?山西省高二下學(xué)期3月聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊?選擇性必修第二冊第四章占30%，選擇性必修第二冊第五章?選擇性必修第三冊第六章占70%.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 某校食堂餐后有三種水果可供學(xué)生挑選，每名學(xué)生只能挑選其中一種，甲、乙、丙三人每人任意挑選一種水果，則不同的選擇有（ ）
A. 3種 B. 6種 C. 9種 D. 27種
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理求解即可.
【詳解】不同的選擇有種.
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.
【詳解】.
故選：D
3. 小明所在高校開設(shè)了籃球?足球?太極拳等12門體育選修課，每名學(xué)生需在大一和大二年級分別選擇不重復(fù)的一門選修課學(xué)習(xí)，則小明的體育選修課不同的選擇有（ ）
A. 66種 B. 96種 C. 132種 D. 144種
【答案】C
【解析】
【分析】直接用排列的定義列式計算即可.
【詳解】不同的選擇有種．
故選：C．
4. 已知某質(zhì)點的位移（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系式是，則質(zhì)點在時的瞬時速度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，該質(zhì)點的瞬時速度為質(zhì)點關(guān)于位移的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)代入即可．
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，對運動方程求導(dǎo)得，
令，得，即質(zhì)點在時的瞬時速度，
故選：A．
5. 函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】由圖象可得當(dāng)時，，當(dāng)時，.
結(jié)合圖象可得：當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即；
所以的解集為.
故選：D
6. 某正方體形木塊的六個面分別標(biāo)有數(shù)字1~6，用紅?黃?藍(lán)?白4種顏色給這六個面涂色（不一定每種顏色都用上），相鄰兩個面所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案有（ ）

A. 48種 B. 72種 C. 96種 D. 144種
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理分步進(jìn)行涂色即可求解.
【詳解】先涂區(qū)域1，有4種選擇，再涂區(qū)域2，有3種選擇，再涂區(qū)域3，有2種選擇.若區(qū)域4的顏色和區(qū)域2的顏色不同，此時區(qū)域只有一種選擇；若區(qū)域4的顏色和區(qū)域2的顏色相同，剩下的區(qū)域有3種選擇.故不同的涂色方案有種.
故選：C.
7. 已知過點作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，結(jié)合斜率公式可得出，可知關(guān)于的方程有兩個不等的實根，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)得，
所以，切線斜率為，整理得，
關(guān)于的方程有兩個不等的實根.
令函數(shù)，由題意可得，解得且，
所以，函數(shù)的定義域為，且，
當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
.
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
8. 2023年杭州亞運會需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負(fù)責(zé)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，則不同的選法共有（ ）
A. 248種 B. 252種 C. 256種 D. 288種
【答案】B
【解析】
【分析】先選能擔(dān)任語言服務(wù)的人員，再選能擔(dān)任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作的人員，最后根據(jù)分步計算原理即可得答案.
【詳解】先從甲、乙之外的6人中選取1人負(fù)責(zé)語言服務(wù)工作，再從剩下的7人中選取2人負(fù)責(zé)人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.
故選：B.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 如圖，在正方體中，分別為的中點，則（ ）

A.
B. 平面
C. 平面
D. 直線與直線所成角余弦值為
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，由空間向量的關(guān)系判斷空間位置關(guān)系，A選項，根據(jù)得到A正確；B選項，求出平面的法向量，由得到B錯誤；C選項，根據(jù)，得到直線與直線不垂直；D選項，利用空間向量夾角余弦公式進(jìn)行計算.
【詳解】以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則.
.
A選項，因為，所以，A正確.
B選項，設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，，故，
因為，
所以與不垂直，則直線與平面不平行，錯誤.
C選項，若平面，則.
因為，所以直線與直線不垂直，矛盾，C錯誤.
D選項，，D正確.

故選：AD
10. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】令可判斷選項A；由二項式的通項可求出而可判斷選項B；令，可判斷選項C，D.
【詳解】令，可得，A正確.
，所以，B正確
令，可得①，則，C正確.
令，可得②，①－②可得，
所以，D錯誤.
故選：ABC.
11. 若函數(shù)有兩個零點，則的值可以是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)將分情況進(jìn)行討論，當(dāng)或,或時，得出函數(shù)的單調(diào)性，并得出零點的個數(shù)，得出結(jié)果.
【詳解】.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.易知有且僅有一個零點.
當(dāng)時，有唯一解.易知在上，單調(diào)遞減，且，即在上有一個零點，在上，單調(diào)遞增.結(jié)合，可得在上有一個零點.故在上各有一個零點.
當(dāng)時，令，得，易知在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.故的最小值為僅有一個零點.
當(dāng)時，有唯一解.
易知在上，單調(diào)遞減，且，
所以在上有一個零點.
在上，單調(diào)遞增，且，
，所以在上有一個零點.
故在上各有一個零點.
綜上，當(dāng)或時，僅有一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點.
故選：BD.
【點睛】方法點睛：
借助導(dǎo)數(shù)的知識來求函數(shù)零點的個數(shù)問題，函數(shù)中含有參變量，隨著參數(shù)的變化，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等都在發(fā)生變化.因此解決此類問題時必不可少的要求畫出函數(shù)的趨勢圖象，然后根據(jù)趨勢圖象找出符合零點問題的條件即可，這里需要說明一下，參數(shù)影響零點的個數(shù)問題主要有兩個方向，一是參數(shù)影響單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的個數(shù)；二是參數(shù)影響函數(shù)的極值或最值.通過這兩個方向就可以影響函數(shù)的趨勢圖像，進(jìn)而影響零點的個數(shù).
12. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契從兔子繁殖問題引出的一個數(shù)列，其被稱為斐波那契數(shù)列，滿足.某同學(xué)提出類似的數(shù)列，滿足.下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 設(shè)的前項和為 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項：，裂項相消；
B選項：根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出 是以-5為首項，-1為公比的等比數(shù)列.
C選項：配湊；
D選項：
【詳解】A項：
故A正確.
B選項：因為，
，所以是以-5為首項，-1為公比的等比數(shù)列.故B錯誤.
C選項：

，故C錯誤.
D選項：D正確.
故選AD.
【點睛】配湊；

將數(shù)列配湊和轉(zhuǎn)化是本題的難點和解題關(guān)鍵點.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
13. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】求導(dǎo)，求出，得到解析式，代入，求出答案.
【詳解】因為，故
所以，故.
故答案為：2
14. 甲?乙?丙等6個人站成一排，若要求甲、乙均站在丙的左邊，則不同的排法有__________（用數(shù)字作答）種.
【答案】
【解析】
【分析】丙所在位置進(jìn)行分類討論即可求解.
【詳解】情形1：丙在最右端，則有種；
情形2：丙在第五位，則有種；
情形3：丙在第四位，則有種；
情形4：丙在第三位，則有種；
故甲，乙均站在丙的左邊共有種，
故答案為：.
15. 已知球的半徑為6，球心為，球被某平面所截得的截面為圓，則以圓為底面，為頂點的圓錐的體積的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓的半徑為，圓錐的高為，則，圓錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得圓錐的體積的最大值.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，圓錐的高為，則.
圓錐的體積，
令函數(shù)，則.
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.
所以，故圓錐的體積的最大值為.
故答案為：.
16. 已知O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是雙曲線的左焦點，平面內(nèi)一點M滿足△OMF是等邊三角形，線段MF與雙曲線E交于點N，且，則雙曲線E的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、余弦定理以可解得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義可求得，即可得到其離心率.
【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨假設(shè)在第二象限，作出如下圖形，
設(shè)雙曲線的右焦點為，連接.

因為是等邊三角形，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理知
，
則.
根據(jù)雙曲線的定義有，則．
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共70分.
17. 已知公差大于0的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項公式及;
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求數(shù)列中整數(shù)的個數(shù).
【答案】（1），.
（2）3個.
【解析】
【分析】（1）由條件轉(zhuǎn)化成基本量即可求解;
（2）裂項求出的表達(dá)式，再尋找使得是整數(shù)的的個數(shù)即可.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以由條件可得:，解得，
所以，.
【小問2詳解】
數(shù)列的通項公式為:，
所以，
要使得為整數(shù)，只需是6的約數(shù)即可，
故數(shù)列中整數(shù)為:;
故數(shù)列中的整數(shù)共3個.
18. 已知函數(shù)在處取得極小值－4．
（1）求的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）－4 （2）16
【解析】
【分析】（1）利用極值的定義列方程求解，進(jìn)而得的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在的單調(diào)性，結(jié)合極值和區(qū)間端點處的函數(shù)值即可求最值．
【小問1詳解】
.
依題意可得，解得，
所以.
【小問2詳解】
.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.
則的極大值為，又，
故在區(qū)間上的最大值為16.
19. 如圖，四棱錐的底面為矩形，，平面平面，是的中點，是上一點，且平面.

（1）求的值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)平面與直線相交于點，根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到的值；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)平面與直線相交于點，連接，
因為平面，平面，平面平面，
所以，
又因為，平面，平面，所以平面，
又由平面平面，所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以分別為的中點，所以.
【小問2詳解】
解：由四棱錐 的底面為矩形，且 ，
因為為的中點，所以，
又因為平面平面，平面，且平面平面，
所以平面，
以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因為四棱錐 的底面為矩形，且且，
則，
可得，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則.

20. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式方程進(jìn)行求解即可；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
.
則曲線在點處的切線方程為，
即.
【小問2詳解】
，即.
令，由條件可知，對任意恒成立.
因為，所以在上單調(diào)遞增.
因為，所以當(dāng)時，，所以.
故實數(shù)的取值范圍為.
21. 如圖，，，，是拋物線：上的四個點（，在軸上方，，在軸下方），已知直線與的斜率分別為和2，且直線與相交于點．

（1）若點的橫坐標(biāo)為6，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求點的坐標(biāo)．
（2）試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值為2
【解析】
【分析】（1）首先求出直線方程，由于的長度為定值，故點離直線距離越遠(yuǎn)，的面積越大，設(shè)與直線平行的直線為，根據(jù)直線與拋物線相切求出，進(jìn)而取出點坐標(biāo).
（2）首先設(shè)，設(shè)直線BD為，然后將直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，．同理求得，，然后根據(jù)弦長公式分別求得，，，，然后代入中即可證明其為定值.
【小問1詳解】
由題可知，點的坐標(biāo)為，直線的方程為，
則的長度為定值．
將直線平移到與拋物線相切，切點為，此時的面積取得最大值．
設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組
消去整理得．
，解得，
將代入，
解得，，故點的坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去整理得，
則，．
同理可得，，．
，，
，，
所以．
故是定值，且該定值為2．
【點睛】方法點睛：對于圓錐曲線中的弦長公式我們并不陌生，弦長，其中在圓錐曲線中，任意兩點間的距離我用都可以仿照弦長公式進(jìn)行求解，假設(shè)，，即，用此方法求兩點間距離時，方便我們利用韋達(dá)定理.
22. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍，并證明.
【答案】（1）見解析
（2），證明見解析
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得出的單調(diào)性；
（2）對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，要使函數(shù)有兩個零點，令，即，即可求出的取值范圍；要證，即證，通過構(gòu)造函數(shù)法令，對求導(dǎo)，得出的單調(diào)性即可證明.
【小問1詳解】
.
當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，若，則，若，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
令，得.
令，則.
設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞減.
因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
當(dāng)趨近于0時，趨近于負(fù)無窮.
當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于負(fù)無窮，
因為有兩個零點，所以，解得.
故的取值范圍為.
因為，所以.
要證，只需證.
由于在上單調(diào)遞增，故只需證.
由，得
令，則.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.
，即，
所以，即證得.


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