嘉祥教育集團2022－2023學年度高二下學期半期監(jiān)測試題理科數學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 命題“，”的否定為（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】含有一個量詞的命題的否定步驟為：改量詞，否結論.【詳解】改量詞：改為，否結論：否定為，所以，的否定形式為：，.故選：A.2. 已知復數，則的虛部為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據復數的除法運算化簡復數，進而求其共軛復數，即可求解.【詳解】，故，故的虛部為，故選：C3. 函數的單調遞增區(qū)間為（    ）A. () B. (1，+) C. (1，1) D. (0，1)【答案】D【解析】【分析】利用導數與函數單調性的關系即得.【詳解】∵函數，，∴，由，，解得，即函數的單調遞增區(qū)間為.故選：D.4. 用數學歸納法證明“≥( N*）”時，由到 時，不等試左邊應添加的項是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據數學歸納法的證明過程求解.【詳解】數學歸納法的證明過程如下：當 時 ，左邊 ，原不等式成立；設當 時，原不等式成立，即  …①成立，則當 時，左邊 ，即要證明左邊 也成立，即證  ，由①知即證 ；故選：D.5. 已知，分別是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據平面的交線都與兩個平面的法向量垂直求解.【詳解】因為四個選項中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B6. 設，“”是“復數為純虛數”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：當時，為純虛數，故充分；當復數為純虛數時，，解得或，故不必要，故選：A7. 下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（　?。?/span>①（）是三角函數：②三角函數是周期函數；③（）是周期函數A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①【答案】B【解析】【分析】按照三段論的形式：大前提，小前提，結論的形式排序即可.【詳解】解：三段論：大前提，小前提，結論，所以排序為：②三角函數是周期函數；①（）是三角函數；③（）是周期函數.故選：B.8. 函數的導函數是，下圖所示的是函數的圖像，下列說法正確的是（    ）A. 是的零點B. 是的極大值點C. 在區(qū)間上單調遞增D. 在區(qū)間上不存在極小值【答案】B【解析】【分析】由函數圖像判斷的符號，進而判斷的單調性和極值情況，即可得答案.【詳解】當時，，而，故；當時，，而，故；當時，，而，故；所以上遞減；上遞增，則、分別是的極小值點、極大值點.故A、C、D錯誤，B正確.故選：B9. 若函數的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數中具有性質的是A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】若函數y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數y＝f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，進而可得答案．【詳解】解：函數y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數y＝f（x）的導函數上存在兩點，使這點的導函數值乘積為﹣1，當y＝sinx時，y′＝cosx，滿足條件；當y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；當y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；當y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選A．考點：導數及其性質. 10. 設雙曲線（）的半焦距為c，直線l過兩點，且原點到直線l的距離為，則雙曲線的離心率（    ）A. 2 B.  C. 2和 D. 2和【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用直角三角形面積公式列式，結合雙曲線離心率定義求解作答.【詳解】令，依題意，在中，，且，如圖，顯然，由，得，整理得，而，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A11. 作為平面直角坐標系的發(fā)明者，法國數學家笛卡爾也研究了不少優(yōu)美的曲線，如笛卡爾葉形線，其在平面直角坐標系xOy下的一般方程為x3 + y3－3axy = 0.某同學對a = 1情形下的笛卡爾葉形線的性質進行了探究，得到了下列結論，其中錯誤的是（    ）A. 曲線不經過第三象限 B. 曲線關于直線y = x對稱C. 曲線與直線x + y =－1有公共點 D. 曲線與直線x + y =－1沒有公共點【答案】C【解析】【分析】對于A：當時，判斷是否可能成立即可；對于B：將點代入方程，判斷與原方程是否相同即可；對于C、D：聯(lián)立直線和曲線方程，判斷方程組是否有解即可.【詳解】當，則方程為對于A：若，則，所以，即曲線不經過第三象限，故A正確；對于B：將點代入方程得，所以曲線關于直線y = x對稱，故B正確；對于C、D：聯(lián)立方程，由可得，將代入方程可得，所以方程組無解，即曲線與直線x + y =－1沒有公共點，故C錯誤，D正確；故選：C.12. 芯片制作的原料是晶圓， 晶圓是硅元素加以純化， 晶圓越薄， 生產的成本越低， 但對工藝要求就越高． 某大學為鼓勵更多的有志青年投入到芯片事業(yè)中， 成立個科研小組， 用、、三種不同的工藝制作芯片原料， 其厚度分別為，，（單位：毫米）， 則三種芯片原料厚度的大小關系為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構造函數，利用函數在上的單調性可得出、的關系，利用余弦函數的單調性可得出與的大小關系，構造函數，利用導數分析函數在上的單調性，可得出與的大小關系，綜合可得出、、的大小關系.【詳解】令，其中，則，令，其中，則，所以，函數在上為減函數，則當時，，即，所以，函數在上為減函數，因為，則，所以，，即，即，因為在上單調遞減，且，所以，，令，其中，則，所以，函數在上為增函數，則，即，所以，，則，綜上所述 ， 故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）13. 若方程的圖形是雙曲線，則實數m的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據雙曲線方程的特點求解.【詳解】由于 是雙曲線方程， ；故答案為：14. 在平面上，點到直線的距離公式為，通過類比的方法，可求得：在空間中，點到平面的距離為______.【答案】【解析】【分析】通過類比推理可知,空間中點到平面的距離為,進而代入求解即可.【詳解】通過類比推理可知,空間中點到平面的距離為,所以點到平面的距離為,故答案為:【點睛】本題考查類比推理,考查運算能力.15. 如圖，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面內一點，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值【答案】①④【解析】【分析】過點作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點在線段上.選項①中線段的最大值可直接得到為；選項②通過建系求向量數量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項③通過構造平面來確定位置關系；選項④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長至，使得，則有取的中點，連接，則有，連接并延長交于點，則點為的中點.因為，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面內，且相交于點，所以平面平面.故點在線段上.由圖知，，故選項①正確；以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，.，，.因為，所以與不垂直，而點在線段上，所以條件不一定成立，故選項②錯誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項③錯誤；因為點，分別為，的中點，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點到平面的距離都相等.又點在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項④正確.故答案為：①④.【點睛】立體幾何問題中與動點相關問題，可以從一下幾點考慮：(1) 先作輔助線，找出動點所在的線段或軌跡.(2) 判斷與動點相關的條件是否成立常需結合動點所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關系求解，或線線、線面、面面位置關系的判定或性質求解，或建立空間直角坐標系利用向量法求解.16. 已知，，若不等式對恒成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】易得，分和兩種情況討論，當時，由恒成立，得，利用導數求出函數的最小值，分析即可得出答案.【詳解】解：顯然，若，當時，有，而，矛盾，∴，令，則恒成立，即，，因為與在都是增函數，所以函數在是增函數，又，當時，，所以存在使得，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，且，，∴，，∴，當且僅當，即時取等號，所以的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導數解決不等式恒成立的問題，考查了利用導數求函數的最值問題，考查了分類討論思想及隱零點問題，有一定的難度.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，共70分）17. 設F為拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若線段AB的中點D的橫坐標為1，.求點D到拋物線C的準線的距離和拋物線C的方程.【答案】【解析】【分析】根據拋物線的定義結合幾何性質可得點D到拋物線C的準線的距離.解法一：根據拋物線的定義分析求解p = 1；解法二：利用弦長公式結合韋達定理分析運算.【詳解】由題意可得拋物線C的焦點，準線，過A、B分別向拋物線C的準線作垂線，垂足為E、H，則根據拋物線的定義，有AF = AE，BF = BH，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3.因此在直角梯形ABHE中，點D到拋物線C的準線的距離. 解法一：設，根據拋物線的定義有，，∴ ，而 x1 + x2 = 2，∴ p = 1，故拋物線C方程y2 = 2x. 解法二：顯然直線l的斜率k存在且不為0，設方程為，，聯(lián)立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此拋物線C的方程為y2 = 2x.18 已知函數.（1）當，求證；（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）將代入函數解析式，之后對函數求導，得到其單調性，從而求得其最小值為，從而證得結果.（2）通過時，時，利用函數的單調性結合函數的零點，列出不等式即可求解的取值范圍，也可以構造新函數，結合函數圖象的走向得到結果.【詳解】（1）證明：當時，，得，知在遞減，在遞增，，綜上知，當時，.（2）法1：，，即，令，則，知在遞增，在遞減，注意到，當時，；當時，，且，由函數有個零點，即直線與函數圖像有兩個交點，得 法2：由得，，當時，，知在上遞減，不滿足題意；當時，，知在遞減，在遞增. ，的零點個數為，即，綜上，若函數有兩個零點，則.【點睛】該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性，應用導數研究函數的最值，以及研究其零點個數的問題，屬于中檔題目.19. 已知函數 .（1）當時，求在點 處的切線方程；（2） 時，求證：.【答案】（1）y = 2x－2 ln 2    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）將 代入 的解析式，求出 和 ，再運用點斜式直線方程求解；（2）運用導數求出 的最小值，只要證明最小值 即可.【小問1詳解】當a = 1時，，x＞0，則 ， ，而 ，所以在點 處的切線方程為 ，即 ；【小問2詳解】對求導得 ，x＞0，當a＞0 時，令得 ，當時， f（x）單調遞減；當時，f（x）單調遞增，所以 ，只需證明 ≥  ，即 ≥0  恒成立；設，，則 ，，當時，， 單調遞減；當時，，單調遞增；所以 是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故 .20. 已知四棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）若，線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析    （2）存在，【解析】【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）以A為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示坐標系，設線段上存在一點，即滿足條件，利用向量法對二面角的余弦值列式求解即可判斷.【小問1詳解】由已知可知，，所以因為，所以，所以，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為，所以，所以，故兩兩垂直，所以以A為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示坐標系，則：，設線段上存在一點，即，使二面角的余弦值為，因為，則，所以，所以，因為平面，所以平面的法向量為方向的單位向量，設平面的法向量，則，令，得，因為二面角的平面角為銳角，所以，解得舍去故線段上存在一點使二面角的余弦值為，此時.21. 設函數，，其中、.（1）求的單調區(qū)間；（2）若存在極值點，且，其中，求的值.【答案】（1）答案見解析    （2）【解析】【分析】（1）求出，對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由極值點的定義可得出，再由以及結合作差法可求得的值.【小問1詳解】解：因為函數，，其中、，則，則.①當時，對任意的，且不恒為零，此時，函數的遞增區(qū)間為；②當時，，由可得，由可得或，此時函數的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數的遞增區(qū)間為；當時，函數的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.小問2詳解】解：因為函數存在極值點，由（1）可知，且，由題意可得，可得，由且，可得，即，即，所以，.22. 如圖，A、F是橢圓C：（）的左頂點和右焦點，P是C上在第一象限內的點.（1）若，軸，求橢圓C的方程；（2）若橢圓C的離心率為，，求直線PA的傾斜角? 的正弦.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）首先得，將點代入橢圓方程，結合關系即可得到答案；（2）設點P的坐標為，寫出相關向量，利用其數量積為0得到，結合點在橢圓上以及橢圓第二定義即可求出直線傾斜角的正弦值.【小問1詳解】由已知可得，所以.又點在橢圓C：上，所以.聯(lián)立，解得，，因此橢圓C的方程為.【小問2詳解】解法一：由題意知，，，.設點P的坐標為，，則，，∵，∴，則△PAF是直角三角形，于是，∴.①∵P是橢圓C上在第一象限內的點，∵，即.②將①代入②得，即，∴，由于，∴只有，得.∵，，∴.③根據橢圓的定義，有，而，∴中，有.④將③代入④得.解法二：由題意知，，，，則直線PA的方程為，.（*）將直線PA的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y后，得.（**）因為點和的坐標滿足方程（*）和（**），所以，有，即，.若，則，表明△PAF是直角三角形，從而有，∴，∴.將、代入上式，得++.去分母，整理，得，將代入，得 ? ? ，于是 .解法三：過P作軸于Q，設，則有.∵ ，∴，得，.由，得，∴ a + x0 =（a + c）cos2?  ? x0 =（a + c）cos2 ?－a.根據橢圓的定義有，，而 ， ∴，即，∴ 由 ，得代入上式，整理得，顯然，所以，得.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是采用設點法或是設線法，方法一和方法三采用的設點法，均利用了橢圓的第二定義，而方法二采用的設線法，通過設直線的方程，將其與橢圓聯(lián)立，解出坐標，再利用向量點乘為0，即垂直關系解出.

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