?臨汾市2023年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練考試（二）
數(shù)學(xué)
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)（ ）
A. B. 2048 C. D. -2048
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算即可.
【詳解】.
故選：C.
2. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域及其單調(diào)性可得，由絕對值不等式解法可得，再利用并集運(yùn)算即可得出結(jié)果。
【詳解】易知不等式的解集為，即可得；
由可得，即，所以；
所以.
故選：B
3. “平面與平面平行”是“平面內(nèi)的任何一條直線都與平面平行”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由面面平行得到線線平行，從而得到線面平行，證明充分性，再得到必要性，得到結(jié)論.
【詳解】如圖1，平面與平面平行，在平面內(nèi)的任取一條直線，
作平面，使得直線，，即且，
由面面平行的性質(zhì)可知，
因為，故，充分性成立，

如圖2，平面內(nèi)的任何一條直線都與平面平行，不妨取兩條相交直線均平行于，
則平面與平面平行，必要性成立，

故選：C
4. 已知點是角終邊上一點，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義得出，利用三角恒等變換代入化簡即可.
【詳解】
故選：A.
5. 現(xiàn)有甲?乙?丙三個工廠加工的同種產(chǎn)品各100件，按標(biāo)準(zhǔn)分為一?二兩個等級?其中甲?乙?丙三個工廠的一等品各有60件?70件?80件.從這300件產(chǎn)品中任選一件產(chǎn)品，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 選中的產(chǎn)品是甲廠的一等品與選中的產(chǎn)品是乙廠的二等品互斥
B. 選中的產(chǎn)品是一等品的概率為
C. 選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的二等品的概率為
D. 選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品與選中的產(chǎn)品是二等品相互獨立
【答案】D
【解析】
【分析】運(yùn)用互斥事件、獨立事件的定義可判斷A項、D項，運(yùn)用古典概型求概率可判斷B項、C項.
【詳解】對于A項， “選中的產(chǎn)品是甲廠的一等品”記為事件A，“選中的產(chǎn)品是乙廠的二等品”記為事件B，
則，
所以選中的產(chǎn)品是甲廠的一等品與選中的產(chǎn)品是乙廠的二等品互斥，故A項正確；
對于B項，選中產(chǎn)品是一等品的概率為，故B項正確；
對于C項，選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的二等品的概率為，故C項正確；
對于D項，“選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品”記為事件C，“選中的產(chǎn)品是二等品”記為事件D，
則，
由B項知，，
由C項知，，
所以，
所以選中的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品與選中的產(chǎn)品是二等品不互相獨立，故D項不成立.
故選：D.
6. 已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，.則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，，代入原式可得，列出等式，，，，再利用累加法計算即可.
【詳解】令，，因為，
，
得，即，
因為，，，，
，，，，
將上述個式子累加得，，
.
故選：D
【點睛】求解本題的關(guān)鍵是通過賦值法，令，，將原式轉(zhuǎn)化為，列出等式，利用累加法計算即可.
7. 已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其內(nèi)切球的半徑為，則該圓臺的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫出圓臺軸截面的平面圖，根據(jù)上下底面圓半徑的關(guān)系以及內(nèi)切球的半徑，可解得上底面半徑，下底面圓半徑為2，代入圓臺體積公式即可得其體積為.
【詳解】取圓臺的軸截面如下圖所示：

設(shè)上底面半徑，則下底面半徑，為軸截面的切點，
易知，，所以，圓臺高，
作，垂足為，則，，
在中，，即，解得；
所以圓臺上底面面積，下底面面積；
所以圓臺體積為.
故選：B
8. 已知傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點，與軸，軸分別交于兩點.若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，由題意可得，再由“點差法”可得，兩式聯(lián)立結(jié)合直線的傾斜角為，可求出，即可求出離心率.
【詳解】解：如圖，設(shè)．

∵分別是線段的兩個三等分點，∴ ，，則，
得，，
利用點差法，由兩式相減得
，整理得到：，
即，即因為直線的傾斜角為，所以，
得，則，
故選：A.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 如圖，矩形中，，若，點分別為邊的中點，則下列說法正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用平面向量加法、數(shù)量積、向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，
∴以A為原點，分別以AB、AD為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，，
∴，，，，，
對于A項，設(shè)，則，
∴，，
∴，故A項正確；
對于B項，因為，所以與不垂直，故B項不成立；
對于C項，，故C項正確；
對于D項，，故D項不成立.
故選：AC.
10. 在平面直角坐標(biāo)系y中，圓的方程為，若直線上存在一點，使過點所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由條件可知，，及兩切點構(gòu)成正方形，利用圓心到直線的距離小于等于,列式求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，得，
則圓心，半徑，
因為過點所作的圓的兩條切線相互垂直，
所以，及兩切點構(gòu)成正方形，且對角線，
在直線上，
則圓心到直線的距離，解得或
根據(jù)選項，滿足條件的為ACD.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
B. 的最小正周期為
C. 的值域為
D. 的圖象可以由函數(shù)的圖象，先向左平移個單位，再向上平移個單位得到
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A：整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于B、D：整理可得，進(jìn)而可求周期判斷選項B，根據(jù)圖形變換分析運(yùn)算，可判斷選項D；對于C：，換元，可得，
構(gòu)建，，利用導(dǎo)數(shù)求其最值.
【詳解】對于A：由題意可得：，
∵，則，且在上單調(diào)遞增，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B、D：由題意可得：
，
故的最小正周期為，故B正確；
函數(shù)的圖象，先向左平移個單位，得到，
再向上平移個單位，得到，故D正確；
對于C：由題意可得：
，
令，則，
可得，
構(gòu)建，，則，
由于，
令，解得；令，解得或；
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，
顯然，
故在上的值域為，
所以的值域為，故C錯誤；
故選：ABD.
12. 如圖，修水壩時，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋话l(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們需要研究兩個平面之間所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，記二面角的大小為，則下列說法正確的是（ ）

A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C.
D. 點到平面的距離的最大值為
【答案】AB
【解析】
【分析】運(yùn)用線面垂直判斷定理及線面垂直的性質(zhì)及向量加法及數(shù)量積運(yùn)算可判斷A項、B項，運(yùn)用余弦定理及余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C項，建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用點到面的距離公式計算及三角函數(shù)的最值問題求解即可判斷D項.
【詳解】如圖所示，

過A作且，連接CE、ED，則四邊形ABDE為平行四邊形，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，面，
∴面，
又∵，
∴面，
∴，，
由題意知，，，
所以，，
∵，
∴，
對于A項，當(dāng)時，代入得：，
又因為，
所以，故A項正確；
對于B項，當(dāng)時，代入得：，故B項正確；
對于C項，在△CAE中，，
在△CAD中，，
∵，，
∴①當(dāng)時，，則，
②當(dāng)時，，則，
③當(dāng)時，，則，故C項不成立；
對于D項，以A為原點，分別以AE、AB、AZ為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，
所以，，，
設(shè)面BCD的一個法向量為，
則，取，
所以點A到面BCD的距離為，
又因為，
所以，
所以當(dāng)時，d取得最大值為，故D項錯誤；
故選：AB.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 某市某年級數(shù)學(xué)統(tǒng)考的成績服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，試估計這100名學(xué)生中分?jǐn)?shù)超過100分的人數(shù)大約為___________.（結(jié)果用四舍五入保留整數(shù)）（附：）
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可計算出分?jǐn)?shù)超過100分的概率，再乘以總?cè)藬?shù)即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可得成績平均值和方差分別為，則，
由正態(tài)分布對稱性可知，分?jǐn)?shù)超過100分的概率為

所以分?jǐn)?shù)超過100分的人數(shù)大約為人
故答案為：2
14. 曲線在點處的切線方程為___________.
【答案】
【解析】
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線斜率，進(jìn)而求得切線方程.
【詳解】因為，
所以，
所以切線方程為：，即：.
故答案為：.
15. 設(shè)拋物線焦點為，從發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點反射，為反射光線上一點，則的面積為___________.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得軸，進(jìn)而得到軸，由在拋物線上，可得，進(jìn)而求解.
【詳解】由題意，軸，
由可得，
因為，所以軸，
所以，即，
即，
所以.
故答案為：4.
16. 任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時，試確定使得需要______步雹程；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合______.
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】
根據(jù)題中條件，由，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，逐步計算，即可得出結(jié)果；
由，根據(jù)遞推公式，逐步計算，即可得出集合.
【詳解】當(dāng)時，即，由，
可得，，，，，，，，，因此使得需要9步雹程；
由題意，為正整數(shù)，
若，由，解得；
當(dāng)時，由，解得，
當(dāng)時，由解得或；
當(dāng)時，由，解得；
當(dāng)時，由，解得；
當(dāng)時，由，解得；
當(dāng)時，由解得或；
當(dāng)時，由解得或；
當(dāng)時，由解得；
當(dāng)時，由解得，
綜上，所有可能的取值為，因此.
故答案為：；.
【點睛】思路點睛：
由數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項時，一般根據(jù)題中條件，由某一項的值，結(jié)合遞推公式，逐步計算，即可得出結(jié)果.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17. 記的內(nèi)角的對邊分別為、、.設(shè).
（1）若，求；
（2）若，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件可用正弦定理的性質(zhì)進(jìn)行邊化角方法，利用，經(jīng)過化簡后結(jié)合三角恒等變換的公式解出結(jié)果；
（2）這個條件帶入主干條件中，得到、等式關(guān)系，利用條件結(jié)合余弦定理，求出的值，最后可求出周長.
【小問1詳解】
，
由正弦定理得，






.
【小問2詳解】
，
，

由余弦定理得

，
，即，
因此的周長為.
18. 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)如下表所示：
溫度
21
23
25
27
29
32
35
產(chǎn)卵個數(shù)個
7
11
21
24
66
115
325

（1）畫出散點圖，根據(jù)散點圖判斷與哪一個適宜作為產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程類型（給出判斷即可?不必說明理由）；
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).建立關(guān)于的回歸方程.
（附：可能用到的公式，可能用到的數(shù)據(jù)如下表所示：







27.430
81.290
3.612
147.700
2763.764
705.592
40.180
（對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.）
【答案】（1）散點圖答案見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）按照表格作圖即可，并根據(jù)散點圖判定回歸方程類型；
（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)線性回歸方程的計算公式結(jié)合數(shù)據(jù)，得出，從而得出結(jié)果.
【小問1詳解】
散點圖如圖所示，

根據(jù)散點圖可以判斷，適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型.
【小問2詳解】
令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由數(shù)據(jù)得


.
所以關(guān)于的線性回歸方程為
因此，關(guān)于的回歸方程為
19. 已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列（公比不為1），的前n項和，且，
（1）求數(shù)列：，的通項公式；
（2）設(shè)的前項和為.對于任意正整數(shù)，當(dāng)恒成立時，求的最小值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公比和公差，得到方程組，求出公差和公比，得到，的通項公式；
（2）求出通項公式并得到為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式得到，求出的最小值.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為的公比為，
由已知可得，且，
解得
所以的通項公式為，
的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，則，
所以為等比數(shù)列，公比為，
所以.
因為恒成立，所以，
而，
所以，
所以的最小值為.
20. 已知四棱錐中,平面底面,為的中點,為棱上異于的點.

（1）證明:;
（2）試確定點的位置,使與平面所成角的正弦值為.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】(1)要證,只需證明,只需證明即可,利用全等可證明;
(2)建系,設(shè)出的坐標(biāo),利用空間向量求解即可.
【小問1詳解】
證明: 如圖,

連接交于點.
因為為的中點,,所以.
因為平面平面,平面平面,
平面
所以平面,
因為平面,所以.
因為,
所以,所以,
所以,.
因為平面,
所以平面.
因為平面,
所以.
【小問2詳解】
如圖,取的中點,分別以所在直線為軸
建立空間直角坐標(biāo)系:

設(shè),則,

則,
,
設(shè),
所以,
所以,即.

設(shè)平面的法向量為,則
即取,
則
整理得,
因為,所以,即
所以當(dāng)時,與平面所成角的正弦值為.
21. 已知點是雙曲線的左、右焦點，是右支上一點，的周長為，為的內(nèi)心，且滿足.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線與雙曲線的右支交于兩點，與軸交于點，滿足（其中），求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形面積比得，由三角形周長可得三邊長，結(jié)合雙曲線的定義從而可得，即可求解出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組并化簡為一元二次方程，寫出韋達(dá)定理及滿足的不等式組，利用向量的坐標(biāo)表示計算得，，再將其代入韋達(dá)定理計算化簡可得，根據(jù)三角形相似得，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求解出的范圍，即可求出答案.
【小問1詳解】
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
由題意.
所以，
因為的周長為，
所以，
所以，
所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題知，直線斜率存在且不為，可設(shè)其方程為，

聯(lián)立，整理得
因為直線與雙曲線右支交于兩點，則有，
解得，所以，
因為，所以，
所以，即，同理，
所以，①
②
兩式相除得.
因為，
當(dāng)與漸近線平行時，，
此時，
因為與雙曲線右支交于兩點，所以，.
所以，所以，
即取值范圍為.

【點睛】（1）解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形．
22. 已知函數(shù).
（1）設(shè)是曲線在處的切線，若有且僅有一個零點.求；
（2）若有兩個極值點，且恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求函數(shù)的切線，再根據(jù)零點個數(shù)結(jié)合切線及單調(diào)性求值.
（2）已知函數(shù)極值點個數(shù)，結(jié)合不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性，求實數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
由題知，
記，
所以，
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，
此時是的唯一零點.
當(dāng)時，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，故在上遞增，在上遞減，
而，，
所以存在，使得，
此時有兩個零點和，不滿足題意，舍去；
當(dāng)時，同理可得故在上遞增，在上遞減，

而，，
所以存在，使得，此時有兩個零點和，
不滿足題意，舍去；
綜上可得.
【小問2詳解】
因為，
當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)時，令，有，
其，又，
所以存，使得，且，
，
所以


設(shè)，則有恒成立.
由，
因為當(dāng)?shù)闹涤驗?，所以?br /> 當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞增，
結(jié)合，知此時恒成立，不滿足題意，舍去.
當(dāng)時，，使得，,,所以在上單調(diào)遞減，,,所以在上單調(diào)遞增，所以
，
所以，于是的取值范圍為.
綜上，的取值范圍為.

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