全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級?考場號?座位號?考生號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出集合，利用交集定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)?，，?br>則，故.
故選：C.
2. 已知實(shí)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】復(fù)數(shù)，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)位于第四象限.
故選：D
3. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)公比為q，依題意可得，再由兩式相除即可得解.
【詳解】設(shè)公比為q，因?yàn)?，則，即，
又，即，
所以.
故選：A
4. 若在一次大型數(shù)學(xué)考試（滿分150分）中，考生分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，則考生分?jǐn)?shù)在104分以上的概率為（ ）
（若，則）
A. 0.5B. 0.84135C. 0.97725D. 0.99865
【答案】C
【解析】
【分析】???????根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.
【詳解】由題意,，
所以，
所以考生分?jǐn)?shù)在104分以上的概率為.
故選:C.
5. 已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的展開式中的常數(shù)項(xiàng)求出的值，然后寫出的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)后代入通項(xiàng)即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，其中中不含常?shù)項(xiàng)，
的展開式通項(xiàng)為，
所以，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得，
的展開式中的系數(shù)為，
的展開式通項(xiàng)為，
令可得，則的展開式中的系數(shù)為，
因此，的展開式中的系數(shù)為.
故選：D.
6. 已知有項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作分別需要安排個(gè)人完成，每人只需完成一項(xiàng)工作，現(xiàn)有男、女共名工作人員，則每項(xiàng)工作恰好有一男一女的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算出所有的分配方法種數(shù)以及每項(xiàng)工作恰好有一男一女的分配方法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【詳解】將男、女共名工作人員分為三組，分組種數(shù)為，
再將這三組工作人員分配給三項(xiàng)工作，不同的分配種數(shù)為；
若這每項(xiàng)工作恰好有一男一女，則不同的分配方法種數(shù)為種.
由古典概型的概率公式可知，所求概率為.
故選：B.
7. 若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)由題意知在上有唯一的實(shí)根，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解的取值范圍.
【詳解】,
因?yàn)榍€關(guān)于直線對稱，
所以，得，.
因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù),使得曲線關(guān)于直線對稱,所以只有唯一的值落在中,
故有.
???????故選:C.
8. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷、的大小關(guān)系，利用作差法結(jié)合基本不等式可判斷、的大小關(guān)系.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以，，即，則，
，
因此，.
故選：D.
二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖所示，在正方體中，平面平面直線，則下列選項(xiàng)中結(jié)論正確的是（ ）

A. B.
C. 平面D. 與所成的角為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)分析判斷，對于B，由已知可得∥平面，再利用線面平行的性質(zhì)分析判斷，對于C，由正方體的性質(zhì)可得與平面不垂直，而，從而可分析判斷，對于D，連接，則與所成的角即為，再由為等邊三角形可求得結(jié)果.
【詳解】對于A，因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€，所以平面
因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以A正確，
對于B，因?yàn)椤?，平面，平面?br>所以∥平面，
因?yàn)槠矫嫫矫嬷本€，平面，
所以，所以B正確，
對于C，因與平面不垂直，，
所以與平面不垂直，所以C錯(cuò)誤，
對于D，連接，因?yàn)椋?br>所以與所成的角即為，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>所以與所成的角為，所以D正確，
故選：ABD

10. 已知，且有，則的可能取值為（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由題意可得，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)?且滿足,所以,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,
則的最小值為16,所以的最小值為4.
故選:CD.
11. 已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為、，直線、分別是的斜率大于、小于的漸近線，是上一點(diǎn)，且軸，則下列選項(xiàng)中結(jié)論正確的是（ ）
A. 若的斜率是，則，且雙曲線的離心率為
B. 若，則雙曲線的離心率為
C. 有可能垂直于
D. 一定是直角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】利用已知條件求出的值，結(jié)合雙曲線的離心率公式可判斷AB選項(xiàng)；利用反證法可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為，
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，

對于A選項(xiàng)，若的斜率是，即，則，
雙曲線的離心率為，A對；
對于B選項(xiàng)，由題意可得，則，，，
因?yàn)?，則，
故為等腰三角形，且，因?yàn)檩S，則為的中點(diǎn)，
所以，，可得，
此時(shí)，雙曲線的離心率為，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，若，直線的方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
所以，，
因?yàn)檩S，則，，
所以，，則，即，則，
與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程矛盾，假設(shè)不成立，C錯(cuò)；
對于D選項(xiàng)，易知點(diǎn)、，
將代入方程可得，即點(diǎn)，
，，
所以，
，
所以，，故一定為直角三角形，D對.
故選：AD.
12. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值可以為（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】首先分析函數(shù)的圖象，再結(jié)合二次方程的實(shí)數(shù)根，利用數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】,,
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，如圖，畫出函數(shù)的圖象，

，
，
如圖，

當(dāng)，且，無解；
如圖，

，，解得：,
滿足條件的有BC.
故選：BC
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
又，所以，解得.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而可求切線方程.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即曲線在處的切線的斜率，
又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，
所以曲線在處的切線方程為，即.
故答案為：.
15. 已知為第一象限角，，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】由兩角和的正切公式求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再由二倍角公式求出、，最后由兩角和的正弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，解?br>所以，解得或，
又為第一象限角，所以，
所以，，
所以.
故答案為：
16. 已知棱長均為的多面體由上?下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則__________．

【答案】
【解析】
【分析】如圖為正方形的中心，則既是多面體的外接球的球心，也是棱切球的球心，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出外接球的半徑與棱切球的半徑，即可得解.
【詳解】在多面體中，為正方形的中心，如圖所示：
由題意可知既是多面體的外接球的球心，也是棱切球的球心，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，
，所以，
所以，
所以

故答案為：
四?解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，．
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）記，求的前項(xiàng)和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由與的關(guān)系可得是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,即可得出的通項(xiàng)公式,由即可得出的通項(xiàng)公式；
（2）由(1)知,由錯(cuò)位相減法即可得出答案.
【小問1詳解】
∵,,兩式作差得: ,又，
∴是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列, 則.
設(shè)的公差為, 由, 可得,
∴.
【小問2詳解】
由(1)知: ,的前n項(xiàng)和，
所以,
，
兩式作差得:
.
所以.
18. 隨著全國新能源汽車推廣力度的加大，尤其是在全國實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的大背景下，新能源汽車消費(fèi)迎來了前所未有的新機(jī)遇．為了更好了解大眾對新能源汽車的接受程度，某城市汽車行業(yè)協(xié)會依據(jù)年齡采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方式抽取了200名市民，并對他們選擇新能源汽車，還是選擇傳統(tǒng)汽車進(jìn)行意向調(diào)查，得到了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
（1）完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān)；
（2）以樣本的頻率作為總體的概率，若從全市40歲以上（包含40歲）購買汽車的人中有放回地隨機(jī)抽取3人，用表示抽取的是“選擇新能源汽車”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：．
【答案】（1）至少有的把握認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān).
（2）分布列見詳解，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)以及公式進(jìn)行計(jì)算求解.
（2）利用二項(xiàng)分布進(jìn)行計(jì)算求解.
【小問1詳解】
由題可知：
所以，
所以至少有的把握認(rèn)為選擇新能源汽車與年齡有關(guān).
【小問2詳解】
由題可知，從全市40歲以上（包含40歲）購買汽車的人中有放回地隨機(jī)抽取，
抽取的是“選擇新能源汽車”的人的概率為，所以，
所以的可能取值為：0，1，2，3，且
；
；
；
；
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
19. 如圖，已知四棱錐的底面是矩形，與交于點(diǎn)，過的平面分別與交于點(diǎn)，且．

（1）證明：平面；
（2）若是的中點(diǎn)，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】(1)通過求證和，由線面垂直的判定定理即可求證;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和，求平面與平面的法向量，利用向量法即可求解.
【小問1詳解】
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面,且平面平面,∴.
∵,∴.
∵,是的中點(diǎn),∴.
∵平面,
∴平面.
小問2詳解】
如圖所示,過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作于,
由(1)知平面,
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為軸,軸,軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè),∴，
由,可得，解得,
∴,,,
設(shè)為平面法向量,
則，即，
不妨令,可得.
設(shè)為平面的法向量,
則，即，
不妨令,可得.
設(shè)二面角的平面角為，
∴,
易知二面角的平面角為銳角,
二面角的余弦值為.
20. 在中，分別為內(nèi)角的對邊．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和可得，代入中并用兩角和的正弦把展開即可得，從而可得；
（2）由結(jié)合余弦定理可得，求出的范圍并解不等式即可得的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>，
即，因?yàn)椋裕?br>所以，又，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理得：，
因?yàn)椋裕?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
即，解得，
所以的取值范圍是.
21. 已知橢圓的離心率為，長軸長為4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上且在橢圓外，若成等差數(shù)列，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而求出方程；
（2）設(shè)，，依題意可得，直線的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意可得，代入韋達(dá)定理，即可得到，從而求出動點(diǎn)軌跡方程，再計(jì)算斜率不存在時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)，代入檢驗(yàn)即可.
【小問1詳解】
依題意，，所以，，
則，所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
若直線的斜率存在，設(shè)，，
由，整理得，
顯然，則，，
由可得，
即，
即，
所以，整理得到，
又因?yàn)?，所以，即?br>所以點(diǎn)的軌跡方程為，
若直線的斜率不存在，由，解得或，
不妨令，，由，
即，因?yàn)榛?，解得?br>即，也滿足方程為，
綜上可得點(diǎn)的軌跡方程為.

22. 已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)，若有極大值，求的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的極值，從而得解.
【小問1詳解】
因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
綜上可得當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
定義域?yàn)椋?br>，令，則，
當(dāng)，即時(shí)，所以單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，
所以存在唯一實(shí)數(shù)使得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極大值，故舍去；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
若，即，解得時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)無極大值，故舍去；
若，即，解得時(shí)，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以存在，，使得，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，符合題意，
綜上可得的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．選擇新能源汽車
選擇傳統(tǒng)汽車
合計(jì)
40歲以下
65
40歲以上（包含40歲）
60
100
合計(jì)
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
選擇新能源汽車
選擇傳統(tǒng)汽車
合計(jì)
40歲以下
65
35
100
40歲以上（包含40歲）
40
60
100
合計(jì)
105
95
200

0
1
2
3

0.216
0.432
0.288
0.064

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