?太原市2023年高三年級(jí)模擬考試（一）
數(shù)學(xué)試卷
（考試時(shí)間：下午3：00—5：00）
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?第I卷1至4頁(yè)，第II卷5至8頁(yè).
2.回答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考試編號(hào)填寫在答題卡上.
3.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?寫在本試卷上無(wú)效.
4.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上，寫在本試卷上無(wú)效.
5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，，再求并集即可.
【詳解】，，
所以.
故選：A
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由題可得，設(shè)，后利用兩復(fù)數(shù)相等條件可得答案.
【詳解】.
設(shè)，則或.故或.
故選：C
3. 已知等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為，則（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，解方程組得到，，再求即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 由題知：，
所以，解得，所以，即，
所以.
故選：D
4. 的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A. 9 B. 10 C. 24 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)求解即可.
【詳解】的通項(xiàng)，
令，，令，，令，，
展開(kāi)式中的系數(shù)為.
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為10.
故選：B
5. 在中，，，為垂足，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出圖形，設(shè)，求出的正弦值和余弦值，分析可知，再利用兩角和的余弦公式可求得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：

不妨設(shè)，在中，，，則為等腰直角三角形，
所以，且，
又因?yàn)?，則，
在中，，則，
所以，，，
因此，
.
故選：A.
6. 算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字，若在個(gè)、十、百、千位檔中，先隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于的概率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到總的可能的情況，再分上珠撥的是千位檔或百位檔和上珠撥的是個(gè)位檔或十位檔進(jìn)行分類，得到符合要求的情況，從而得到符合要求的概率.
【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能．
要使所撥數(shù)字大于，則：
若上珠撥的是千位檔或百位檔，則所撥數(shù)字一定大于，有種；
若上珠撥的是個(gè)位檔或十位檔，則下珠一定要撥千位，再?gòu)膫€(gè)、十、百里選一個(gè)下珠，
有種，
則所撥數(shù)字大于的概率為，
故選：C．
7. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義可得方程和共有5個(gè)解；結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖象，觀察圖象求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，
所以方程有個(gè)根，
所以有個(gè)根，
所以方程和共有5個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
因?yàn)椋裕?br /> ，當(dāng)且時(shí)，，
時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
故函數(shù)在上的圖象為對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為的拋物線的一段，
根據(jù)以上信息，作函數(shù)的圖象如下：

觀察圖象可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
所以方程有兩個(gè)根，
所以方程有3個(gè)異于方程的根，
觀察圖象可得，
所以的取值范圍為..
故選：D.
8. 已知分別為定義在上的函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)，且，，若是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件可得，由此證明關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合圖象變換判斷A，再證明函數(shù)為偶函數(shù)由此判斷B，由條件證明為偶函數(shù)，由此證明為周期函數(shù)，結(jié)合周期性求，舉反例判斷C.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，
所以，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以關(guān)于對(duì)稱，
又，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，
所以，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
所以，即
又，
所以，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4，
所以，
又，所以，
所以，故，D正確；
設(shè)，則，，
滿足所給條件，但，所以C錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于充分利用函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合條件判斷相關(guān)函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的值域?yàn)?br /> C. 的圖象是軸對(duì)稱圖形
D. 的圖象是中心對(duì)稱圖形
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)為的周期，故A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，時(shí)，，再結(jié)合周期即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)為偶函數(shù)，即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)的值域?yàn)?，即可判斷D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，
所以為的周期，故A錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)B， 當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，?
因?yàn)闉橹芷冢缘闹涤驗(yàn)?，故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
，
所以為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，即的圖象是軸對(duì)稱圖形，故C正確.
對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的圖象不是中心對(duì)稱圖形，
故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為
B. 若是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)共有兩個(gè)
C.
D. 內(nèi)切圓的半徑為
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出雙曲線的漸近線方程判斷A；按點(diǎn)P在左支、右支確定的點(diǎn)P個(gè)數(shù)判斷B；利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理計(jì)算判斷C；利用雙曲線定義結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑公式計(jì)算判斷D作答.
【詳解】雙曲線中，實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，焦點(diǎn)，
對(duì)于A，雙曲線的漸近線方程為，A正確；
對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，則，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值，即符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由雙曲線定義知，而，且，
則，即有，
因此，C正確；
對(duì)于D，由雙曲線定義知，因?yàn)椋詢?nèi)切圓的半徑：
，D正確.
故選：ACD
11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面的中心，為棱的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 若平面，則
C. 若，則線段的最大值為
D. 當(dāng)與的所成角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分
【答案】AC
【解析】
【分析】證明，由此證明的面積為定值，再證明平面，結(jié)合錐體體積公式判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系由條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求，判斷B；利用空間向量可判斷CD.
【詳解】因?yàn)闉閭?cè)面的中心，所以為的中點(diǎn)，
又為棱的中點(diǎn)，
所以，
所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離的一半，
設(shè)，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積，
又，，
，平面，
所以平面，
所以三棱錐的體積，A正確；

如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，
所以向量為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)，，
所以，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 所以，所以，
所以，B錯(cuò)誤；

設(shè)，則，
又，
因?yàn)椋裕?br /> 所以，
所以，
又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，線段取最大值，最大值為；C正確；
因?yàn)?，?br /> 又與的所成角為，
所以，
化簡(jiǎn)可得，且，
所以點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，D錯(cuò)誤；
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解集的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法研究空間中的線面位置關(guān)系.
12. 已知函數(shù)，若直線與曲線和分別相交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)，的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，并畫出對(duì)應(yīng)的圖像，能得到四個(gè)交點(diǎn)的位置，結(jié)合可得出四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可判斷.
【詳解】由可得，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸性增長(zhǎng)，
從而， 當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)的大致圖象如下，

由可得，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)以上信息，畫出函數(shù)的大致圖象如下，

所以若存在直線，其與兩條曲線和共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，
由圖可得，是直線與的兩個(gè)交點(diǎn)，，是直線與的兩個(gè)交點(diǎn)，
則，
因?yàn)椋?，所以?br /> 則，
所以，
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，，
所以，，
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)中，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，根據(jù)所得函數(shù)性質(zhì)判斷與曲線、共有四個(gè)不同交點(diǎn)，并結(jié)合進(jìn)而判斷根的關(guān)系
第II卷（非選擇題共90分）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則與的夾角為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 所以，即.
所以，
因?yàn)椋耘c的夾角為.
故答案為：
14. 已知，，，則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】由可得，則，由可得，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：.
15. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若，則直線的斜率為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合條件關(guān)系列方程求即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若直線的斜率為，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，
所以可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消可得，，
方程的判別式，
設(shè)，
則，
，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
，所以，
所以，又，，
所以，
所以直線的斜率為，
故答案為：.
16. 已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，畫出圖象后可知，從而可解.
【詳解】因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，
所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 所以函數(shù)與函數(shù)的圖象的唯一交點(diǎn)為，
又因?yàn)?，且，?br /> 所以在上恒成立,
所以在上為單調(diào)遞減函數(shù),
因?yàn)榍蟮淖畲笾?，所以不妨令?br /> 因?yàn)槭亲钚≌芷跒?，最大值為的正弦型函數(shù)，
可得和的圖象大致如圖，

要使和只有唯一交點(diǎn),則，
即，解得，
所以的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
畫出和的圖象后，要使和只有唯一交點(diǎn),則，從而可求解.
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知等差數(shù)列中，，為的前項(xiàng)和，且也是等差數(shù)列.
（1）求；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的公差為，由已知可得出，可得出關(guān)于的方程，解出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出，求得，利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得.
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)的公差為，
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，即，
整理可得，可得，解得，
所以，.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）得，
則，

.
18. 在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在上，.
（1）從下面條件①、②中選擇一個(gè)條件作為已知，求；
（2）在（1）的條件下，求面積的最大值.
條件①：；
條件②：.
注：若條件①和條件②分別解答，則按第一個(gè)解?計(jì)分.
【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：利用正弦定理化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選②：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理以及余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）由已知得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性值結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
解：選擇條件①：，
由題意可得，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
因，則，，故；
選擇條件②：，
由題意可得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理得，
.
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）得，則，
即，，

，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.
19. 如圖，四棱錐中，，且，直線與平面的所成角為分別是和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明平面平面，可得平面；
（2）點(diǎn)A為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，直線與平面的所成角為，可得P坐標(biāo)，后利用向量法可得平面與平面夾角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
是的中點(diǎn)，，
平面平面，
平面，
同理可得平面，
平面平面，
平面平面，平面，平面；
【小問(wèn)2詳解】
以點(diǎn)A為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題意可得，
.
設(shè)，因，直線與平面的所成角為則.
又因則點(diǎn)的橫坐標(biāo).
又，則，結(jié)合題圖可知，
則，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
令，則.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則
令，則.
又因兩平面夾角范圍為，設(shè)平面與平面夾角為，
，
平面與平面夾角余弦值為.

20. 某制藥公司研發(fā)一種新藥?需要研究某種藥物成份的含量x（單位：）與藥效指標(biāo)值y（單位：）之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門進(jìn)行了20次試驗(yàn)?統(tǒng)計(jì)得到一組數(shù)據(jù)，其中分別表示第次試驗(yàn)中這種藥物成份的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值.且.
（1）已知該組數(shù)據(jù)中y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)藥效指標(biāo)值y在內(nèi)時(shí)，藥品對(duì)人體是安全的，求該新藥中此藥物成份含量x的取值范圍；
（3）該公司要用A與B兩套設(shè)備同時(shí)生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備A的生產(chǎn)效率是設(shè)備B的2倍，設(shè)備A生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備B生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備A與B生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨(dú)立
（i）從該公司生產(chǎn)的新藥中隨機(jī)抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；
（ii）在該新藥產(chǎn)品檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備A生產(chǎn)的概率，
參考公式：
【答案】（1）；
（2）；
（3）（i），（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用給定的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式計(jì)算作答.
（2）利用（1）中經(jīng)驗(yàn)回歸方程，求出x的取值范圍作答.
（3）（i）利用全概率公式求出不合格品的概率；（ii）利用條件概率公式求出不合格的新藥是設(shè)備生產(chǎn)的概率，再利用二項(xiàng)分布的概率求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，則，
于是，，
所以關(guān)于的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，當(dāng)時(shí)，，解得，
所以該新藥中此藥物成份含量的取值范圍為.
【小問(wèn)3詳解】
（i）設(shè)“隨機(jī)抽取一件新藥，是設(shè)備生產(chǎn)的”，則“隨機(jī)抽取一件新藥，是設(shè)備生產(chǎn)的”，“隨機(jī)抽取一件新藥為不合格品”，
依題意，，
所以；
（ii）設(shè)“抽到一件不合格的新藥，它是設(shè)備生產(chǎn)的”，
則，
設(shè)表示三件不合格新藥來(lái)自設(shè)備生產(chǎn)的件數(shù)，則，
所求事件的概率為.
21. 已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，其離心率，直線與圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與、相交于點(diǎn)和，證明：是中點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求出直線的方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出，由橢圓的離心率可得出，可求得、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，求出直線的方程，可得出，設(shè)直線的，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意可得直線的方程為，即，
直線與圓相切，，，
，則，，則，
由可得，
橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
證明：由題意可設(shè)，
由（1）得，則直線的方程為，
直線的方程為，
若直線軸，此時(shí)直線與橢圓相切，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，
由得，
，可得，
，

，





，
是中點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知函數(shù).
（1）若恰有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，證明：
①；
②.
【答案】（1）；
（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后令，然后根據(jù)，分別討論，即可得到結(jié)果；
（2）①由題意可得，根據(jù)證即可；
②由題可知，只需證，且，然后構(gòu)造函數(shù)令，即可得證；
【小問(wèn)1詳解】
由題意得令
，
①當(dāng)時(shí)，
在上遞增，
當(dāng)時(shí)，在上遞減，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，
只有一個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，即，
則和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，且，
所以時(shí)，，時(shí)，，
在和上遞增，在上遞減，且，
，
在上存在唯一零點(diǎn)，
，
在上存在唯一零點(diǎn)，
在和上遞減，在和上遞增，記，
是的三個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，
①要證，只需證，
，
.
②要證，只需證，
，
只需證，
令，
則，
令，則，
，
，
即.
【點(diǎn)睛】函數(shù)由極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)極值或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.




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