
?重慶市高2023屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)
2022.11
命審單位:重慶南開中學(xué)
注意事項(xiàng):
1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.
2.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題.每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)z,再求虛部即可
【詳解】因?yàn)椋?br />
所以z的虛部為,
故選:D
2. 已知,是不共線的向量,則是向量,平行的( )條件
A. 必要不充分 B. 充分不必要
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】由充分條件與必要條件的定義結(jié)合向量平行的條件求解即可
【詳解】當(dāng)時(shí),,,則,
所以,充分性成立;
當(dāng)時(shí),,
所以,解得或,必要性不成立;
所以是向量,平行的充分不必要條件,
故選:B
3. 某國有企業(yè)響應(yīng)國家關(guān)于進(jìn)一步深化改革,加強(qiáng)內(nèi)循環(huán)的號(hào)召,不斷自主創(chuàng)新提升產(chǎn)業(yè)技術(shù)水平,同時(shí)積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例,近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)2021年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍,其中5種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如下圖所示.則以下說法錯(cuò)誤的是( )
A. 2021年甲系列產(chǎn)品收入和2020年的一樣多
B. 2021年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多
C. 2021年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的
D. 2021年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍還多
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出2020年5種系列產(chǎn)品年總收入,根據(jù)給定的條形圖及扇形圖,逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.
【詳解】設(shè)2020年5種系列產(chǎn)品年總收入為m,則2021年5種系列產(chǎn)品年總收入為2m,
對(duì)于A,2020年甲系列產(chǎn)品收入為0.4m,2021年甲系列產(chǎn)品收入為0.4m,A正確;
對(duì)于B,2021年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和為1.1m,B正確;
對(duì)于C,2020年丁系列產(chǎn)品收入為0.15m,2021年丁系列產(chǎn)品收入為0.1m,是2020年丁系列產(chǎn)品收入的,C不正確;
對(duì)于D,2020年戊系列產(chǎn)品收入為0.15m,2021年戊系列產(chǎn)品收入為0.4m,比2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍還多,D正確.
故選:C
4. 已知平面向量,,滿足:,,且,則為( )
A. 1 B. 3 C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直可得,進(jìn)而根據(jù)向量模長的計(jì)算即可求解.
【詳解】由得,
由得,
故,
故選:B
5. 已知A,B是函數(shù)的圖像上的兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)和最低點(diǎn),且,為得到的圖像,只需要將函數(shù)的圖像( )
A. 向左平移個(gè)單位長度 B. 向右平移π個(gè)單位長度
C. 向左平移個(gè)單位長度 D. 向右平移3個(gè)單位長度
【答案】A
【解析】
【分析】因?yàn)?,?gòu)造直角三角形,可得,即可求出的值.再用三角函數(shù)的平移規(guī)則即可解決.
【詳解】由題意因?yàn)椋瑯?gòu)造直角三角形,可得,則函數(shù)的最小正周期,∴,
∴,∴只需將的圖像向左平移個(gè)單位長度,即可得到的圖像.
故選:A
6. 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,,,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)題意進(jìn)行化簡,利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小
詳解】由可得,所以即,
由結(jié)合是上的增函數(shù),可得,
因?yàn)椋?br />
所以由可得,所以,
故.
故選:D
7. 若在上存在滿足,且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求導(dǎo),判斷的單調(diào)性,分類討論即可求解.
【詳解】,
當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減,不滿足,,故舍去,
當(dāng) 時(shí),令,則 ,故當(dāng)時(shí), ,因此在單調(diào)遞增,在 單調(diào)遞減,
由于在上存在滿足,且,則 ,即 ,又,,,
由題意,若即時(shí),則,所以,
若,即時(shí),則,所以,
又
綜上:.
故選:C
8. 已知滿足,所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足),且,若恒成立,則的最小值為( )
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】由平方可得,令,則可得,又恒成立,所以,求解的范圍即可求解
【詳解】由平方可得,
令,代入有,
所以有,
令其,即,
也即,
又恒成立,
所以,
解得
所以的最小值為,
故選:A
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分,部分選對(duì)得2分,有選錯(cuò)得0分.
9. 設(shè)Z表示整數(shù)集,且集合,,則( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由集合中元素的特征,判斷兩個(gè)集合的關(guān)系,然后檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)是否正確.
【詳解】∵,由,則,
即中元素都是中元素,有;.
而對(duì)于集合,當(dāng)時(shí),,故,但,∴
由,有,A選項(xiàng)正確; , B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
由,有,∴, ,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確.
故選:AD.
10. 已知、為函數(shù)的兩個(gè)不相同的零點(diǎn),則下列式子一定正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】分析可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合可得出,利用基本不等式可判斷ABC選項(xiàng),利用特殊值法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】令可得,則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、,如下圖所示:
由圖可知,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
設(shè),則,由,可得,解得,
由,可得,解得,所以,,
對(duì)于A選項(xiàng),,A對(duì);
對(duì)于B選項(xiàng),,B對(duì);
對(duì)于C選項(xiàng),,則,C對(duì);
對(duì)于D選項(xiàng),取,則,,D錯(cuò).
故選:ABC.
11. 已知C:的焦點(diǎn),過的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則以下說法正確的是( )
A. 為定值 B. AB中點(diǎn)的軌跡方程為
C. 最小值為27 D. O在以AB為直徑的圓外
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件,先求出拋物線方程,然后設(shè)出直線方程,利用韋達(dá)定理求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式,代入斜率表達(dá)式即可判斷選項(xiàng);利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出AB中點(diǎn)的軌跡方程;利用拋物線的定理和基本不等式即可判斷選項(xiàng)C;利用平面向量數(shù)量積的大小判斷出與的夾角為銳角,進(jìn)而判斷選項(xiàng)D.
【詳解】由題意可知:拋物線方程為C:,設(shè)直線l的方程為:,
聯(lián)立,則有,所以,
對(duì)于A:,故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于B:設(shè)的中點(diǎn)為,
則有,
所以滿足,故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C:
(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于D:,所以選項(xiàng)D正確.
故選:ABD.
12. 如圖給出下列一個(gè)由正整數(shù)組成的三角形數(shù)陣,該三角形數(shù)陣的兩腰分別是一個(gè)公差為的等差數(shù)列和一個(gè)公差為的等差數(shù)列,每一行是一個(gè)公差為的等差數(shù)列.我們把這個(gè)數(shù)陣的所有數(shù)從上到下,從左到右依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:、、、、、、、、、、,其前項(xiàng)和為,則下列說法正確的有( )(參考公式:)
A. B. 第一次出現(xiàn)是
C. 中出現(xiàn)了次 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析出在第行第個(gè),求出的值,可判斷A選項(xiàng);根據(jù)每行最后一個(gè)數(shù)為奇數(shù),推導(dǎo)出第一次出現(xiàn)的位置,可判斷B選項(xiàng);分析出在數(shù)陣中出現(xiàn)的行數(shù),可判斷C選項(xiàng);計(jì)算出的值,可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A,,且,
故在第行第個(gè),則,A對(duì);
對(duì)于B,因?yàn)榈谛凶詈笠粋€(gè)數(shù)為,該數(shù)為奇數(shù),由,可得,
所以,第一次是出現(xiàn)在第行倒數(shù)第個(gè),
因?yàn)椋吹谝淮纬霈F(xiàn)是,B錯(cuò);
對(duì)于C,因?yàn)榈谝淮问浅霈F(xiàn)在第行倒數(shù)第個(gè),在第行至第行,在每行中各出現(xiàn)一次,
故在中出現(xiàn)了次,C對(duì);
對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)第行的數(shù)字之和為,則,
故
,D對(duì).
故選:ACD.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13. 已知,,則______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知條件,根據(jù)平方關(guān)系可求出的值,進(jìn)而由,然后利用兩角差的正弦公式即可求解.
【詳解】解:因?yàn)?,所以?br />
又,
所以,
所以.
故答案為:.
14. 已知數(shù)列滿足,,則______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得,然后利用累加法可求出,從而可求出.
【詳解】因?yàn)椋?br />
所以,
所以,
,
,
……,
,
所以,
因?yàn)椋?br />
所以,
所以.
故答案為:.
15. 在中,為上一點(diǎn),,,則______;若,則______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】在、中分別利用余弦定理消元可得,即可得出的值;在、中分別利用正弦定理可得出,再利用余弦定理可求得的值.
【詳解】如下圖所示:
在中,由余弦定理可得,
在中,由余弦定理可得,
消元可得,所以,;
在中,由正弦定理可得,①
在中,由正弦定理可得,②
②①可得,,
,,由余弦定理可得.
故答案為:;.
16. 已知三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊a,b,c依次成等比數(shù)列,且,,點(diǎn)T為線段AB(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),若滿足的點(diǎn)T恰好有2個(gè),則實(shí)數(shù)t的取值范圍______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角恒等變換與等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得為等邊三角形,設(shè)BC中點(diǎn)M,則,由題意若滿足的點(diǎn)T恰好有2個(gè),即需要,故,求解即可
【詳解】由,
又由,
所以,
∴,
∴,(舍)
∴,
從而,
∴,
即為等邊三角形.
設(shè)BC中點(diǎn)M,則,
,
由題意若滿足的點(diǎn)T恰好有2個(gè),即需要,
故,
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
故答案為:
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn),自1998年起,每年9月第三周為全國推廣普通話宣傳周(以下簡稱推普周).今年9月12日至18日為第25屆推普周,并以“推廣普通話,喜迎二十大”為主題.某校在“二十大”前夕舉行了推普知識(shí)競(jìng)賽,設(shè)置了甲、乙兩類問題各2道,參賽者需要答完四道題.小明同學(xué)回答甲類每題的正確率為,回答乙類每題的正確率為,且各道題作答情況互不影響.
(1)求小明兩類問題各答對(duì)1道的概率;
(2)求小明答對(duì)題目總數(shù)的分布列與期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析,
【解析】
【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解,
(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率,即可得分布列,由期望公式可計(jì)算期望.
【小問1詳解】
設(shè)表示甲類問題答對(duì)k道,表示乙類問題答對(duì)l道(,1,2,,1,2)
所求概率為
【小問2詳解】
ξ的所有可能值為0,1,2,3,4,
且,故
,
,
,
.
.
綜上知ξ分布列為
ξ
0
1
2
3
4
P
從而,ξ的期望為
18. 芻甍,中國古代數(shù)學(xué)中的一種幾何體.中國傳統(tǒng)房屋的頂部大多都是芻甍.《九章算術(shù)》中記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形,頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂”.如圖下面的五面體為一個(gè)芻甍,其五個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F(xiàn),四邊形ABCD為正方形,,平面ABCD,,,平面平面ABCD,O為BC中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面和平面所成的銳二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析;
(2)
【解析】
【分析】(1)取AD中點(diǎn)M,連接OF,OM,ME,利用線面垂直的判定定理可得到平面,故,即,在直角梯形可得到,再利用線面垂直的判定定理即可求解;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量,然后用二面角的向量解法即可求解
【小問1詳解】
取AD中點(diǎn)M,連接OF,OM,ME.
因?yàn)槠矫?,且平面,平面平面?br />
所以,又,所以
∵,O為BC中點(diǎn),∴,
又∵,,平面,
故平面,因?yàn)槠矫妫?br />
故,
又∵,∴①,
因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,,平面平面,所以平面?br />
因?yàn)槠矫?,所以?br />
所以在直角梯形中,,,,可得,,
又可得,②,
由①②,,平面,
所以平面;
【小問2詳解】
如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OM所在直線為x軸,所在直線為y軸,OF所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,
由圖可得平面BCF的一個(gè)法向量為,
由(1)知平面ADE的一個(gè)法向量為,
故,
設(shè)平面ADE和平面BCF所成的銳二面角為,
所以,即,
所以平面和平面所成的銳二面角的大小為
19. 在中,設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足.
(1)求值;
(2)若的面積為1,求邊a的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一邊角的形式,化簡后再利用正弦定理可求得結(jié)果;
(2)由三角形的面積結(jié)合(1)可得,再利用余弦定理得,利用輔助角公式化簡可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)?,所以由正弦定理得?br />
所以,
所以,
所以由正弦定理得
故.
【小問2詳解】
因?yàn)榈拿娣e,且,
所以,
所以,
所以根據(jù)余弦定理得:
,即,
可得,
所以,
其中,
因?yàn)椋?br />
則,
解得:,即邊a的最小值為.
20. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,.單調(diào)遞增等比數(shù)列滿足,,.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,求出,的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1),;
(2)存在符合條件的正整數(shù),,,,理由見解析.
【解析】
【分析】(1)利用之間的關(guān)系,即可求得,再根據(jù)題意,即可求得;
(2)根據(jù)(1)中所求,求得,再根據(jù)不等式恒成立,結(jié)合是正整數(shù),即可求得.
【小問1詳解】
由得,,
上兩式相減得:,∴,
∴是公差為2,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,∴;
∴由,,得:,,,
∴單調(diào)遞增等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問2詳解】
由(1)可得:是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
故其前n項(xiàng)和,
故不等式等價(jià)于,
即,也即,
∴, ∴,
由即恒成立,則,解得,
又為正整數(shù),故可得,將其代入,
可得:,又為正整數(shù),故.
故存在符合條件的正整數(shù),,其中,.
21. 已知橢圓C:的離心率為,橢圓的上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:與橢圓C交于異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)P,Q,直線BP,BQ與x軸相交于,,若,求證:直線過一定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析,過定點(diǎn)為
【解析】
【分析】(1)根據(jù)橢圓定義與離心率求解;
(2)將直線與橢圓聯(lián)立,寫出直線BP,BQ的方程,求出,由得到的關(guān)系,從而證明直線過一定點(diǎn).
【小問1詳解】
∵,,∴,,.
故橢圓方程為;
【小問2詳解】
聯(lián)立直線和橢圓可得,解得,
于是有:,
,.
由題意BP:,BQ:,
分別和聯(lián)立得,,,
由,得,即
整理得,
整理得,解得或者.
當(dāng)時(shí),直線過點(diǎn)B,與題意矛盾,應(yīng)舍去.
故直線的方程為:,過定點(diǎn)為.
22. 已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與x軸相切,求m的值;
(2)若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)題意可得到函數(shù)的最小值,求得答案;
(2)根據(jù)題意可得,變形為,而要證明的不等式可化為,所以只要證明即可;故設(shè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,令,進(jìn)而得,結(jié)合,即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意可得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
由圖象可知函數(shù) 的圖象在時(shí)有交點(diǎn),
此時(shí)有零點(diǎn),函數(shù)值可取正也可取得負(fù)值,函數(shù)不可能與x軸相切.
當(dāng)時(shí),在上,函數(shù)單調(diào)遞減,在上,函數(shù)單調(diào)遞增,
因?yàn)楹瘮?shù)與x軸相切,則,解得.
【小問2詳解】
證明:函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn),由(1)可知,
因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的零點(diǎn)且,則有,
即,即①,
設(shè)函數(shù),,時(shí),,
即在上單調(diào)遞增,故,即在時(shí)恒成立.
令,則,可得,即,
將①代入可得,,即.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,綜合性較強(qiáng),解答時(shí)要明確函數(shù)的單調(diào)性以及最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,解答的關(guān)鍵是能根據(jù)要證明不等式的特征,構(gòu)造合適的函數(shù),進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,證明結(jié)論.
這是一份重慶市南開中學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第五次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(Word版附解析),共26頁。
這是一份2022-2023學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(PDF版),共10頁。
這是一份重慶市南開中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 Word版無答案,共6頁。試卷主要包含了11, 已知復(fù)數(shù), 已知平面向量,,滿足, 設(shè)Z表示整數(shù)集,且集合,,則等內(nèi)容,歡迎下載使用。
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