?成都七中2021級(jí)高二下期入學(xué)考試題（理）

一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】分析：先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再寫出準(zhǔn)線方程．
詳解：將化為，
則該拋物線的準(zhǔn)線方程為．
點(diǎn)睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線方程等知識(shí)，意在考查學(xué)生的基本計(jì)算能力．
2. 在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)7名學(xué)生的成績分布莖葉圖如下圖所示，若這7名學(xué)生的平均成績?yōu)?7分，則的值為

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【詳解】這7名學(xué)生的平均成績等于：

故選：C
3. 容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)分布在，將樣本數(shù)據(jù)分為4組：，得到頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法不正確的是

A. 樣本數(shù)據(jù)分布在的頻率為0.32 B. 樣本數(shù)據(jù)分布在的頻數(shù)為40
C. 樣本數(shù)據(jù)分布在的頻數(shù)為40 D. 估計(jì)總體數(shù)據(jù)大約有10%分布在
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、判斷后可得結(jié)果．
【詳解】對(duì)于A，由圖可得樣本數(shù)據(jù)分布在的頻率為，所以A正確．
對(duì)于B，由圖可得樣本數(shù)據(jù)分布在的頻數(shù)為，所以B正確．
對(duì)于C，由圖可得樣本數(shù)據(jù)分布在的頻數(shù)為，所以C正確.
對(duì)于D，由圖可估計(jì)總體數(shù)據(jù)分布在的比例為，故D不正確．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查識(shí)圖和用圖解題的能力，解題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤認(rèn)為圖中小長方形的高為頻率，求解時(shí)要注意這一點(diǎn)．
4. 下列敘述：①某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”是互斥事件；
②甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“沒有人射中目標(biāo)”是對(duì)立事件；
③拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，則第5次出現(xiàn)反面向上的概率大于；
④在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計(jì)概率；則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)事件的相關(guān)定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.
【詳解】對(duì)于①．某人射擊1次，“射中7環(huán)”與“射中8環(huán)”是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，所以是互斥事件，故①正確．
對(duì)于②．甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”包括：1人射中，1人沒有射中和2人都射中，由對(duì)立事件定義：“至少有1人射中目標(biāo)”與“沒有人射中目標(biāo)”是對(duì)立事件．故②正確．
對(duì)于③．拋擲一枚硬幣n次，屬于獨(dú)立重復(fù)事件，每次出現(xiàn)正面向上的概率為，出現(xiàn)反面向上的概率為，所以連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，第5次出現(xiàn)反面向上的概率為，故③不正確．
對(duì)于④，在相同條件下，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就會(huì)穩(wěn)定在概率附近，故④正確；
故選：A
5. 驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名建筑事務(wù)所steynstudio完成的．若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（ ）

A. 4 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.
【詳解】雙曲線，，，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，即，
所以，解得，
所以，，，.
故選：D.
6. 在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使得成立概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，再利用幾何概型計(jì)算作答.
【詳解】由，得，而，有，
因此，解得，則由幾何概型得，
所以成立的概率是.
故選：B
7. 若圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圓與圓的位置關(guān)系的判定求解即可
【詳解】由題意可知圓的圓心是原點(diǎn)，半徑，
圓的圓心是，半徑，
兩圓的圓心距
.∵圓與圓有公共點(diǎn)，
∴，
即，
解得或.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：A.
8. 在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)三只豚鼠中被感染的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
據(jù)此估計(jì)三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（　?。?
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.75
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析隨機(jī)數(shù)中沒有1，2，3，4中的數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)對(duì)立事件的概率求解即可
【詳解】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對(duì)立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機(jī)數(shù)中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個(gè)，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為
故選：D
9. 新冠肺炎疫情防控中，測(cè)量體溫是最簡(jiǎn)便、最快捷，也是篩查成本比較低、性價(jià)比很高的篩查方式，是更適用于大眾的普通篩查手段．某班級(jí)體溫檢測(cè)員對(duì)某一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. 甲同學(xué)的體溫的極差為0.5℃
B. 甲同學(xué)的體溫的眾數(shù)為36.3℃
C. 乙同學(xué)的體溫的中位數(shù)與平均數(shù)不相等
D. 乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)折線圖，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，直接計(jì)算極差判斷A，由眾數(shù)概念判斷B，由中位數(shù)和平均數(shù)確定C，由折線圖直接判斷D.
【詳解】對(duì)于A：甲同學(xué)的體溫的極差為℃，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B：甲同學(xué)的體溫從低到高依次為36.1℃，36.1℃，36.3℃，36.3℃，36.3℃，36.5℃，36.6℃，故眾數(shù)為36.3℃，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C：乙同學(xué)的體溫從低到高依次為36.2℃，36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，故中位數(shù)為36.4℃，而平均數(shù)也是36.4℃，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D：從折線圖上可以看出，乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故D選項(xiàng)正確.
故選：C
10. 中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)據(jù)，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左（即從低位到高位）依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用6來記錄每年進(jìn)的錢數(shù)，由圖可得，這位古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為（ ）

A. 180 B. 179 C. 178 D. 177
【答案】D
【解析】
【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，所以從
右到左的數(shù)分別為、、，然后把它們相加即可.
【詳解】
（個(gè)）.
所以古人一年收入的錢數(shù)用十進(jìn)制表示為個(gè).
故選：D.
11. 20世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能，這種模擬方法稱為蒙特卡羅方法或隨機(jī)模擬方法．如圖所示的程序框圖是利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)圓周率，（其中rand（ ）是產(chǎn)生內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，），則的值約為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)面積比得到方程，解出即可.
【詳解】根據(jù)程序框圖知，，而表示個(gè)圓,
如圖所示：則落在陰影部分的面積與長方形面積比為，
解得.

故選：D.
12. 已知，是曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，則的最大值與最小值的比值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分，數(shù)形結(jié)合求出的最大值和最小值，進(jìn)而求出比值.
【詳解】化簡(jiǎn)得，
由，得.
因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.
根據(jù)圓的性質(zhì)知：當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時(shí)，取得最大值，且最大值為6；
當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.

故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過分類討論得到曲線的具體情況，結(jié)合圖形，利用圓的性質(zhì)，得到線段和的最值，即可得到它們的比值.
二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．）
13. 圓關(guān)于直線對(duì)稱，則 __________．
【答案】3
【解析】
【分析】由題分析知直線過圓心，代入圓心坐標(biāo)即可.
【詳解】由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則由題意得直線過圓心，代入直線方程有，解得，
故答案為：3.
14. 用秦九韶算法下列計(jì)算多項(xiàng)式：，當(dāng)時(shí)， __________．
【答案】25
【解析】
【分析】根據(jù)秦九韶算法，可得答案.
【詳解】，其中，，，
當(dāng)時(shí)，，，.
故答案：.
15. 直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______．
【答案】或
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為，分類討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線雙曲線的漸近線，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得，解出即可．
【詳解】解：聯(lián)立，可得．
①當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，
直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得，
解得，滿足條件．
綜上可得：，．
故答案為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及其性質(zhì)、一元二次方程的解與判別式的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
16. 參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長度，則這個(gè)影子橢圓的離心率______.

【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中N、Q的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的a、c，進(jìn)而求得橢圓的離心率.
【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線PR的方程為

設(shè),
由到直線PR的距離為1，得，解之得或（舍）
則，
又設(shè)直線PN的方程為
由到直線PN的距離為1，得，整理得
則，又，故
則直線PN的方程為，
故，
由，解得，故橢圓的離心率
故答案為：
【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。
三、解答題：（本大題共6個(gè)小題，17題10分其余每道小題各12分，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．
（1）若，求使p假q真時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理以及命題的真假求解；(2)根據(jù)命題的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則或，
∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)
∴，解得，則，
p假q真，∴，
則a的取值范圍是
【小問2詳解】
∵，且p是q成立的充分條件，
∴，∴，又因?yàn)閜是q成立的不必要條件，
所以（1）（2）等號(hào)不能同時(shí)成立，
∴，綜上得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
18. 機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)，商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)兩部分．經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保險(xiǎn)費(fèi)與購車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：
購車價(jià)格（萬元）
5
10
15
20
25
30
35
商業(yè)險(xiǎn)保險(xiǎn)費(fèi)（元）
1737
2077
2417
2757
3097
3622
3962

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程（精確到0.01）；
（2）某保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保險(xiǎn)費(fèi)倍率，上一年沒有出險(xiǎn)，則下一年保險(xiǎn)費(fèi)倍率為，上一年出險(xiǎn)一次，則下一年保險(xiǎn)費(fèi)倍率為，上一年出險(xiǎn)兩次，則下一年保險(xiǎn)費(fèi)倍率為．成都的好心先生2022年1月購買了一輛價(jià)值32萬元的新車．若該車2022年2月已出過一次險(xiǎn)，4月又發(fā)生事故，好心先生到汽車維修店詢價(jià)，預(yù)計(jì)修車費(fèi)用為800元，理賠人員建議好心先生自費(fèi)維修（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為好心先生是否應(yīng)該接受該建議？請(qǐng)說明理由．（假設(shè)車輛2022年與2023年都購買相同的商業(yè)險(xiǎn)產(chǎn)品）
參考數(shù)據(jù)：，，
參考公式：．
【答案】（1）
（2）好心先生應(yīng)接受理賠專員的建議，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式帶入數(shù)據(jù)計(jì)算出 ，即可寫出回歸方程
（2）根據(jù)（1）計(jì)算出32萬元車輛的商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)預(yù)報(bào)值，因該車已出險(xiǎn)一次，加上本次出險(xiǎn)，按照保費(fèi)倍率為 計(jì)算保費(fèi)與800比較大小即可得出結(jié)論
【小問1詳解】
（萬元），
，
，
所以；
【小問2詳解】
①價(jià)值為32萬元的車輛的商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)預(yù)報(bào)值為元．
②由于該車已出險(xiǎn)一次，若再出險(xiǎn)一次，則保費(fèi)要增加，
即保費(fèi)增加元．
因?yàn)?，若出險(xiǎn)，2023年增加的保費(fèi)大于800元，
所以好心先生應(yīng)接受理賠專員的建議．
19. 已知拋物線，過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，.

（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；
（2）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn).連接，過點(diǎn)作的垂線與準(zhǔn)線交于點(diǎn).求證：三點(diǎn)共線.
【答案】（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)，得出，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，求出則，，通過直線相交分別求出和，從而求出和，通過化簡(jiǎn)求出，即可證出三點(diǎn)共線.
【詳解】解：（1），則，
故拋物線的方程為：，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：
（2）設(shè)直線，聯(lián)立，
得，則，
設(shè)，，則，.
法1：直線，
由得，故點(diǎn)，
直線的斜率，
則直線的斜率，
直線，則點(diǎn)
直線的斜率.
直線的斜率，由得，
則，
所以三點(diǎn)共線.
法2：直線，
由得，故點(diǎn)，
由，得.
直線的斜率，
直線，得點(diǎn)，
由，得.
直線的斜率.
直線的斜率，由得，
由，得，
則有.所以三點(diǎn)共線.
法3：（1）∵，∴，∴，∴，，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線方程為：.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立得：，
，
設(shè)，，
∴直線，
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，∴，
∴直線，
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，，
∴


，
∴，
∴共線.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程組，韋達(dá)定理，利用直線斜率的關(guān)系證明三點(diǎn)共線，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.
20. 已知雙曲線與點(diǎn).
（1）求過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為；
（2）在（1）的前提下，如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，證明：、、、四點(diǎn)共圓.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)差法求解；
（2）利用點(diǎn)差法和弦長公式求出相關(guān)線段的長度，再利用距離公式證明線段相等，可求證得四點(diǎn)共圓.
【小問1詳解】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，
設(shè)存在過點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為，
設(shè)，，，，
兩式相減得，即，得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，存在這樣的弦，方程為；
【小問2詳解】
設(shè)直線方程為，則點(diǎn)在直線上，
則，所以直線的方程為，
設(shè)，，的中點(diǎn)為，，，
兩式相減得，則，則，
又因?yàn)樵谥本€上有，解得，
，解得，，
整理得，則，則，
由距離公式得，
所以、、、四點(diǎn)共圓.
21. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)恰好圍成面積為的等邊三角形.

（1）求的方程；
（2）如圖，設(shè)的左，右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，是上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明.
【答案】（1）；（2）相切，證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）待定系數(shù)法求的方程；
（2）設(shè)出直線AP，求出D的坐標(biāo)，表示出以為直徑的圓E的方程，由“設(shè)而不求法”表示出到直線的距離,判斷出圓與直線相切.
【詳解】解：（1）設(shè)橢圓半焦距為，依題意有，
∴，，，
故的方程為.
（2）以為直徑的圓與直線相切，
證明如下：易知，，.
由題意可設(shè)直線的方程為.
則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由得.
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.
所以，.
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線軸，
此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.
②當(dāng)時(shí)，則直線的斜率，
所以直線方程為.
點(diǎn)到直線的距離
.
又因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相切.
綜上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切.
【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.
22. 已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為C上一點(diǎn)，過點(diǎn)且與y軸不垂直的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）由題意可得，解方程組即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)l的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，然后根據(jù)題意可得，，，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)C的半焦距為，由題意得，解得，
所以C的方程為．
【小問2詳解】
假設(shè)存在定點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，．
由（1）知，因?yàn)閘不垂直于y軸，故設(shè)l的方程為，
聯(lián)立，得，消去x并化簡(jiǎn)，得．
則，且，，
，，
所以

．
所以，
所以，，，
所以，，．
所以存在，使得為定值．
【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．

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