知實數(shù)滿足不等式組則的最大值是__________．
【答案】12
【解析】分析：
畫出不等式組表示的可行域，平移，結(jié)合所畫可行域，可求得的最大值.
詳解：

作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，
分析知，平移直線，由圖可得直線經(jīng)過點時，取得最大值，且，
故答案為.
點睛：
本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.
16．曲線在點處的切線方程為________
【答案】
【解析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，然后代入直線方程的點斜式得答案．
【詳解】
由，
得，
，
∴曲線在點處的切線方程為，
則曲線在點處的切線方程為.
故答案為：.
【點睛】
本題主要考查了函數(shù)在一點處的切線方程，屬于較易題.

三、解答題
17．設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an},{bn}的通項公式.
(2)求數(shù)列{}的前n項和Sn.
【答案】(1) an=2n-1 ，； (2) Sn=6-
【解析】【詳解】
(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則依題意有q>0且解得
所以an=1+(n-1)d=2n-1, bn=qn-1=2n-1.
(2)=,
Sn=1+++…++,?、?br /> 2Sn=2+3++…++.?、?br /> ②-①,得Sn=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-,
=2+2×-=6-.
18．某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動．他們的年齡在25歲至50歲之間．按年齡分組：第1組[25,30)，第2組[30,35)，第3組[35,40)，第4組[40,45)，第5組[45,50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．下表是年齡的頻率分布表.

區(qū)間
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人數(shù)
25
a
b









(1)求正整數(shù)a，b，N的值；
(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是
多少？
(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求恰有1人在第3組的概率．
【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3） .
【解析】⑴根據(jù)頻率分布直方圖的意義并結(jié)合表格內(nèi)的已知數(shù)可以求得，，
⑵先求出這三組的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣的取樣方法求得每組取樣的人數(shù)
⑶利用列舉法列出所有的組合方式共有種，其中滿足條件的組合有種，利用古典概型概率公式求得結(jié)果
【詳解】
(1)由頻率分布直方圖可知，[25,30)與[30,35)兩組的人數(shù)相同，所以.
且 總?cè)藬?shù)
(2)因為第1,2,3組共有人，利用分層抽樣在150名員工中抽取6人，每組抽取的人數(shù)分別為：
第1組的人數(shù)為， 第2組的人數(shù)為，第3組的人數(shù)為，
所以第1,2,3組分別抽取1人，1人，4人．
(3)由(2)可設(shè)第1組的1人為，第2組的1人為，第3組的4人分別為，，，則從6人中抽取2人的所有可能結(jié)果為：
，，，，，，，，，，，，，共有15種．其中恰有1人年齡在第3組的所有結(jié)果為：，，，，，，，，共有8種．
所以恰有1人年齡在第3組的概率為.
【點睛】
本題主要考查了頻率分布表和頻率分布直方圖的應(yīng)用，還考查了利用古典概型概率公式求概率，熟練掌握各個定義，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
19．如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，AB∥CD，，．

（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）過點作，垂足為，利用勾股定理證明，利用平面，證明，即可證明平面；
（2）證得平面，利用，即可求解的體積.
【詳解】
(1)證明：過點C作CM⊥AB，垂足為M，因為AD⊥DC，
所以四邊形ADCM為矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因為AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，
又CM⊥AB，AF?平面ABEF，
AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.
VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.
【點睛】
本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，以及幾何體的體積的計算，其中熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．
20．已知圓C：，直線l過定點．
（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點，求的面積的最大值，并求此時直線l的方程．
【答案】（1）或
【解析】（1）通過直線的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑即可求解直線的方程；
（2）設(shè)直線方程為，求出圓心到直線的距離、求得弦長，得到的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時的距離，然后求出直線的斜率，即可得到直線的方程.
【詳解】
（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.
②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即： ，解之得 . 所求直線l1的方程是或.
(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0, 設(shè)直線方程為，
則圓心到直線l1的距離
又∵△CPQ的面積
＝
∴當(dāng)d＝時，S取得最大值2.
∴＝ ∴ k＝1 或k＝7
所求直線l1方程為 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
【點睛】
本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓相切，圓的弦長公式，以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的綜合考查，其中熟記直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，合理準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
21．已知函數(shù)，的圖象在點處的切線為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，求證：；
（3）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）（2）見解析（3）
【解析】（1）求導(dǎo)根據(jù)切線方程公式得到，解得答案.
（2）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計算得到證明.
（3）求導(dǎo)并利用（2）中結(jié)論，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，，得到答案.
【詳解】
（1），由已知得，解得，
故.
（2），得．
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
∴，從而,即
（3）令，，
∴，
由（2）可知當(dāng)時，恒成立，
令，得；得．
∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，
∴，∴實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】
本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值是解題的關(guān)鍵.
22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.
（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓與直線交于點、，若點的坐標(biāo)為，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，可直接求解，并將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
（2）將直線參數(shù)方程代入圓的方程，可得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義，即可求得.
【詳解】
解：（1）

，
即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線圓的兩個交點、分別對應(yīng)參數(shù)，，則
將方程，
代入得：，
，，
，
由參數(shù)的幾何意義知：，，
.
【點睛】
本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線參數(shù)方程的幾何意義及線段關(guān)系求法，屬于中檔題.
23．設(shè)函數(shù).
（1）證明：；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）直接計算，由絕對值不等式的性質(zhì)及基本不等式證之即可；
（2），分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.
【詳解】
解：（1）證明：函數(shù)，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.
(2).
當(dāng)時，，
則；
當(dāng)時，，
則；
當(dāng)時，，
則，則的值域為.
不等式的解集非空，即為，解得，，由于，
則的取值范圍是.
【點睛】
本題考查含絕對值不等式的證明與解法與基本不等式，難點在于分類討論，屬于難題

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