?浙江省浙南名校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題
1、已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2、已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部之和為( )
A.3 B. C.1 D.-1
3、已知m，n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題是真命題的為( )
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，，則
4、已知，，若向量在向量上的投影向量為，則( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可能為( )

A. B.
C. D.
6、已知直線與函數(shù)相切，則( )
A.有最大值e B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值
7、過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，記直線GA，GB的斜率分為，，若，，則直線AB的方程為( )
A. B.
C. D.
8、已知，，，則( )
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題
9、某校開(kāi)學(xué)初組織新生進(jìn)行數(shù)學(xué)摸底測(cè)試，現(xiàn)從1000名考生中，隨機(jī)抽取200人的成績(jī)（滿(mǎn)分為100分）作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.則下列說(shuō)法正確的是( )

A.
B.估計(jì)這次考試的75%分位數(shù)為82.4
C.在該樣本中，若采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)低于60分和90分及以上的學(xué)生中共抽取10人，則應(yīng)在中抽取2人
D.若成績(jī)?cè)?0分及以上算合格，估計(jì)該校新生成績(jī)合格的人數(shù)為860人
10、若函數(shù)滿(mǎn)足，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. B.為奇函數(shù)
C.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上單調(diào)遞增
11、已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為r，高為h的一個(gè)圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說(shuō)法正確的是( )
A. B.圓錐的體積與表面積之比為定值
C.圓錐表面積的最小值是 D.當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，圓錐的頂角為60°
12、已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，，分別為，的離心率，點(diǎn)M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則以下判斷正確的有( )
A.面積為
B.若，則
C.若，則的取值范圍為
D.若，則的取值范圍為
三、填空題
13、在的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中所有各項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_______.
14、若直線截圓所得弦長(zhǎng)，則k的值為_(kāi)_____.
15、設(shè)，若數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，則______.
16、已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則xy的取值范圍為_(kāi)_____.
四、解答題
17、如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，，，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）求平面AEC與平面ABC所成角的余弦值.
18、在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
（1）若，求A，B；
（2）求的取值范圍.
19、已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，且，是公比為的等比數(shù)列，設(shè).
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使的最大整數(shù)n.
20、北京時(shí)間4月30日晩，2023年國(guó)際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來(lái)自溫州的國(guó)際象棋男子特級(jí)大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國(guó)棋手首次奪得國(guó)際象棋男子世界冠軍.某小學(xué)為了提高同學(xué)學(xué)習(xí)國(guó)際象棋的興趣，舉行了二年級(jí)國(guó)際象棋男子團(tuán)體賽，各班級(jí)均可以報(bào)送一支5人隊(duì)伍.比賽分多輪進(jìn)行，每輪比賽每隊(duì)都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒(méi)有平局，每輪比賽結(jié)束，得勝班級(jí)得1分，反之0分.晉級(jí)賽規(guī)則如下：第一輪隨機(jī)為各隊(duì)伍匹配對(duì)手；從第二輪比賽開(kāi)始，積分相同的隊(duì)伍之間再由抽簽決定對(duì)手.具體比賽程序如下圖.這樣進(jìn)行三輪對(duì)抗之后，得2分及以上的班級(jí)晉級(jí)，反之淘汰.晉級(jí)的隊(duì)伍再進(jìn)行相應(yīng)的比賽.

（1）二（1）班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請(qǐng)列舉出該班級(jí)所有可能的首發(fā)隊(duì)員的樣本空間；
（2）現(xiàn)共有8支參賽隊(duì)伍，且實(shí)力相當(dāng)，二（3）班在第一輪比賽輸給了二（4）班，則兩隊(duì)在第三輪重新遇上的概率為多少?
（3）某班級(jí)在籌備隊(duì)員時(shí)，班內(nèi)已推選水平較為穩(wěn)定的選手4名，很多同學(xué)紛紛自薦最后一個(gè)名額.現(xiàn)共有5名自薦選手，分別為五級(jí)棋士2名、六級(jí)棋士2名和七級(jí)棋士1名，五、六、七級(jí)棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會(huì)在這5名同學(xué)中產(chǎn)生.現(xiàn)任選一名自薦同學(xué)，計(jì)算該同學(xué)被選上的概率，并用X表示選出的該同學(xué)的級(jí)別，求X的分布列.
21、已知雙曲線離心率為2，，分別是左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直線，分別交雙曲線右支于B，C兩點(diǎn).記，的面積分別為，.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求的最大值.
22、已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有3個(gè)不同的零點(diǎn).
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）求證：.
參考答案
1、答案：B
解析：，，
故
故選：B
2、答案：C
解析：由，得，
所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部之和為，
故選：C
3、答案：B
解析：對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，，可得，故B正確；
對(duì)于C：若，，則或m與n相交，或m與n異面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，，，則或或或n與相交（不垂直），故D錯(cuò)誤；
故選：B
4、答案：A
解析：由題意可得，，向量在向量上的投影向量為，
又因?yàn)轭}目所給的投影向量為，所以，解得，
故選：A
5、答案：D
解析：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得為奇函數(shù)，
對(duì)于A，，，為奇函數(shù)，
時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，
所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，故D正確.
故選：D.
6、答案：C
解析：設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，
切線方程為，即，
所以，所以，
令，則，
令，得，
時(shí)，單調(diào)遞增，
時(shí)，單調(diào)遞減，
所以有最大值為，無(wú)最小值.
故選：C
7、答案：A
解析：因?yàn)辄c(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，
在拋物線上，所以直線AB斜率一定不為0，
設(shè)直線AB的方程為：，設(shè)，
與聯(lián)立方程可得：，即，
所以，
則

，所以①，
，
所以②，由①②可得：，
所以，故.
故選：A.
8、答案：B
解析：設(shè)，再令，
則，
設(shè)，于是，
在上單調(diào)遞增，于是，從而有，
于是，故在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，
設(shè)，由導(dǎo)數(shù)值的定義：，
根據(jù)的單調(diào)性可知，在上滿(mǎn)足.
因此上，，從而，即；
設(shè)，于是，則在上單調(diào)遞減，故，
取，故，注意到，故，于是，即，
綜上.
故選：B
9、答案：BD
解析：對(duì)于A：由得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：成績(jī)?cè)跁r(shí)所占的頻率為：
成績(jī)?cè)跁r(shí)所占的頻率為：
故75%分位數(shù)所在區(qū)間為，設(shè)75%分位數(shù)為，
則，解得，故B正確；
對(duì)于C：低于60分和90分及以上的學(xué)生占的頻率為：
成績(jī)?cè)谡嫉念l率為
故按分層抽樣，應(yīng)在中抽取的人數(shù)為人，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：估計(jì)該校新生成績(jī)?cè)?0以下的人數(shù)為
故估計(jì)該校新生成績(jī)合格的人數(shù)為人，故D正確；
故選：BD
10、答案：ABD
解析：因?yàn)?，令得?br /> 所以，解得，故結(jié)論A錯(cuò)誤；
所以，
故，，，均不成立，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故結(jié)論B錯(cuò)誤；
，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故結(jié)論C正確；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故結(jié)論D錯(cuò)誤.
故選：ABD
11、答案：BC
解析：如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，

，，，
，，，，
，得，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
圓錐的體積，圓錐的表面積，
圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項(xiàng)正確；
，，當(dāng)且僅當(dāng)，即,時(shí)等號(hào)成立，
圓錐的表面積，則,時(shí)圓錐表面積有最小值，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，，,，，，圓錐的頂角不是60°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
12、答案：ABD
解析：設(shè)，，，
不妨設(shè)點(diǎn)M是，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則，
，，所以，，
在中，由余弦定理可得：，
即，
一方面，
所以，此時(shí)面積為
；
另一方面，，
所以，此時(shí)面積為
，
對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)榍?，所以?br /> 所以，
所以，所以，又，
所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，
由得，
即，所以，所以，，
對(duì)于C，令，
則，
所以，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
記，則，
函數(shù)是對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
所以，
即的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD
13、答案：64
解析：因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以二項(xiàng)式展開(kāi)式有7項(xiàng)，所以，
所以二項(xiàng)式為，
令，則，
所以展開(kāi)式中所有各項(xiàng)的系數(shù)和為64，
故答案為：64
14、答案：0或
解析：圓心到直線的距離為 ，
由得，解得或，
故答案：0或
15、答案：54
解析：當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
因?yàn)椋裕?br /> 若，則，解得，不合要求，舍去；
若，則，解得，滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，不合要求，舍去；
若，則，解得，滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，不滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，不滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，滿(mǎn)足要求，
若，則，解得，不滿(mǎn)足要求，
綜上：
故答案為：54
16、答案：
解析：依題意有，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，得，即有，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以有，即，所以，
設(shè)，則，令，得，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，所以時(shí)，，
所以的取值范圍為.
故答案為：
17、答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）設(shè)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，
所以，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，
所以在中，，連接DB，
由余弦定理可得：

，所以，
所以，所以，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，，AD,面PAD，
所以面PAD，而面PAD，所以.
又因?yàn)?，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)，所以，
，DB,面PDB，所以面PDB，
面PDB，所以.
（2）過(guò)點(diǎn)D作z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，,,,,
所以，，
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，
，令，則，，即，
平面ABC的一個(gè)法向量為，
設(shè)面AEC與面ABC所成二面角的平面角為，
則，因?yàn)槎娼菫殁g二面角，
所以，，
故面AEC與面ABC所成二面角的余弦值為.

18、答案：（1），
（2）
解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br /> 所以，
所以，
所以，
所以，
又，則，所以或，
若，又且，解得，，
若，則，顯然不符合題意，故舍去，
所以，.
（2）由（1）可知，又，所以，
所以，
由正弦定理可得
，
令，則，令，，
顯然在上單調(diào)遞增，又，，
所以，即的取值范圍為.
19、答案：（1）證明見(jiàn)解析，
（2）10
解析：（1）因?yàn)?，為?shù)列的前n項(xiàng)積，所以，
因?yàn)槭枪葹榈缺葦?shù)列，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以，
所以由，得，
，
令，則，
所以在時(shí)遞增，
因?yàn)?，?br /> 所以使的最大整數(shù)為10.
20、答案：（1）
（2）
（3）; 分布列見(jiàn)解析.
解析：（1）選手A參加了比賽，該班級(jí)所有可能的首發(fā)隊(duì)員的樣本空間：
.
（2）在第二輪比賽時(shí)，設(shè)1分隊(duì)伍為，，，其中代表二（4）班，
0分隊(duì)伍為，，，其中代表二（3）班，
在1分隊(duì)伍中比賽后失敗，其概率為，在0分隊(duì)伍中比賽后勝利，其概率為，
在第三輪比賽中進(jìn)入1分隊(duì)伍的不妨設(shè)有，，，四支隊(duì)伍，
抽簽后所有可能對(duì)手情況有，，共3種，，重新遇上的情況只有，故其概率為，
綜上：兩隊(duì)在第三輪重新遇上的概率為.
（3）設(shè)從5人中任選一人是五、六、七級(jí)棋士的事件是,，
則,且,，兩兩互斥,
，，
設(shè)“任選一名自薦同學(xué)，計(jì)算該同學(xué)被選上”,
則.
可能的取值有：5,6,7，



X的分布列為
X
5
6
7
P



21、答案：（1）
（2）
解析：（1）依題意設(shè)，，，
若，此時(shí)，，則，，不符合題意，所以，
則，，又，
所以，解得，又，所以，則，
所以雙曲線C的方程為.
（2）由（1）可知直線，，
由，消去y整理得，
所以，又，所以，
由，消去y整理得，
所以，又，所以，
綜上可得，
所以，，
又，
又
，
所以，
令，則，
所以，
令，則，所以，
所以當(dāng)時(shí)，
即時(shí).

22、答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）（i），（ii）證明過(guò)程見(jiàn)解析
解析：（1）的定義域?yàn)镽，
，
令，解得或，
令，解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）（i）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
即與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
，
則，
令，解得或，結(jié)合，
故解集為，
令，解得，結(jié)合，
解集為，
令，解得，結(jié)合，解集為，
令，解得或，結(jié)合，解集為，
綜上：在上單調(diào)遞增，在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，
注意到，，時(shí)，，
故要想與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則；
（ii）由（i）可知，，要證，只需證，
又，而在上單調(diào)遞增，故只需證明，
而，故只需證明，
而，
因?yàn)?，所以，而?br /> 所以

，
結(jié)論得證.


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