重慶市高2023屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2023.5命審單位:重慶南開中學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求1. 已知集合，集合，則集合的元素個數(shù)為（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷.【詳解】由，消去得，即，解得或（舍去），所以或，即方程組的解為或，即函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，又集合，集合，所以即集合的元素個數(shù)為個.故選：B2. 已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由方向向量的坐標(biāo)得出直線的斜率，再求傾斜角即可.【詳解】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.故選：A3. 已知，為實(shí)數(shù)，則使得“”成立的一個充分不必要條件為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義逐項(xiàng)分析.【詳解】對于A，如果 ，例如 ，則 ，不能推出 ，如果 ，則必定有 ，既不是充分條件也不是必要條件，錯誤；對于B，如果 ，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分條件，如果 ，則 ，是必要條件，即 是 的必要不充分條件，錯誤；對于C，如果 ，因?yàn)?/span> 是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以 ，不能推出 ，例如 ，如果 ，則必有 ，是必要不充分條件，錯誤；對于D，如果 ，則必有 ，是充分條件，如果 ，例如 ，則不能推出 ，所以是充分不必有條件，正確.故選：D.4. “學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍.如果每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，那么大約經(jīng)過（   ）天后“進(jìn)步”的是“退步”的一萬倍.（）A. 20 B. 21 C. 22 D. 23【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可列出方程，求解即可，【詳解】設(shè)經(jīng)過天“進(jìn)步“的值是“退步”的值的10000倍,則，即，,故選：D．5. 哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格，它的特點(diǎn)是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃，如圖所示的幾何圖形，在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見，它是由線段和兩個圓弧、圍成，其中一個圓弧的圓心為，另一個圓弧的圓心為，圓與線段及兩個圓弧均相切，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造直角三角形，勾股定理求圓O的半徑，得到，余弦定理求，利用向量數(shù)量積公式求.【詳解】若，則圓弧、的半徑為2，設(shè)圓O的半徑為，則，過O作，則，，中，，即，解得，則有，中，由余弦定理得，
．故選：A.6. 將函數(shù)的圖像向左平移個單位后的函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由平移變換寫出的表達(dá)式，再由對稱性求得，從而可得最小值．【詳解】，將函數(shù)圖像向左平行移動個單位后的函數(shù)記為，則，而函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱有，，，()，，實(shí)數(shù)的最小值為．故選：C．7. 若的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和相等，且第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則有序?qū)崝?shù)對共有（    ）組不同的解A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：由第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大知的可能取值為9，10，11，又由題得：令x=1，有，當(dāng)，11時，；當(dāng)時，或，故有序?qū)崝?shù)對共有4組不同的解，分別為 .故選：D.8. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：，平行四邊形的三個頂點(diǎn)A，，在橢圓上，若直線和的斜率乘積為，四邊形的面積為，則橢圓的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角換元設(shè)，，代入橢圓方程可得，再根據(jù)三角形面積的向量公式及斜率之積計(jì)算即可.【詳解】先證三角形面積公式的向量形式：在中，，則 ，而設(shè)，，由題意可知;，所以，將坐標(biāo)代入橢圓方程有，則所以四邊形的面積為，即，又根據(jù)和的斜率乘積為知，所以，解之得：，．故選：B二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9. 下列命題正確的有（    ）A. 空間中兩兩相交的三條直線一定共面B. 已知不重合的兩個平面，，則存在直線，，使得，為異面直線C. 過平面外一定點(diǎn)，有且只有一個平面與平行D. 已知空間中有兩個角，，若直線直線，直線直線，則或【答案】BC【解析】【分析】利用平面性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用兩平面位置關(guān)系和異面直線定義判斷選項(xiàng)B；利用線面垂直的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；舉反例否定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：空間中兩兩相交的三條直線可以共面也可以不共面.判斷錯誤；選項(xiàng)B：已知不重合的兩個平面，，則，或，相交，兩種情況均存在直線，，使得，為異面直線.判斷正確；選項(xiàng)C：過平面外一定點(diǎn)，有且只有一條直線m與平面垂直，過點(diǎn)有且只有一個平面與直線m垂直，則.則過平面外一定點(diǎn)，有且只有一個平面與平行. 判斷正確；選項(xiàng)D：在如圖正方體中，直線直線，直線直線，由，可得，且.判斷錯誤.故選：BC10. 學(xué)校北園食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同學(xué)決定每隔9天去老麻抄手窗口消費(fèi)一次，連續(xù)去了5次，他發(fā)現(xiàn)這5次的日期中沒有星期天，則小明同學(xué)在這5次中第一次去北園食堂可能是（    ）A. 星期一 B. 星期三C. 星期五 D. 星期六【答案】BD【解析】【分析】依題意每隔天去一次，即每次都是在上一次的星期數(shù)往后數(shù)三天，一一列舉即可判斷.【詳解】若第一次是星期一，則第二次是星期四，第三次是星期日，不符合題意，故A錯誤；若第一次是星期三，則第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合題意，故B正確；若第一次是星期五，則第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合題意，故C錯誤；若第一次是星期六，則第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合題意，故D正確；故選：BD11. 某項(xiàng)科學(xué)素養(yǎng)測試規(guī)則為：系統(tǒng)隨機(jī)抽取5道測試題目，規(guī)定：要求答題者達(dá)到等級評定要求或答完5道題方能結(jié)束測試．若答題者連續(xù)做對4道，則系統(tǒng)立即結(jié)束測試，并評定能力等級為；若連續(xù)做錯3道題目，則系統(tǒng)自動終止測試，評定能力等級為；其它情形評定能力等級為．已知小華同學(xué)做對每道題的概率均為，且他每道題是否答對相互獨(dú)立，則以下說法正確的是（    ）A. 小華能力等級評定為的概率為B. 小華能力等級評定為的概率為C. 小華只做了4道題目的概率為D. 小華做完5道題目概率為【答案】ABC【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的概率和對立事件的概率可求四個選項(xiàng)，根據(jù)結(jié)果判斷正誤.【詳解】小華能力等級評定為，則需要連續(xù)做對4道題，所以，A正確；小華能力等級評定為，則他連續(xù)做錯3道題目，有四種情況，所以．由題意小華能力等級評定為的概率為，B正確；小華只做了4道題目有兩種情況，一是4道題全對，二是第1題對了，后續(xù)3道題目全錯，其概率為，C正確；小華做完3道題目結(jié)束測試的概率為，小華做完5道題目的概率為，D不正確．故選：ABC.12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的有（    ）A. ，函數(shù)是奇函數(shù)B. ，使得過原點(diǎn)至少可以作的一條切線C. ，方程一定有實(shí)根D. ，使得方程有實(shí)根【答案】AD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由奇函數(shù)的定義判斷；選項(xiàng)B，通過聯(lián)立方程組判斷切線是否存在；選項(xiàng)C，由正弦函數(shù)的有界性判斷方程的解；選項(xiàng)D，特殊值法判斷存在性.【詳解】函數(shù)，定義域，且，函數(shù)是奇函數(shù)，A選項(xiàng)正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程：，得，，直線不可能是的一條切線， B選項(xiàng)錯誤；若，，則，得，即，由的有界性，顯然不一定有解，C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)，，顯然存在，，使方程有解，D選項(xiàng)正確.故選：AD三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的最大值為__________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義有，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義有，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，所以的最大值為，故答案為：.14. 是公差不為零的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若，，，成等比數(shù)列，則______.【答案】1012【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)與求和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，代入即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，則，所以，因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，即解得或(不合題意，舍去)，所以，解得，所以，所以.故答案為：101215. 函數(shù)的值域?yàn)?/span>____．【答案】【解析】【分析】利用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)即可求得的值域.【詳解】令，則，則的值域轉(zhuǎn)化為，的值域，，則，則的值域?yàn)?/span>，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：16. 若函數(shù)與函數(shù)的圖像恰有三個不同交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】依題意，函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則有兩個不同的實(shí)數(shù)根，三個不同的零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，則三次函數(shù)的對稱中心在軸上，根據(jù)不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)與函數(shù)圖像三個不同交點(diǎn)，等價于函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，即的圖像與軸有三個交點(diǎn)，由，故必有方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則，，三次函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，由的圖像與軸三個不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，則的圖像的對稱中心一定在軸上，，令，令得，則函數(shù)圖像的對稱中心橫坐標(biāo)為，當(dāng)時符合題意，，化簡整理即有，故，且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在中，內(nèi)角A、、所對的邊分別為、、，已知．（1）求角A的大?。?/span>（2）點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換化簡即可；（2）利用正弦定理將線段比值轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的三角函數(shù)值計(jì)算范圍即可.【小問1詳解】由，結(jié)合正弦定理可得：因?yàn)?/span>，所以即，所以，而，所以；【小問2詳解】由知:，所以，即    在中，有，，由正弦定理可得：   所以由可得，所以.18. 移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費(fèi)等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達(dá)億戶，成為全球主要經(jīng)濟(jì)體中首個實(shí)現(xiàn)“物超人”的國家．下圖是2018-2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)與年份代碼的散點(diǎn)圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的分別為1~5．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖推斷兩個變量是否線性相關(guān)．計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到），并推斷它們的相關(guān)程度；（2）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，【答案】（1）0.98，兩個變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性    （2），2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)億戶．【解析】【分析】（1）由散點(diǎn)圖可判斷是否線性相關(guān)，再根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)即可；（2）由數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程，并由方程計(jì)算預(yù)測即可.【小問1詳解】由圖可知，兩個變量線性相關(guān)．由已知條件可得：，，所以，   ，，所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個變量具有很強(qiáng)線性相關(guān)性．小問2詳解】結(jié)合（1）可知，，   所以回歸方程是：，    當(dāng)時，有，即預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)為億戶．19. 已知平行六面體中，底面和側(cè)面都是邊長為2的菱形，平面平面，．（1）求證：四邊形是正方形；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【小問1詳解】連接，作于．因?yàn)?/span>是菱形，所以，又因?yàn)?/span>，，面，所以面，而面，所以，又平面平面，平面平面，所以面，又因?yàn)?/span>面ABCD，所以.、相交，且、面，所以面，面，所以，而為菱形， 所以四邊形是正方形．【小問2詳解】在時，易知為的中點(diǎn)，如圖以H為中心，建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，則，故   設(shè)平面的一個法向量，則，即令，則，解得，    則   又因?yàn)?/span>為銳二面角，所以的余弦值為．20. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．【答案】（1）證明見解析，    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，作差得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，方法一：令，則，即可得證；方法二：利用放縮法得到，再累乘即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，相減得，所以， 所以是以首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列，即，所以.【小問2詳解】由（1）可得，即證： 方法一：令．則， 因?yàn)?/span>，所以，所以單調(diào)遞增，即，即．方法二：放縮法：，所以，，，，相乘得即21. 已知點(diǎn)，動點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，直線，與圓的另一個交點(diǎn)分別為，，求與面積之比的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用拋物線定義即可求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求得的表達(dá)式，再利用均值定理即可求得其最大值.【小問1詳解】過點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則，則點(diǎn)到直線和定點(diǎn)距離相等，則的軌跡為以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線的方程為：【小問2詳解】設(shè)A，，，坐標(biāo)分別為，，，，因?yàn)?/span>    令直線：，，：，，由得：，由得：所以    令：，與聯(lián)立得：，所以，，，則所以，代入得：   又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號所以與面積之比的最大值為22. 對于定義在上的函數(shù)，若存在，使得，則稱為的一個不動點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，已知為函數(shù)的不動點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且對任意滿足條件的成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（1）；    （2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的不動點(diǎn)定義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理探討函數(shù)在上的零點(diǎn)作答.（2）由（1）可得，結(jié)合給定條件確定出k值2，再利用導(dǎo)數(shù)講明不等式作答.【小問1詳解】依題意，方程在內(nèi)有根，且，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在，上都遞增，而，因此函數(shù)在、無零點(diǎn)，當(dāng)時，令，，，則函數(shù)在，上都遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，無零點(diǎn)，當(dāng)時，，則存在，使得，即，當(dāng)時，遞減，在時，遞增，，而，有，，因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞減，，無零點(diǎn)，當(dāng)時，，則存在，使得，即，當(dāng)時，遞減，在時，遞增，，，令，求導(dǎo)得，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此存在，使得，即函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】依題意，，于是，即因?yàn)?/span>，取，有，因此取2，下證：對任意成立，令，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，，即對恒成立，當(dāng)時，，令，，函數(shù)在上遞增，，即，從而成立，當(dāng)時，只需證：成立，令，，只需證，，令，，顯然在上遞增，，，即存在，使，且當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，，整理得，因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，所以，所以在恒成立，即在遞增，顯然，所以成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題. 
 
 

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