?2023年高三年級模擬考試（二）
數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出集合，再由交集的定義計算即可．
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：B．
2. 已知 ， 則下列結(jié)論正確是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)不等式性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)定義域，利用特殊值即可判斷結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知，不妨取
則，此時不滿足，即A錯誤；
易得，此時，所以B錯誤；
對于D，無意義，所以D錯誤，
由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，當(dāng)時，，即C正確.
故選：C
3. 已知 ，，與的夾角為，則（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律、結(jié)合數(shù)量積的定義求解作答.
【詳解】因為，，與的夾角為，則，
所以.
故選：A
4. 2025年某省將實行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示語文、數(shù)學(xué)和英語這三門必考科目，“1”表示必須從物理和歷史中選考一門科目，“2”表示要從化學(xué)、生物、政治和地理中選考兩門科目.為幫助甲、乙兩名高一學(xué)生應(yīng)對新高考，合理選擇選考科目，將其高一年級的成績綜合指標(biāo)值（指標(biāo)值滿分為5分，分值越高成績越優(yōu)）整理得到如下的雷達(dá)圖，則下列選擇最合理的是（ ）

A. 選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、歷史
B. 選考科目甲應(yīng)選化學(xué)、歷史、地理
C. 選考科目乙應(yīng)選物理、政治、歷史
D. 選考科目乙應(yīng)選政治、歷史、地理
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雷達(dá)圖得到兩位同學(xué)綜合指標(biāo)值順序，然后根據(jù)選科要求從高到低選擇即可.
【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖，甲同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序為：物理、歷史（化學(xué)）、地理、生物、政治，
乙同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序為：歷史、物理（政治）、地理、生物、化學(xué)，
根據(jù)新高考選科模式規(guī)則，選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、地理；選考科目乙應(yīng)選歷史、政治、地理
故選：D
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)正負(fù)，可得，從而求出的值.
【詳解】因為，所以，即，所以.
因為，所以，所以.
因為，
所以.
故選：B.
6. 已知等比數(shù)列的前項和，滿足，則（ ）
A. 16 B. 32 C. 81 D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得.
【詳解】等比數(shù)列的前項和為，且，
∴，
∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．
在中，
令，可得，∴，則．
故選：A．
7. 已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意易知當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，最小，利用點到直線的距離公式計算即可.
【詳解】圓，圓心，半徑，
設(shè)圓心到直線：的距離為，則，
易得，則，
故當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，
因為，所以，
故最小值是．
故選：D.
8. 已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性結(jié)合對數(shù)運算，即可得出答案.
【詳解】由題意可知，
于是構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
又，故，
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答數(shù)的比較大小問題，關(guān)鍵是將數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)一致的形式，從而確定變量，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.
9. 已知在處取得極大值3，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)原函數(shù)極值點即為導(dǎo)函數(shù)零點可得，即可知，再根據(jù)極大值為3可解得或；易知當(dāng)時，在處取得極小值，與題意不符，當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，可得，，即，即可判斷出結(jié)論.
【詳解】由題意可得，
且是函數(shù)的極大值點，即，可得，
又極大值為3，所以，解得或；
當(dāng)時，，此時，
時，，時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
此時函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去；
當(dāng)時，，此時，
時，，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意，
所以，，即，所以A正確，B錯誤；
此時，所以，，即C錯誤，D正確.
故選：AD
10. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，拋物線的焦點與雙曲線的焦點重合，點是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為 B.
C. 的面積為 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先根據(jù)拋物線方程得出的坐標(biāo)，即的值，進(jìn)而求出，得出雙曲線的方程.即可得出A項；聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，求出點坐標(biāo)，即可求得的值，判斷B項、得出的面積，判斷C項、求得的值，根據(jù)余弦定理，得出的值，判斷D項.
【詳解】
由已知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點，即.
又，所以，
所以，雙曲線的方程為.
對于A項，雙曲線的的漸近線方程為，故A項正確；
對于B項，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，
整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），
所以，代入可得，.
設(shè)，又，所以，故B項正確；
對于C項，易知，故C項錯誤；
對于D項，因為，
所以，由余弦定理可得，，故D項錯誤.
故選：AB.
11. 已知在上有且僅有2個極值點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 若關(guān)于直線對稱，則的最小正周期
C. 若關(guān)于點對稱，則在上單調(diào)遞增
D. ，使得在上的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】先根據(jù)在上有且僅有2個極值點確定范圍判斷A選項；根據(jù)范圍結(jié)合對稱軸可以判斷B選項；據(jù)范圍結(jié)合對稱中心可以判斷C選項；據(jù)范圍結(jié)合給定范圍求最值可以判斷D選項.
【詳解】因為在上有且僅有2個極值點，所以
所以，所以，故A選項錯誤；
關(guān)于直線對稱，，又因為，所以，
所以的最小正周期，故B正確；
關(guān)于點對稱，，，又因為，
所以，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，故C選項正確；
，又因為，所以，
所以在上的最小值小于，故D選項錯誤.
故選:BC.
12. 已知三棱錐的所有棱長均為，平面ABC，O為垂足，是PO的中點，AD的延長線交平面PBC于點，的延長線交平面PAB于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. //
B. 若是棱PB上的動點，則的最小值為
C. 三棱錐外接球的表面積為
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，設(shè)分別為中點，先證明是等腰三角形底邊上的高線上一點，且滿足，同理可以說明是等腰三角形底邊上的高線上一點同樣位置，然后可得到//，再由中位線可得//，進(jìn)而得到證明；
B選項，將三棱錐保留展開成平面圖形后處理；
C選項，根據(jù)正棱錐的對稱性，球心必定落在射線上，列出勾股定理方程計算；
D選項，利用同高不同底的棱錐，體積之比是底面積之比，結(jié)合A選項，考察之間的關(guān)系.
【詳解】A選項，由題知，該三棱錐是正四面體，取中點，連接，顯然會經(jīng)過，于是，過作//，交于.
由于是在的投影，由正棱錐性質(zhì)，為等邊的重心，于是，由//可知，和相似，于是，
由是PO的中點，易得和全等，則，于是，同理可說明，于是和相似，
于是//，又為中邊對應(yīng)的中位線，故//，于是//，A選項正確；

B選項，將三棱錐保留邊展開，成如圖所示的平面圖形，該圖形由兩個等邊三角形拼成的菱形，顯然的最小值在共線取得，
即的最小值為，B選項錯誤；

C選項，先算一些數(shù)據(jù)，借助A選項的圖，的外接圓半徑，故，，于是.
根據(jù)對稱性，三棱錐外接球的球心在射線上，不妨設(shè)球心為，外接球半徑為，則，，
又，則，解得（由于，實際上球心在三棱錐外），故外接球表面積為：，C選項正確；

D選項，三棱錐和等高，由，于是，根據(jù)A選項，，，即，
于是，注意到三棱錐和等高，故，
于是，D選項正確.

故選：ACD
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
三、填空題：本題共4小題， 每小題5分，共20分
13. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求解.
【詳解】∵，則.
故答案為：.
14. 已知，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用賦值法令，得，令，得，即可得到答案.
【詳解】依題意，
令，得，
令，得.
因為 可以得出,
，
故.
故答案為：.
15. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，點是直線與軸的交點，的內(nèi)切圓與相切于點，若，則橢圓的離心率__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，結(jié)合橢圓定義建立的關(guān)系求得.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，，，
由對稱性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：
16. 已知，，且滿足，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】原式等價于.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.
【詳解】因為，
構(gòu)造，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得極大值，也是最大值，
所以.
由題意可知，，所以，.
因為，所以，，
所以.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：同構(gòu)變形后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.
（1）求和的通項公式；
（2）從下面條件①、②中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列的前項和.
條件①：；條件②：.
注：若條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1），；
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用等差等比的通項公式計算求解即可；
（2）錯位相減法求和可得.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為，的公差為，
由題意可得解得或（舍去），，
，；
【小問2詳解】
由（1）得，
選擇條件①：，則.
，①
，②
①-②得，


.
選擇條件②：，則.
，①
，②
① -②得，



18. 在銳角中，分別為內(nèi)角的對邊，，角的平分線交于，.
（1）求；
（2）求外接圓面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）對于題干條件，結(jié)合余弦定理，正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化后求解；
（2）結(jié)合角平分線長度，面積的等量關(guān)系，得出滿足的條件，進(jìn)而由余弦定理得到的范圍，然后由正弦定理得出外接圓半徑的最小值.
【小問1詳解】
，，
由余弦定理可得，，
化簡得，，由正弦定理可得，，.
【小問2詳解】

由（1）得 ，.
，，
，整理得.
由基本不等式，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
，，
外接圓的直徑，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，外接圓的面積取最小值.
19. 為響應(yīng)國家使用新能源的號召，促進(jìn)“碳達(dá)峰碳中和”的目標(biāo)實現(xiàn)，某汽車生產(chǎn)企業(yè)在積極上市四款新能源汽車后，對它們進(jìn)行了市場調(diào)研.該企業(yè)研發(fā)部門從購買這四款車的車主中隨機(jī)抽取了50人，讓車主對所購汽車的性能進(jìn)行評分，每款車的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，各評分及相應(yīng)人數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表.
性能評分
汽車款式
1
2
3
4
5
基礎(chǔ)班
基礎(chǔ)版1
2
2
3
1
0
基礎(chǔ)版2
4
4
5
3
1
豪華版
豪華版1
1
3
5
4
1
豪華版2
0
0
3
5
3

（1）求所抽車主對這四款車性能評分的平均數(shù)和第90百分位數(shù)；
（2）當(dāng)評分不小于4時，認(rèn)為該款車性能優(yōu)秀，否則認(rèn)為性能一般.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為汽車的性能與款式有關(guān)？并解釋所得結(jié)論的實際含義.
汽車性能
汽車款式
合計
基礎(chǔ)班
豪華版
一般



優(yōu)秀



合計




（3）為提高這四款新車的性能，現(xiàn)從樣本評分不大于2的基礎(chǔ)版車主中，隨機(jī)抽取3人征求意見，記X為其中基礎(chǔ)版1車主的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：.

0.10
0.05
0.01
0005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】（1）平均數(shù)為3，第90百分位數(shù)為4.5；
（2）答案見解析 （3）分布列見解析，1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可；
（2）根據(jù)聯(lián)表計算對應(yīng)數(shù)據(jù)判斷可得汽車的性能與款式的相關(guān)性；
（3）根據(jù)超幾何分布計算概率和分布列及期望得解.
【小問1詳解】
由題意得這四款車性能評分的平均數(shù)為；
其第90百分位數(shù)為；
【小問2詳解】
由題意得
汽車性能
汽車款式
合計
基礎(chǔ)版
豪華版
一般
20
12
32
優(yōu)秀
5
13
18
合計
25
25
50
零假設(shè)為：汽車性能與款式無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為汽車性能與款式有關(guān)，
此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；
汽車性能一般中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，性能優(yōu)秀中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，
根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性能優(yōu)秀時豪華版的概率大.
【小問3詳解】
由題意可得X服從超幾何分布，且，，，
由題意知，X的所有可能取值為，
則，，，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P




.
20. 如圖，三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，D是AB的中點.

（1）證明：；
（2）若平面，E是上的動點，平面與平面夾角的余弦值為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明線面垂直，根據(jù)線面垂直得出線線垂直；
（2）先設(shè)比值得出向量關(guān)系，根據(jù)空間向量法求已知二面角的值即可求出比值.
【小問1詳解】
取BC的中點F，連接，，記，
是AB的中點，，，，
在矩形中，，，
，，
，，平面 ,平面
，平面，
平面，；
【小問2詳解】
因為平面，，平面，所以，，
由矩形得，以點為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，則，，，，
所以
設(shè)是平面的一個法向量，則，
令，則.
設(shè)是平面的一個法向量，則
，令，則，，.
，或（舍去），
.

21. 已知雙曲線經(jīng)過點，直線、分別是雙曲線的漸近線，過分別作和的平行線和，直線交軸于點，直線交軸于點，且（是坐標(biāo)原點）
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)、分別是雙曲線的左、右頂點，過右焦點的直線交雙曲線于、兩個不同點，直線與相交于點，證明：點在定直線上.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出點、的坐標(biāo)，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；
（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)、，直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線與的方程，將這兩條直線聯(lián)立，求出點的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：由題意得，，
不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
在直線的方程中，令可得，即點，同理可得，
，
由可得，因此，雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
證明：由（1）得、、，

若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點，不合乎題意，
設(shè)、，直線的方程為，
聯(lián)立可得，
所以，，解得，
，，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與的方程，可得，
所以，
，
因為，解得，
因此，點在定直線上.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知函數(shù)在點處的切線方程為，
（1）求的值域；
（2）若，且，，證明：①；②.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程.結(jié)合已知，即可求出的值.然后利用導(dǎo)函數(shù)得出的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合的取值，即可得出答案；
（2）求出，得出的單調(diào)性以及值域，根據(jù)以及的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象. 設(shè)，根據(jù)圖象，得出的范圍.構(gòu)造函數(shù)，，二次求導(dǎo)證明得到，即有 ，從而得出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出①的證明；先推出，即有.根據(jù)基本不等式，結(jié)合的范圍得出，即，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出②的證明.
【小問1詳解】
由題意得，
，.
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點處的切線的斜率
，
在點處的切線方程為，
整理可得，
由已知可得，，解得，
，，.
令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以.
又時，有，所以，
所以；
令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以；
綜上所述，的值域為.
【小問2詳解】
①由題意得，.
令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，的值域為；當(dāng)時，的值域為；
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，的值域為.
作出函數(shù)以及的圖象如下圖，

設(shè)，且，，
由圖象可知，，且，.
令，，
則.
令，，則.
令，則，
所以，即在上單調(diào)遞減，
，
在上單調(diào)遞減，
，
.
又，.
，
在上單調(diào)遞減，，
，.
又，.
在上單調(diào)遞增，，，
，；
②由①得，，，.
， ，
.
，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
，，即，即.
在上單調(diào)遞增，，
，.
【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)二次求導(dǎo)得出.然后即可根據(jù)題中已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出證明.



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