?2021屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題


一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．(1，2) B．(1，2] C．[－2，2) D．(－2，2]
【答案】A
【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算可的結(jié)果.
【詳解】
由得，即，所以，
又，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2．設(shè)為虛數(shù)單位，如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.
【詳解】
由圖知：，，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，為點(diǎn).
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，同時(shí)考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題.
3．為了解高三學(xué)生對“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從全年級(jí)1004人中抽取50人參加測試．首先由簡單隨機(jī)抽樣剔除4名學(xué)生，然后剩余的1000名學(xué)生再用系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則（ ）
A．每個(gè)學(xué)生入選的概率均不相等 B．每個(gè)學(xué)生入選的概率可能為0
C．每個(gè)學(xué)生入選的概率都相等，且為 D．每個(gè)學(xué)生入選的概率都相等，且為
【答案】C
【解析】根據(jù)簡單隨機(jī)抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣以及概率公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽和系統(tǒng)抽樣都是等可能抽樣，所以每個(gè)學(xué)生入選的概率都相等，且入選的概率等于.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了簡單隨機(jī)抽和系統(tǒng)抽樣，考查了概率公式，屬于基礎(chǔ)題.
4．已知，則（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】巧用“1”，化弦為切，由已知可得解.
【詳解】


故選:D
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵在于化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.
5．函數(shù)在處取得極值，則（ ）
A．，且為極大值點(diǎn) B．，且為極小值點(diǎn)
C．，且為極大值點(diǎn) D．，且為極小值點(diǎn)
【答案】B
【解析】先求導(dǎo)，再根據(jù)題意得，由此求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．
【詳解】
解：∵，
∴，
又在處取得極值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在處附近的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，
∴函數(shù)在處取得極小值，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于基礎(chǔ)題．
6．設(shè)，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出的范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的范圍，從而可得結(jié)論
【詳解】
解：因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，
所以，即，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，
所以，得，即，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，
所以，得，即，
所以，
故選：B
【點(diǎn)睛】
此題考查對數(shù)式、指數(shù)式比較大小，利用了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題
7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圖像可知，因?yàn)?，所以或，然后分和兩種情況結(jié)合函數(shù)圖像求解的值即可
【詳解】
解：由圖像可知，
因?yàn)?，所以或?br /> 當(dāng)時(shí)，，即，
解得，即，沒有選項(xiàng)滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，即 ，
解得，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí) ，
故選：B
【點(diǎn)睛】
此題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題
8．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，都有，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]
【答案】A
【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為單調(diào)遞增函數(shù)，將原不等式化為，根據(jù)單調(diào)性可解得結(jié)果.
【詳解】
構(gòu)造，
則

，
所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，所以不等式等價(jià)于等價(jià)于，所以，故原不等式的解集為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

二、多選題
9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】對各選項(xiàng)對應(yīng)的函數(shù)逐個(gè)研究判斷，即可求解．
【詳解】
對于A，設(shè)，定義域?yàn)?，，而函?shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)在上遞增，滿足題意，正確；
對于B，設(shè)，定義域?yàn)?，，而函?shù)在上遞增，函數(shù)在和上遞減，所以函數(shù)在和上遞增，在整個(gè)定義域上不是增函數(shù)，不符合題意，不正確；
對于C，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：．
根據(jù)圖象可知，滿足題意，正確；
對于D，設(shè)，定義域?yàn)?，，即，根?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知函數(shù)在上遞增，而函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在上遞增，故函數(shù)在上遞增，滿足題意，正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的判斷，涉及冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，單調(diào)性的運(yùn)算，奇偶性的判斷，屬于中檔題．
10．某中學(xué)高一年級(jí)半期考試后將進(jìn)行新高考首選科目的選擇，每位同學(xué)必須在“物理”、“歷史”中二選一．學(xué)校采用分層抽樣的方法，抽取了該年級(jí)部分男、女學(xué)生選科意愿的一份樣本，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下兩個(gè)等高堆積條形圖．根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確的是（ ）

A．該年級(jí)男生數(shù)量多于女生數(shù)量
B．樣本中對物理有意愿的學(xué)生數(shù)量多于對歷史有意愿的學(xué)生數(shù)量
C．樣本中對物理有意愿的男生人數(shù)多于對歷史有意愿的男生人數(shù)
D．樣本中對歷史有意愿的女生人數(shù)多于對物理有意愿的女生人數(shù)
【答案】BC
【解析】由圖1可知選項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖2可知選項(xiàng),正確, 選項(xiàng)不正確.
【詳解】
由圖1可知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由圖2可知樣本中對物理有意愿的學(xué)生數(shù)量多于對歷史有意愿的學(xué)生數(shù)量，故選項(xiàng)正確；
由圖2可知樣本中對物理有意愿的男生人數(shù)多于對歷史有意愿的男生人數(shù)，故選項(xiàng)正確；
由圖2樣本中對歷史有意愿的女生人數(shù)少于對物理有意愿的女生人數(shù)，故選項(xiàng)不正確.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】
本題考查了等高條形圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
11．下列說法正確的有（ ）
A．，，使 B．，，有
C．，，使 D．，，有
【答案】ABC
【解析】根據(jù)取特值法，易知A， C正確，D錯(cuò)誤；根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可知B正確．
【詳解】
取，易知A正確D錯(cuò)誤；取，，C正確；
因?yàn)?br />
，故B正確，
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查兩角和與差的正弦公式，余弦公式的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．已知函數(shù)，，則下列說法正確的有（ ）
A．是偶函數(shù)
B．是周期函數(shù)
C．在區(qū)間上，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)
D．過(0，0)作的切線，有且僅有3條
【答案】ACD
【解析】利用函數(shù)的奇偶性的定義易知函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；根據(jù)周期性的定義可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，易知有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，C正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過某點(diǎn)的切線方程可知D正確．
【詳解】
對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，顯然，所以函數(shù)是偶函數(shù)，正確；
對于B，若存在非零常數(shù)，使得，令，則，即，令，則，因?yàn)?，所以，即或．若，則，解得，舍去；若，則，解得，所以若存在非零常數(shù)，使得，則．
即，令，則，而，，不符合題意．故不存在非零常數(shù)，使得，B錯(cuò)誤；
對于C ，，，，，
當(dāng)，，故單減，
又，，故在上有且僅有一個(gè)解，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
對于D，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為，
將 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，則切線方程為；若，則，D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，周期性的定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過某點(diǎn)的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題．


三、填空題
13．已知函數(shù)，則________．
【答案】
【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，由自變量的范圍代入相應(yīng)的解析式即可求出．
【詳解】
因?yàn)椋?br /> 故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分段函數(shù)求值，涉及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的最小值為________．
【答案】4
【解析】先根據(jù)已知條件可得，再根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榍遥?，即?br /> 所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了對數(shù)的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.
15．2020年國慶檔上映的影片有《奪冠》，《我和我的家鄉(xiāng)》，《一點(diǎn)就到家》，《急先鋒》，《木蘭·橫空出世》，《姜子牙》，其中后兩部為動(dòng)畫片．甲、乙兩位同學(xué)都跟隨家人觀影，甲觀看了六部中的兩部，乙觀看了六部中的一部，則甲、乙兩人觀看了同一部動(dòng)畫片的概率為________．
【答案】
【解析】這是一個(gè)古典概型，先利用分步計(jì)數(shù)原理求得甲觀看了六部中的兩部和乙觀看了六部中的一部的基本事件數(shù)，再求得甲、乙兩人觀看同一部動(dòng)畫片的基本事件數(shù)，然后代入公式求解.
【詳解】
甲觀看了六部中的兩部共有種，
乙觀看了六部中的一部共有種，
則甲、乙兩人觀影共有種，
則甲、乙兩人觀看同一部動(dòng)畫片共有種，
所以甲、乙兩人觀看了同一部動(dòng)畫片的概率為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查組合與分布計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率求法，還考查了分析求解的能力，屬于中檔題.
16．如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊、，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓上．已知以直角邊、為直徑的半圓的面積之比為3，，則________．

【答案】
【解析】設(shè)，從而，再由，利用二倍角公式得到，，然后利用兩角差的余弦公式由求解.
【詳解】
設(shè)，則，且，
由，得，，，
故，
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

四、解答題
17．已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）將函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)________；得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
在①、②中選擇一個(gè)，補(bǔ)在（2）中的橫線上，并加以解答.
①向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮小為原來的一半；
②縱坐標(biāo)保持不變橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，再向右平移個(gè)單位．
【答案】（1）；（2）若選①，；若選②，．
【解析】（1）用正弦余弦的半角公式整理可得正弦函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型，可得函數(shù)最小正周期；
（2）選①先平移變換后周期變換可得對應(yīng)的，由的值域可得范圍；
選②先周期變換后平移變換得對應(yīng)的，同樣由值域得的范圍.
【詳解】
（1），最小正周期為；
（2）選①時(shí)，，
由，得，故，，有解，故．
選②時(shí)，
由，得，故，
有解，故．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)變換，正弦函數(shù)余弦函數(shù)得圖像變換及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
18．2018年至今，美國對“中興”、“華為”等中國高科技公司進(jìn)行瘋狂的打壓，引發(fā)國內(nèi)“中國芯”研發(fā)熱潮，但芯片的生產(chǎn)十分復(fù)雜，其中最重要的三種設(shè)備，刻蝕機(jī)、離子注入機(jī)、光刻機(jī)所需的核心技術(shù)仍被一些歐美國家壟斷國內(nèi)某知名半導(dǎo)體公司組織多個(gè)科研團(tuán)隊(duì)，準(zhǔn)備在未來2年內(nèi)全力攻關(guān)這三項(xiàng)核心技術(shù)已知在規(guī)定的2年內(nèi)，刻蝕機(jī)、離子注入機(jī)和光刻機(jī)所需的三項(xiàng)核心技術(shù)，被科研團(tuán)隊(duì)攻克的概率分別為，，，各項(xiàng)技術(shù)攻關(guān)結(jié)果彼此獨(dú)立．按照該公司對科研團(tuán)隊(duì)的考核標(biāo)準(zhǔn)，在規(guī)定的2年內(nèi)，攻克刻蝕機(jī)離子注人機(jī)所需的核心技術(shù)，每項(xiàng)均可獲得30分的考核分，攻克光刻機(jī)所需的核心技術(shù)，可獲得60分的考核分，若規(guī)定時(shí)間結(jié)束時(shí)，某項(xiàng)技術(shù)未能被攻克，則扣除該團(tuán)隊(duì)考核分10分．已知團(tuán)隊(duì)的初始分為0分，設(shè)2年結(jié)束時(shí)，團(tuán)隊(duì)的總分為，求：
（1）已知團(tuán)隊(duì)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，將三項(xiàng)核心技術(shù)都攻克的概率為，求該團(tuán)隊(duì)恰能攻克三項(xiàng)核心技術(shù)中的一項(xiàng)的概率；
（2）已知，求總分不低于50分的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由三項(xiàng)核心技術(shù)都攻克的概率求出，由此能求出恰能攻克三項(xiàng)核心技術(shù)中的一項(xiàng)的概率；
（2）三項(xiàng)技術(shù)都攻克，則，若攻克光刻機(jī)技術(shù)和刻蝕機(jī)、離子注入機(jī)中的一項(xiàng)，則，若技術(shù)刻蝕機(jī)和離子注入機(jī)，但未攻克光刻機(jī)技術(shù)，則，由此可求出結(jié)果
【詳解】
（1）三項(xiàng)核心技術(shù)都攻克的概率為，故
恰能攻克三項(xiàng)核心技術(shù)中的一項(xiàng)的概率；
（2）若三項(xiàng)技術(shù)都攻克，則，；
若攻克光刻機(jī)技術(shù)和刻蝕機(jī)、離子注入機(jī)中的一項(xiàng)，
則，；
若技術(shù)刻蝕機(jī)和離子注入機(jī)，但未攻克光刻機(jī)技術(shù)，則，；
所以，
【點(diǎn)睛】
此題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題
19．已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)在上的最值；
（2）設(shè)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）求導(dǎo)由，得到在上單調(diào)遞增求解.
（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立求解.
【詳解】
（1），，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，；
（2），，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，
，由（1）知遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以
所以．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
20．某電商平臺(tái)為提升服務(wù)質(zhì)量，從用戶系統(tǒng)中隨機(jī)選出300名客戶，對該平臺(tái)售前服務(wù)和售后服務(wù)的評價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到一份樣本數(shù)據(jù)，并用以估計(jì)所有用戶對該平臺(tái)服務(wù)質(zhì)量的滿意度．其中售前服務(wù)的滿意率為，售后服務(wù)的滿意率為，對售前服務(wù)和售后服務(wù)都不滿意的客戶有20人
（1）完成下面列聯(lián)表，并分析是否有97.5%的把握認(rèn)為售前服務(wù)滿意度與售后服務(wù)滿意度有關(guān)；

（2）若用頻率代替概率，假定在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，對售前服務(wù)和售后服務(wù)兩項(xiàng)都滿意的客戶保有率為95%，只對其中一項(xiàng)不滿意的客戶保有率為66%，對兩項(xiàng)都不滿意的客戶保有率為1%，從該運(yùn)營系統(tǒng)中任選3名客戶，求在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)保有客戶人數(shù)的分布列和期望，
附：，．


【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有97.5%的把握認(rèn)為售前服務(wù)滿意與售后服務(wù)滿意有關(guān)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．
【解析】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算，然后對照臨界值得出結(jié)論；
（2）由題意知，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出期望值
【詳解】
（1）由題意知對售前服務(wù)滿意的有260人，對服務(wù)不滿意的有100人，得列聯(lián)表如下：

經(jīng)計(jì)算得，
所以有97.5%的把握認(rèn)為售前服務(wù)滿意與售后服務(wù)滿意有關(guān)．
（2）在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，對售前服務(wù)和售后服務(wù)都滿意的客戶保有的概率為，
只有一項(xiàng)滿意的客戶保有的概率為，
對二者都不滿意的客戶保有的概率為．
所以，從系統(tǒng)中任選一名客戶保有的概率為，
故，，
，
，
，

（3）的分布列為：

．
【點(diǎn)睛】
此題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、超幾何分布、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查分析問題的能力，屬于中檔題
21．在平面直角坐標(biāo)系中，有定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作直線，交曲線于兩點(diǎn)，，以，為切點(diǎn)作曲線的切線，交于點(diǎn)，連接，，．
（?。┳C明：點(diǎn)在一條定直線上；
（ⅱ）記，分別為，的面積，求的最小值．
【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）16．
【解析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)公式即可化簡，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）（?。┯蛇^的直線與曲線相交有兩個(gè)點(diǎn)，可設(shè)直線方程為，將直線方程與曲線的方程聯(lián)立可得，，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出以，為切點(diǎn)的切線方程，即可聯(lián)立解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)在一條定直線上；（ⅱ）根據(jù)，求出弦長以及，到直線的距離，即可得到其表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到的最小值．
【詳解】
（1）設(shè)點(diǎn)，則，，
由，得，整理得：．
（2）（?。┰O(shè)：，，，，則，，聯(lián)立直線與拋物線：，所以，；
由，求導(dǎo)得，切線：，即，
同理，切線：，
聯(lián)立，可得，，即，所以，點(diǎn)在條定直線上．
（ⅱ）因?yàn)?，設(shè)，到直線的距離為，，則，，所以
，即，其關(guān)于遞增，顯然，當(dāng)時(shí)，取得最小值．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模的坐標(biāo)公式，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，以及拋物線中的面積問題的解法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合性強(qiáng)，屬于較難題．
22．函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若，，證明：；
（2）若，且對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）由題意可設(shè)，即可知函數(shù)為偶函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)再判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證出對，；
（2）先將原不等式變形可得，構(gòu)造函數(shù)，即不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞增，即可得到，再構(gòu)造函數(shù)，求出其值域，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（1）證明：，
令，
則，，
所以在單調(diào)遞增，所以，在單調(diào)遞增；
所以時(shí)，，因?yàn)椋瘮?shù)為偶函數(shù)，
即有時(shí)，．
（2）
①
令，則①式等價(jià)于，
，當(dāng)時(shí)，
又因?yàn)?，，所以，?br /> 所以，
令，，所以在遞減，，所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及同構(gòu)函數(shù)思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．

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