?2021年浙江省高考數(shù)學試題
一?選擇題
1. 設集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，(i虛數(shù)單位)，則（ ）
A. B. 1 C. D. 3
3. 已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）

A. B. 3 C. D.
5. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）

A. 直線與直線垂直，直線平面
B. 直線與直線平行，直線平面
C. 直線與直線相交，直線平面
D. 直線與直線異面，直線平面
7. 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）

A. B.
C. D.
8. 已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）
A. 直線和圓 B. 直線和橢圓 C. 直線和雙曲線 D. 直線和拋物線
10. 已知數(shù)列滿足.記數(shù)列前n項和為，則（ ）
A. B. C. D.
二?填空題
11. 我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.

12. 已知，函數(shù)若，則___________.
13. 已知多項式，則___________，___________.
14. 在中，，M是的中點，，則___________，___________.
15. 袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________， ___________.
16. 已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是_____ ______，橢圓的離心率是___________.
17. 已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為_______ ____.
三?解答題
18. 設函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
20. 已知數(shù)列前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
21. 如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
22. 設a，b實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))

2021年浙江省高考數(shù)學試卷
一?選擇題
1. 設集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由題意結合交集的定義可得結果.
【詳解】由交集的定義結合題意可得：.
故選：D.
2. 已知，，(i為虛數(shù)單位)，則（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【分析】首先計算左側的結果，然后結合復數(shù)相等的充分必要條件即可求得實數(shù)的值.
【詳解】，
利用復數(shù)相等的充分必要條件可得：.
故選：C.
3. 已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.
【詳解】如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，
∴不是的充分條件，
當時，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）

A. B. 3 C. D.
【答案】A
【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.
【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱，其高為1，底面為等腰梯形，
該等腰梯形的上底為，下底為，腰長為1，故梯形的高為，
故，
故選：A.

5. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數(shù)化為，求出過可行域點，且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.
【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，
如下圖所示：

目標函數(shù)化為，
由，解得，設，
當直線過點時，
取得最小值為.
故選：B
6. 如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）

A. 直線與直線垂直，直線平面
B. 直線與直線平行，直線平面
C. 直線與直線相交，直線平面
D. 直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【分析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.
【詳解】
連，在正方體中，
M是的中點，所以為中點，
又N是的中點，所以，
平面平面，
所以平面.
因為不垂直，所以不垂直
則不垂直平面，所以選項B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項C錯誤，選項A正確.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.
7. 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對于A，，該函數(shù)非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對于C，，則，
當時，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
8. 已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個代數(shù)式不可能均大于，再結合特例可得三式中大于的個數(shù)的最大值.
【詳解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，
故選：C.
【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.
9. 已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）
A. 直線和圓 B. 直線和橢圓 C. 直線和雙曲線 D. 直線和拋物線
【答案】C
【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.
【詳解】由題意得，即，
對其進行整理變形：
，
，
，
，
所以或，
其中為雙曲線，為直線.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，屬于中等題.
10. 已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，
，
由累乘法可得，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
二?填空題
11. 我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.

【答案】25
【分析】分別求得大正方形的面積和小正方形的面積，然后計算其比值即可.
【詳解】由題意可得，大正方形的邊長為：，
則其面積為：，
小正方形的面積：，
從而.
故答案為：25.
12. 已知，函數(shù)若，則___________.
【答案】2
【分析】由題意結合函數(shù)的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
13. 已知多項式，則___________，___________.
【答案】 (1). ; (2). .
【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結論.
【詳解】，
，
所以，
，
所以.
故答案為：.
14. 在中，，M是的中點，，則___________，___________.
【答案】 (1). (2).
【分析】由題意結合余弦定理可得，進而可得，再由余弦定理可得.
【詳解】由題意作出圖形，如圖，

在中，由余弦定理得，
即，解得（負值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案為：；.
15. 袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.
【答案】 (1). 1 (2).
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機變量的分布列即可求出．
【詳解】，所以，
, 所以, 則．
由于
．
故答案為：1；．
16. 已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________.
【答案】 (1). (2).
【分析】不妨假設，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．
【詳解】
如圖所示：不妨假設，設切點為，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案為：；．
17. 已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】設，由平面向量的知識可得，再結合柯西不等式即可得解.
【詳解】由題意，設，
則，即，
又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
當且僅當即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是由平面向量的知識轉化出之間的等量關系，再結合柯西不等式變形即可求得最小值.
三?解答題
18. 設函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，

，
由可得，
所以當即時，函數(shù)取最大值.
19. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.

（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,
則,
又為中點，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．

【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．
20. 已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，結合與的關系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結論；
（2）由結合的結論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉化為與關于的函數(shù)的范圍關系，即可求解.
【詳解】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得

，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
【點睛】易錯點點睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.
21. 如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，

（1）求拋物線的方程；
（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.
（2）設，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設條件可得，從而可求的范圍.
【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.
（2）設，，，
所以直線，由題設可得且.
由可得，故，
因為，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，


故，
令，則且，
故，
故即，
解得或或.
故直線在軸上的截距的范圍為或或.
【點睛】方法點睛：直線與拋物線中的位置關系中的最值問題，往往需要根據(jù)問題的特征合理假設直線方程的形式，從而便于代數(shù)量的計算，對于構建出的函數(shù)關系式，注意利用換元法等把復雜函數(shù)的范圍問題轉化為常見函數(shù)的范圍問題.
22. 設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
(2)將原問題進行等價轉化，然后構造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；
(3)結合(2)的結論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結論成立.
【詳解】(1)，
①若，則，所以在上單調(diào)遞增；
②若，
當時，單調(diào)遞減，
當時，單調(diào)遞增.
綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；
時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，
令，則，
記，
記，
又，所以時，時，，
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，
.
即實數(shù)的取值范圍是.
(3)有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).
由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，
，
注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，又由知，
，
要證，只需，
且關于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需證，
只需證，
只需證，
，只需證在時為正，
由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，
又，故在時為正，
從而題中的不等式得證.


相關試卷

2021年浙江省高考數(shù)學試卷-(解析版)：

這是一份2021年浙江省高考數(shù)學試卷-(解析版)，共22頁。

2021年浙江省高考數(shù)學試卷-(含解析)：

這是一份2021年浙江省高考數(shù)學試卷-(含解析)，共28頁。

2022-2023學年浙江省北斗聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）：

這是一份2022-2023學年浙江省北斗聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析），共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高中數(shù)學高考精品解析：2020年浙江省高考數(shù)學試卷（原卷版）

高中數(shù)學高考精品解析：2020年浙江省高考數(shù)學試卷（原卷版）
高中數(shù)學高考精品解析：2020年浙江省高考數(shù)學試卷（解析版）

高中數(shù)學高考精品解析：2020年浙江省高考數(shù)學試卷（解析版）
2022屆新高考模擬數(shù)學試卷8（含解析）

2022屆新高考模擬數(shù)學試卷8（含解析）
2020年浙江省高考數(shù)學試卷精編答案解析

2020年浙江省高考數(shù)學試卷精編答案解析
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部