山西省忻州市名校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題（Word版附解析）

這是一份山西省忻州市名校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題（Word版附解析），共18頁。試卷主要包含了本卷主要考查內(nèi)容等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?高二年級2022～2023學(xué)年第二學(xué)期第一次月考
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。
4．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了12個接種點，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了29個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（ ）
A. 31種 B. 358種 C. 41種 D. 348種
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點,由加法原理計算可得答案.
【詳解】該市民可選擇的接種點為兩類，一類為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點，另一類為城區(qū)接種點，所以共有種不同接種點的選法．
故選：C．
2. （ ）
A. 6 B. 24 C. 360 D. 720
【答案】A
【解析】
【分析】由排列數(shù)公式計算可得答案.
【詳解】.
故選：A.
3. 從由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】數(shù)字排列問題，根據(jù)符合題意的要求選取十位數(shù)為4或5，個位數(shù)不重復(fù)則在剩余的4個數(shù)字里選擇1個，即可計算結(jié)果.
【詳解】這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)為．
故選：B．
4. 的展開式中，的系數(shù)與常數(shù)項之差為（ ）
A. －3 B. －1 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】取即可得常數(shù)項，將多項式化為，根據(jù)二項式定理，分別求出，中的項數(shù)，再求和，即可求得的系數(shù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】解：因為，
取可得常數(shù)項為：，
在中，含的項為，
在中，含的項為，
所以的展開式中，的系數(shù)為，
所以的系數(shù)與常數(shù)項之差為.
故選：C
5. 如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（ ）

A. 18 B. 24 C. 30 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進行分類，再結(jié)合分步計數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).
【詳解】若用3種不同的顏色燈帶都使用，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為；
若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為；
則不同的信號總數(shù)為.
故選：A．
6 已知，則（ ）
A. 8 B. 5 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】取代入等式可得，分別取，代入等式，組成方程組，聯(lián)立即可得，代入即可求得結(jié)果.
【詳解】解：因為，
取代入可得：，
取代入可得：①，
取代入可得：②，
①+②再除以2可得：，所以，
①-②再除以2可得：，
所以.
故選：D
7. 的個位數(shù)字為（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】先將寫為，用二項式定理展開可知，的個位數(shù)字與相同，將寫為，再將用二項式定理展開可知的個位數(shù)字與相同，計算結(jié)果選出選項即可.
【詳解】解：因為
，
而個位數(shù)均為0，
所以的個位數(shù)字與相同，
而
因為個位數(shù)均為0，
所以的個位數(shù)字與相同，
故的個位數(shù)字為7.
故選：B
8. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)可得的單調(diào)性，可得，，令，利用導(dǎo)函數(shù)可得在單調(diào)遞增，從而有，即可得出答案.
【詳解】設(shè)，，則有，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增．
所以，，即有，．
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
所以，即，故，，
令，有，
可得函數(shù)單調(diào)遞增，故有，可得，
可得，故，綜上所述，．
故選：B．
【點睛】方法點睛：
對于比較實數(shù)大小方法：
（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，
（2）利用中間值“1”或“0”進行比較，
（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進行判斷.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 若，則m值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】BC
【解析】
【分析】利用組合數(shù)的計算即可求解
【詳解】因為，
所以或，解得或5．
故選：BC．
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 可表示為
B. 6個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手15次
C. 若把英文“”的字母順序?qū)戝e，則可能出現(xiàn)的錯誤共有59種
D. 將4名醫(yī)護人員安排到呼吸、感染兩個科室，要求每個科室至少有1人，則共有18種不同的安排方法
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式可判斷A；兩兩握手，即隨便選出兩人握手的所有可能結(jié)果數(shù)，通過計算即可判斷B；先對進行排列，再將放入位置中即可，列出式子計算即可判斷C；分3人，1人一組，和2人，2人一組兩種情況，分別求出對應(yīng)的安排方法，相加即可.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為6人兩兩握手，共握（次），故B正確；
先在5個位置中選出3個位置，對進行全排列，剩下兩個位置將放入即可，
故有：（種），而正確的共有1種，
所以可能出現(xiàn)的錯誤共有（種），故C正確；
因為，
當(dāng)按3，1分組時，先選1人單獨一組，剩下3人為一組，
再將兩組分配到兩個不同科室中：共（種）分法，
當(dāng)按2，2分組，在4人中選出2人到呼吸科，剩下2人自動去感染科，
故有：（種）分法，故共有（種）安排方法，故D錯誤．
故選：BC
11. 已知關(guān)于x的方程的四個根是公差為2的等差數(shù)列的前四項，為數(shù)列的前n項和，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)韋達定理可得，進而求得首項，即可得，即可判斷選項A，C，D；由韋達定理可知代入即可判斷D.
【詳解】解：因為為等差數(shù)列，所以，
因為，可得，，，，
所以數(shù)列的通項公式為，
故，代入可得，，，
故選項A不正確，選項C，D正確；
根據(jù)韋達定理可得，，故選項B正確．
故選：BCD．
12. 已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 存在a使得是函數(shù)的極值點
B. 當(dāng)時，存在兩個極值點
C. “”是“為減函數(shù)”的充要條件
D. 存在a使得函數(shù)有且僅有兩個零點
【答案】BC
【解析】
【分析】求出，由是函數(shù)的一個極值點可得值可判斷A；當(dāng)時記方程的兩個根分別為，，由韋達定理可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)值可判斷函數(shù)的零點；當(dāng)時可得函數(shù)單調(diào)遞減，由可得可判斷C及此時函數(shù)零點個數(shù)；當(dāng)時，由韋達定理可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點個數(shù)可判斷B；令，令可得求出函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】由題可知函數(shù)的定義域為，，
對于A選項，若是函數(shù)的一個極值點，有，可得，與矛盾，故A選項錯誤；
當(dāng)時，，記一元二次方程的兩個根分別為，，有，，可得，
可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
有，此時函數(shù)沒有零點；
當(dāng)時，，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由可得，所以，故C正確；可得此時函數(shù)最多只有一個零點；
當(dāng)時，，有，，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，增區(qū)間為，
故存在兩個極值點，故B正確；
且有，，
令，有，令可得，
故函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有．故有，可得此時函數(shù)最多只有一個零點，由上知D錯誤．
故選：BC．
【點睛】方法點睛：函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：
1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；
2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經(jīng)過乙地中轉(zhuǎn)，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有______________種．
【答案】12
【解析】
【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得答案.
【詳解】由分步乘法計數(shù)原理知從甲地去丙地可選擇的出行方式有（種）．
故答案為：12.
14. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為______．
【答案】144
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分3步進行分析：①從1、3、5三個數(shù)中取一個排個位，②0不能在千位，則千位的安排方法有4種，③在剩下的4個數(shù)中任選2個，安排在百位、十位，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：
①從1、3、5三個數(shù)中取一個排個位，有3種安排方法，
②0不能在千位，則千位的安排方法有4種，
③在剩下的4個數(shù)中任選2個數(shù)字，排在百位與十位，有種情況，
則符合題意的奇數(shù)的個數(shù)是為個；
故答案為：．
15. 已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)的公比為q，則通過等比數(shù)列的性質(zhì)可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
【詳解】設(shè)的公比為，因為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為
故答案為：
16. 已知函數(shù)，若恒成立，則k的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】
【分析】將表示為，原不等式恒成立，即恒成立，對進行換元，構(gòu)造函數(shù)求出新元的范圍，則原不等式即可化為，，分兩種情況討論，當(dāng)時，代入可知恒成立，當(dāng)時，對不等式進行全分離，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性求出最值即可得k的取值范圍.
【詳解】解：因為恒成立，所以，
因為，由恒成立，
即①恒成立，令，
所以，即在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，故，
令，①式可化為②，
當(dāng)時，②式可化為：，此時不等式恒成立，故；
當(dāng)時，②式可化為：恒成立，故只需即可，
令，有，
在上，，單調(diào)遞減，
在上，，單調(diào)遞增，
所以，故，
綜上：k的取值范圍為.
故答案：
【點睛】方法點睛：該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于恒成立問題的方法有：
（1）若，恒成立，則只需；
（2）若，恒成立，則只需；
（3）若，恒成立，則只需；
（4）若，恒成立，則只需；
（5）若，恒成立，則只需；
（6）若，恒成立，則只需；
（7）若，恒成立，則只需；
（8）若，恒成立，則只需.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17. 已知二項式的展開式中共有10項．
（1）求展開式的第5項的二項式系數(shù)；
（2）求展開式中含的項．
【答案】（1）126 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)項數(shù)可求得，根據(jù)二項式系數(shù)與項數(shù)之間關(guān)系列出等式，解出即可；
（2）由（1）中的，求出通項，使的冪次為4，求出含的項即可.
【小問1詳解】
解：因為二項式的展開式中共有10項，所以，
所以第5項的二項式系數(shù)為；
【小問2詳解】
由（1）知，記含的項為第項，
所以，
取，解得，所以，
故展開式中含的項為.
18. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線l過坐標(biāo)原點．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若直線l與拋物線相切，求拋物線的對稱軸方程．
【答案】（1）1 （2）．
【解析】
【分析】（1）求出，再由、可得曲線在點P處的切線方程，代入原點可得答案；
（2）求出直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用解得，可得拋物線的方程為及對稱軸方程．
【小問1詳解】
由，再由，，
可得曲線在點P處的切線方程為，
整理為，
代入原點，有，可得，
故實a值為1；
【小問2詳解】
由（1）可知直線l的方程為，
聯(lián)立方程，消去y后整理為，
有，解得，
可得拋物線的方程為，故拋物線的對稱軸方程為．
19. 現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相．（用數(shù)字作答）
（1）兩端是男生，有多少種不同的站法？
（2）任意兩名男生不相鄰，有多少種不同的站法？
（3）男生甲要在女生乙的右邊（可以不相鄰），有多少種不同的站法？
【答案】（1）1440
（2）144 （3）2520
【解析】
【分析】（1）特殊位置特殊考慮，先取兩位男生放置在兩端，另5位全排列，列出等式，計算即可；
（2）不相鄰問題插空，先將另3名女生全排列，空出4個位置，讓男生插空站入， 列出等式，計算即可；
（3）排序問題，先在7個位置中找到5個位置，讓除甲乙外的另5人排列，后將甲乙站入， 列出等式，計算即可.
【小問1詳解】
解：先選2名男生排兩端有種方法，再排其余學(xué)生有種方法，
所以兩端是男生的不同站法有（種）；
【小問2詳解】
先排3名女生有種方法，再將4名男生插入4個空隙中有種方法，
所以任意兩名男生不相鄰的不同站法有（種）；
【小問3詳解】
先在7個位置中找到5個位置，讓除甲乙外的另5人排列共有：種方法，
再將甲乙按照甲在乙右邊的順序，放置另兩個位置中共1種，
所以男生甲要在女生乙的右邊的不同站法有（種）．
20. 已知等差數(shù)列的前n項和是，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若成立，求正整數(shù)m，k值．
【答案】（1）
（2），．
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公差建立方程組，解出即可得通項公式；
（2）由（1）的通項公式化簡可得，根據(jù)，所以，所以或，對分類討論，即可得出結(jié)果.
【小問1詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，由題意有，
解得，，所以，
故數(shù)列的通項公式為；
【小問2詳解】
由
，
有，可得，
因為，所以，
因為，所以或，
①當(dāng)時，可得，由m為正整數(shù)，不合題意,舍；
②當(dāng)時，可得，滿足題意，
綜上：，．
21. 已知（n為正整數(shù)）的二項展開式．
（1）若，求展開式中所有項的系數(shù)之和；
（2）若，求展開式中的無理項的個數(shù)；
（3）若，求展開式中系數(shù)最大的項．
【答案】（1）729 （2）15
（3）展開式中系數(shù)最大的項為和
【解析】
【分析】（1）由求出，再令可得答案；
（2）由求出，求出展開式的通項公式，再由的指數(shù)不為整數(shù)可得答案；
（3）求出展開式的通項公式由解不等式可得答案．
【小問1詳解】
由可得，
令可得，
所以展開式中所有項的系數(shù)之和為729；
【小問2詳解】
若，則，解得，或舍去，
設(shè)的通項為，
且，
所以當(dāng)時可得展開式中的無理項，所以共有15個無理項；
【小問3詳解】
設(shè)的通項為，
且，
則，解得，
，，
所以展開式中系數(shù)最大的項為和．
22. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時，若對，恒成立，求的最小值．
【答案】（1）極小值為，極大值為
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)極值的定義即可得出答案；
（2）令，求導(dǎo)得，由函數(shù)單調(diào)遞增及，，可知存在，使得，即，從而可求出函數(shù)的最小值，，恒成立，則，從而可將表示出來，
【小問1詳解】
若，可得，
有，
令，可得，令，則或，
故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
函數(shù)的極小值為，極大值為；
【小問2詳解】
令，
有，
由函數(shù)單調(diào)遞增及，，
可知存在，使得，即，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
可得
，
由，恒成立，
有，可得，
有，
可得，
令，
有
，
令，則，令，則，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，
故的最小值為．
【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．