?2022-2023學年江西省撫州市資溪一中高二（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題（每題5分，共40分）
1．若集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，則集合A∪B＝（　?。?br /> A．（﹣1，4） B．{x|x＞2} C．{﹣1，4} D．（﹣1，+∞）
2．已知直線l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直線l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，則“a＝﹣9”是“l(fā)1∥l2”的（　?。?br /> A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
3．已知平面內(nèi)兩定點F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），下列條件中滿足動點P的軌跡為雙曲線的是（　　）
A．|PF1|﹣|PF2|＝±3 B．|PF1|﹣|PF2|＝±4
C．|PF1|﹣|PF2|＝±5 D．
4．下列說法中正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①命題：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，則x＝y(tǒng)＝1”，用反證法證明時應假設x≠1或y≠l．
②若a+b＞2，則a，b中至少有一個大于1．
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，則y＝±2．
④命題：“?m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：“?m∈[0，1]，總有x+≥2m．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣e，g（x）＝lnx+1，若對于?x1∈R，?x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），則x1﹣x2的最大值為（　?。?br /> A．e B．1﹣e C．1 D．
6．設數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），則a18＝（　?。?br /> A． B． C．3 D．
7．已知函數(shù)f（x）是定義域為{x|x≠0}的奇函數(shù)，f'（x）是其導函數(shù)，f（2）＝2，當x＞0時，xf'（x）﹣f（x）＜0，則不等式的解集是（　?。?br /> A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
8．已知圓與拋物線y2＝2px（b＞p＞0）的兩個交點是A，B．過點A，B分別作圓和拋物線的切線l1，l2，則（　　）
A．存在兩個不同的b使得兩個交點均滿足l1⊥l2
B．存在兩個不同的b使得僅一個交點滿足l1⊥l2
C．僅存在唯一的b使得兩個交點均滿足l1⊥l2
D．僅存在唯一的b使得僅一個交點滿足l1⊥l2
二、多選題（每題5分，共20分）
（多選）9．在空間直角坐標系中，已知向量（其中abc≠0），定點P0（x0，y0，z0），異于點P0的動點P（x，y，z），則以下說法正確的是（　?。?br /> A．若為直線PP0的方向向量，則
B．若為直線PP0的方向向量，則a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
C．若為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則
D．若為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
（多選）10．設離散型隨機變量X的分布列為若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結果正確的有（　?。?br /> X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
A．q＝0.1 B．E（X）＝2，D（X）＝1.4
C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
（多選）11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若a2＝5，S5＝35，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)1＝2
B．
C．若數(shù)列的前n項和為Tn，則
D．若，則g（n）的最小值為
（多選）12．已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（e）＝e，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．f（x）＞0
B．若f（x）+x＞2e，則x∈（e，+∞）
C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
D．任意x1，x2∈（0，+∞），都有
三、填空題（共20分）
13．已知，，，則P（B）＝　 ?。?br /> 14．若（1+x）9﹣ax（1+x）9的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為 　 ?。?br /> 15．已知等差數(shù)列{an}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，且sina5≠0，當且僅當n＝10時，數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最小值，則首項a1的取值范圍是　 　．
16．已知函數(shù)的定義域為，若對任意的x1，，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 　 ?。?br /> 四、解答題（共70分）
17．已知等差數(shù)列{an}滿足an+an+1＝4n．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若bn＝ancosnπ，記{bn}的前n項和為Sn，求S2n．
18．如圖所示四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E為PD的中點，F(xiàn)為PC中點．
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值．

19．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量值落在[495，510）內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．
注：表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．
產(chǎn)品重量（克）
頻數(shù)
[490，495）
6
[495，500）
8
[500，505）
14
[505，510）
8
[510，515]
4

（1）根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；
（2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；
（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

甲流水線
乙流水線
合計
合格



不合格



合計



參考公式：，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．已知函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點在y＝f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令，證明：；
（3）設bn＝ln（an﹣1），是否存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比數(shù)列，若存在，求出所有的k，若不存在，請說明理由．
21．設橢圓E的方程為（a＞1），點O為坐標原點，點A，B的坐標分別為（a，0），（0，1），點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線l與橢圓E交于P，Q兩點，且恒有OP⊥OQ，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由．
22．已知：函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）當b＝0，a＞0時，試討論函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a?g（x）﹣1的零點個數(shù)．


參考答案
一、單選題（每題5分，共40分）
1．若集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，則集合A∪B＝（　?。?br /> A．（﹣1，4） B．{x|x＞2} C．{﹣1，4} D．（﹣1，+∞）
【分析】根據(jù)集合并集概念直接得到．
解：A＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，
A∪B＝{x|x＞2}∪{x|﹣1＜x＜4}＝{x|x＞﹣1}．
故選：D．
【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．
2．已知直線l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直線l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，則“a＝﹣9”是“l(fā)1∥l2”的（　?。?br /> A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【分析】根據(jù)直線平行，充分必要條件的定義，判斷即可．
解：直線l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直線l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，
∵l1∥l2，∴，解得a＝﹣9．
則“a＝﹣9”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，
故選：C．
【點評】本題考查直線平行，充分必要條件的定義，屬于基礎題．
3．已知平面內(nèi)兩定點F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），下列條件中滿足動點P的軌跡為雙曲線的是（　?。?br /> A．|PF1|﹣|PF2|＝±3 B．|PF1|﹣|PF2|＝±4
C．|PF1|﹣|PF2|＝±5 D．
【分析】由雙曲線的定義對選項分別判斷可得結論．
解：對于A，當|PF1|﹣|PF2|＝±3時，||PF1|﹣|PF2||＝3＜|F1F2|＝4，
滿足雙曲線的定義，所以點P的軌跡是雙曲線；
對于B，當|PF1|﹣|PF2|＝±4時，||PF1|﹣|PF2||＝4＝|F1F2|＝4，
點P的軌跡是兩條射線；
對于C，當|PF1|﹣|PF2|＝±5時，||PF1|﹣|PF2||＝5＞|F1F2|＝4，
點P的軌跡不存在；
對于D，|PF1|2﹣|PF2|2＝±4時，設P（x，y），則（x+2）2+y2﹣[（x﹣2）2+y2]＝8x＝±4，
解得x＝±，P的軌跡為兩條直線．
故選：A．
【點評】本題考查雙曲線的定義，考查方程思想和推理能力，屬于基礎題．
4．下列說法中正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①命題：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，則x＝y(tǒng)＝1”，用反證法證明時應假設x≠1或y≠l．
②若a+b＞2，則a，b中至少有一個大于1．
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，則y＝±2．
④命題：“?m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：“?m∈[0，1]，總有x+≥2m．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由反證法的反設可判斷①；由反證法可判斷②；由等比數(shù)列的中項性質(zhì)可判斷③；由特稱命題的否定為全稱命題可判斷④．
解：①命題：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，則x＝y(tǒng)＝1”，用反證法證明時應假設x≠1或y≠l，故①正確；
②若a+b＞2，若a≤1，且b≤1，可得a+b≤2，這與a+b＞2矛盾，故a，b中至少有一個大于1，故②正確；
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，可得y2＝﹣1×（﹣4）＝4，由于﹣1，y，﹣4都為奇數(shù)項，可得y＝﹣2．
故③錯誤；
④命題：“?m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：
“?m∈[0，1]，總有x+≥2m”，故④正確．
故選：C．
【點評】本題考查簡易邏輯的知識，主要是反證法的步驟、等比數(shù)列的性質(zhì)和命題的否定，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．
5．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣e，g（x）＝lnx+1，若對于?x1∈R，?x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），則x1﹣x2的最大值為（　　）
A．e B．1﹣e C．1 D．
【分析】令f（x1）＝g（x2）＝t＞﹣e，則e﹣e＝t，lnx2+1＝t，x1＝ln（e+t），x2＝et﹣1，令h（t）＝x1﹣x2＝ln（e+t）﹣et﹣1，（t＞﹣e），再通過二次求導可求得最大值．
解：令f（x1）＝g（x2）＝t＞﹣e，
則e﹣e＝t，lnx2+1＝t，
x1＝ln（e+t），x2＝et﹣1，
令h（t）＝x1﹣x2＝ln（e+t）﹣et﹣1，（t＞﹣e），
∴h′（t）＝﹣et﹣1，h″（t）＝﹣﹣et﹣1＜0在（﹣e，+∞）上恒成立，
∴h′（t）為（﹣e，+∞）上的減函數(shù)，
又 h′（0）＝﹣e﹣1＝0，∴﹣e＜t＜0時，h′（t）＞h′（0）＝0，x＞0時，h′（t）＞h′（0）＝0，
∴h（t）在（﹣e，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
∴t＝0時，h（t）取得最大值h（0）＝ln（e+0）﹣e0﹣1＝1﹣．
即x1﹣x2的最大值為1﹣．
故選：D．
【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬難題．
6．設數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），則a18＝（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】令bn＝nan，則由2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得2bn＝bn﹣1+bn+1，從而數(shù)列{bn}構成以1為首項，以2a2﹣a1＝3為公差的等差數(shù)列，推導出an＝，由此能求出a18．
解：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），
∴令bn＝nan，
則由2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得2bn＝bn﹣1+bn+1，
∴數(shù)列{bn}構成以1為首項，以2a2﹣a1＝3為公差的等差數(shù)列，
則bn＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
即nan＝3n﹣2，∴an＝，
∴＝．
故選：B．
【點評】本題考查數(shù)列的第18項的求法，考查構造法、等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
7．已知函數(shù)f（x）是定義域為{x|x≠0}的奇函數(shù)，f'（x）是其導函數(shù)，f（2）＝2，當x＞0時，xf'（x）﹣f（x）＜0，則不等式的解集是（　?。?br /> A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】由題意構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，再由奇偶性解不等式即可．
解：令，則，
當x＞0時，xf'（x）﹣f（x）＜0，故g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又，
所以即g（x）＜g（2），
因為函數(shù)f（x）是定義域為{x|x≠0}的奇函數(shù)，
所以，
即g（x）為定義域為{x|x≠0}的偶函數(shù)，
所以由g（x）＜g（2）可得g（|x|）＜g（2），
所以|x|＞2，即x＞2或x＜﹣2，
即不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故選：B．
【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性關系的應用，還考查了單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應用，屬于基礎題．
8．已知圓與拋物線y2＝2px（b＞p＞0）的兩個交點是A，B．過點A，B分別作圓和拋物線的切線l1，l2，則（　?。?br /> A．存在兩個不同的b使得兩個交點均滿足l1⊥l2
B．存在兩個不同的b使得僅一個交點滿足l1⊥l2
C．僅存在唯一的b使得兩個交點均滿足l1⊥l2
D．僅存在唯一的b使得僅一個交點滿足l1⊥l2
【分析】利用拋物線方程設出交點坐標，再由直線l1與l2垂直及交點在圓上求出b，p的關系，然后逐項分析作答．
解：設圓與拋物線的交點為，y0＞0，
顯然直線l2的斜率存在且不為0，設l2方程為：，
聯(lián)立直線l2方程與拋物線方程，可得，
而k≠0，則，解得，
由l1⊥l2及圓的性質(zhì)知，直線l2過圓心及點，則，即，
又，即，因此有，
解得（負值舍去），于是有滿足l1⊥l2的兩曲線交點只有點，故A，C錯誤；
顯然，即正數(shù)p值確定，b值也隨之確定，并且唯一，故B錯誤，D正確．
故選：D．
【點評】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．
二、多選題（每題5分，共20分）
（多選）9．在空間直角坐標系中，已知向量（其中abc≠0），定點P0（x0，y0，z0），異于點P0的動點P（x，y，z），則以下說法正確的是（　?。?br /> A．若為直線PP0的方向向量，則
B．若為直線PP0的方向向量，則a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
C．若為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則
D．若為平面α的法向量，面α經(jīng)過P0和P，則a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
【分析】由直線的方向向量、平面向量的概念能求出結果．
解：直線是直線P0P的一個方向向量，
＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），
是直線PP0的方向向量，則，故A正確，B錯誤；
P0P在平面α內(nèi)，為平面α的法向量，則⊥，
∴＝a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，故C錯誤，D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查平面的法向量、直線的方向向量等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
（多選）10．設離散型隨機變量X的分布列為若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結果正確的有（　?。?br /> X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
A．q＝0.1 B．E（X）＝2，D（X）＝1.4
C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
【分析】對于A，結合分布列的性質(zhì)，即可求解，對于B，C，結合期望和方差公式，即可求解，對于D，結合期望和方差的線性公式，即可求解．
解：由分布列的性質(zhì)可得，q+0.4+0.1+0.2+0.2＝1，解得q＝0.1，故A正確，
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，故B錯誤，C正確，
∵Y＝2X+1，
∴E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5，D（Y）＝D（2X+1）＝22D（X）＝4×1.8＝7.2，故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查了分布列的性質(zhì)，以及期望和方差公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．
（多選）11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若a2＝5，S5＝35，則下列結論中正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)1＝2
B．
C．若數(shù)列的前n項和為Tn，則
D．若，則g（n）的最小值為
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，求出首項a1和公差d，從而知an和Sn，再由裂項求和法求Tn，最后結合基本不等式，可得g（n）的最小值．
解：設數(shù)列{an}的公差為d，
由a2＝5，S5＝35，知，解得a1＝3，d＝2，即選項A錯誤；
所以an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1，Sn＝＝n（n+2）＝n2+2n，即選項B正確；
所以＝＝（﹣），
故Tn＝（1﹣+﹣+﹣+……+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜，即選項C正確；
＝＝n++2（n∈N*）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）＝g（2）＝5，所以g（n）的最小值為5，即選項D錯誤．
故選：BC．
【點評】本題考查數(shù)列的綜合問題，熟練掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，裂項求和法，基本不等式等是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
（多選）12．已知定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）滿足xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（e）＝e，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結論正確的是（　?。?br /> A．f（x）＞0
B．若f（x）+x＞2e，則x∈（e，+∞）
C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
D．任意x1，x2∈（0，+∞），都有
【分析】由xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，得，推出（其中C為常數(shù)），求出函數(shù)的解析式，通過f（e）＝e，求解C，判斷函數(shù)值判斷A；導函數(shù)的符號判斷C；函數(shù)的單調(diào)性判斷B；結合函數(shù)的凹凸性，判斷D即可．
解：由xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，得，即，
從而得（其中C為常數(shù)），即，
由，得，所以，故A正確；
又≥0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故C正確；
令g（x）＝f（x）+x，則g（x）在（0，+∞）上遞增，不等式f（x）+x＞2e?g（x）＞g（e），得x∈（e，+∞），故B正確；
由得，當時，f''（x）＜0；當時，f''（x）＞0，
所以f（x）的圖象在部分上凸，在部分下凸，故D不正確，
故選：ABC．
【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值的求法，考查轉化思想以及計算能力，是難題．
三、填空題（共20分）
13．已知，，，則P（B）＝　　．
【分析】根據(jù)條件概率公式以及全概率公式列式求解即可．
解：P（A）＝，P（）＝，
P（B）＝P（B|A）P（A）+P（B|）P（）＝P（B|A）P（A）+[1﹣P（|）]P（）＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查全概率公式及條件概率計算公式，是基礎題．
14．若（1+x）9﹣ax（1+x）9的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為 　　．
【分析】根據(jù)已知條件，結合二項式定理，以及賦值法，即可求解．
解：設（1+x）9﹣ax（1+x）9＝（1﹣ax）（1+x）9
＝，
令x＝1，得29×（1﹣a）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10①；
令x＝﹣1，得0＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10②，
②+①得29×（1﹣a）＝2（a0+a2+a4+a6+a8+a10），
（1+x）9﹣ax（1+x）9的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，
則a0+a2+a4+a6+a8+a10＝64，所以28（1﹣a）＝64＝26，解得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．
15．已知等差數(shù)列{an}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，且sina5≠0，當且僅當n＝10時，數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最小值，則首項a1的取值范圍是　?。?br /> 【分析】由cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，利用和差化積可得﹣2sina5sin（﹣2d）＝2sina5，由sina5≠0，可得sin（2d）＝1，由公差d∈（0，1），可得2d＝．根據(jù)當且僅當n＝10時，數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最小值，可得a10＜0，a11＞0，解出即可得出．
解：∵cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，
∴﹣2sina5sin（﹣2d）＝2sina5，
∵sina5≠0，∴sin（2d）＝1，
∵公差d∈（0，1），∴2d＝，解得d＝．
∵當且僅當n＝10時，數(shù)列{an}的前n項和Sn取得最小值，
∴a10＜0，a11＞0，
∴＜0，＞0，
解得＜a1＜，
∴首項a1的取值范圍是：．
故答案為：．
【點評】本題考查了和差化積、等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
16．已知函數(shù)的定義域為，若對任意的x1，，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 ?。ī仭?，4]　．
【分析】由參數(shù)分離可得m＜||恒成立．令g（）＝f（x）＝，求得g（x）的解析式，以及導數(shù)，運用導數(shù)的幾何意義，可得所求范圍．
解：對任意的x1，，恒成立，
等價為m（x1+x2）＜||?x12x22，即m＜||恒成立．
令g（）＝f（x）＝，
由x∈（0，]，可得g（x）＝x+xlnx，x≥e2，g′（x）＝2+lnx≥4，
又||＝||表示曲線y＝g（x）在[e2，+∞）上不同兩點的割線的斜率的絕對值．
則||＞4，即m≤4，m的取值范圍是（﹣∞，4]．
故答案為：（﹣∞，4]．
【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題解法，以及導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．
四、解答題（共70分）
17．已知等差數(shù)列{an}滿足an+an+1＝4n．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若bn＝ancosnπ，記{bn}的前n項和為Sn，求S2n．
【分析】（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到an+an+1＝2dn+2a1﹣d，即可求出a1、d，從而得到通項公式；
（2）由（1）可得，即可得到b2k﹣1+b2k＝2，利用并項求和法計算可得．
解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，所以an＝a1+（n﹣1）d＝nd+a1﹣d，
所以an+an+1＝2dn+2a1﹣d＝4n，
所以，解得，
則an＝2n﹣1；
（2）因為an＝2n﹣1且bn＝ancosnπ，所以，
所以b2k﹣1+b2k＝﹣（4k﹣3）+（4k﹣1）＝2，
所以S2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+?+（b2n﹣1+b2n）＝2n．
【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式和并項求和，屬于中檔題．
18．如圖所示四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E為PD的中點，F(xiàn)為PC中點．
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值．

【分析】（1）法一：連接BD，交AC于O，取PE中點G，連接BG，F(xiàn)G，EO，證明平面BFG∥平面ACE，即可證得BF∥平面ACE；
法二：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點G，連接FD交CE于H，連接OH，則證明BF∥OH，即可證得BF∥平面ACE；
（2）確定∠DPC為直線PD與平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直線PD與平面PAC所成的角的正弦值．
解：（1）證明：法一：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點G，連接BG，F(xiàn)G，EO，
則在△PCE中，F(xiàn)G∥CE，
又EC?平面ACE，F(xiàn)G?平面ACE，
所以FG∥平面ACE，
因為BC∥AD，
所以，
則OE∥BG，
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，
所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG＝G，
所以平面BFG∥平面ACE，
因為BF?平面BFG，
所以BF∥平面ACE；

法二：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點G，
連接FD交CE于H，連接OH，則FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，
則，
在底面ABCD中，BC∥AD，
所以，
所以，
故BF∥OH，
又OH?平面ACE，BF?平面ACE，
所以BF∥平面ACE；
（2）由（1）可知，CD⊥平面PAC，
所以∠DPC為直線PD與平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，，
所以，
所以直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為．
【點評】本題考查線面平行，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確找出線面角．
19．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量值落在[495，510）內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．
注：表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．
產(chǎn)品重量（克）
頻數(shù)
[490，495）
6
[495，500）
8
[500，505）
14
[505，510）
8
[510，515]
4

（1）根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；
（2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；
（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．

甲流水線
乙流水線
合計
合格



不合格



合計



參考公式：，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本容量求出每一組的頻率，作出頻率分布直方圖；
（2）根據(jù)所給的樣本中的合格品數(shù)，除以樣本容量做出合格品的頻率，可估計從兩條流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合格品的概率；
（3）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測值的公式，代入數(shù)據(jù)求出觀測值，同臨界值進行比較，得到有90%的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．
解：（1）甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：

（2）由表1知甲流水線樣本中合格品數(shù)為8+14+8＝30，
故甲流水線樣本中合格品的頻率為，
由圖1知乙流水線樣本中合格品的頻率為（0.06+0.09+0.03）×5＝0.9，
據(jù)此可估計從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75；
從乙流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9．
（3）由（2）知甲流水線樣本中合格品數(shù)為30，乙流水線樣本中合格品數(shù)為0.9×40＝36．
2×2列聯(lián)表如下：

甲流水線
乙流水線
合計
合格
30
36
66
不合格
10
4
14
合計
40
40
80
∵，
∴有90%的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關．
【點評】本題主要考查獨立性檢驗，頻率分布直方圖，考查運算求解能力，屬于中檔題．
20．已知函數(shù)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點在y＝f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令，證明：；
（3）設bn＝ln（an﹣1），是否存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比數(shù)列，若存在，求出所有的k，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由于點（n，Sn）在f（x）的圖象上，可得Sn＝n2+n，利用“an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）；當n＝1時，a1＝S1，”即可得出；
（2）cn＝+＝+＝2+﹣，利用放縮法即可證明；
（3）假設存在，由已知及bk，bk+1，bk+2成等比數(shù)列，可得ln2（ak+1﹣1）＝ln（ak﹣1）ln（ak+2﹣1），設g（x）＝（x≥2），利用導數(shù)判斷單調(diào)性，得出矛盾，即可得結論．
解：（1）∵點（n，Sn）在f（x）的圖象上，
∴Sn＝n2+n，
∴Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1），兩式相減得an＝Sn﹣Sn﹣1＝n+1（n≥2）；
當n＝1時，a1＝S1＝2，適合上式，
∴an＝n+1（n∈N*），∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n+1．
（2）cn＝+＝+＝2+﹣，
∴c1+c2+…+cn＝2+﹣+2+﹣+…+2+﹣＝2n+﹣．
∵﹣＞0（n≥1），∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．
（3）假設存在，∵bk，bk+1，bk+2成等比數(shù)列，
∴bk+12＝bkbk+2，∴l(xiāng)n2（ak+1﹣1）＝ln（ak﹣1）ln（ak+2﹣1），
設g（x）＝（x≥2），∴g′（x）＝
設h（x）＝xlnx﹣（x+1）ln（x+1）（x≥2），∴h′（x）＝lnx﹣ln（x+1）＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（2）＝2ln2﹣3ln3＝ln4﹣ln27＜0，
∴g′（x）＜0，∴g（k）＞g（k+1），
∴＞，
∴＝不成立，
∴不存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比數(shù)列．
【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推式，不等式的證明，反證法的運用，綜合考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
21．設橢圓E的方程為（a＞1），點O為坐標原點，點A，B的坐標分別為（a，0），（0，1），點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線l與橢圓E交于P，Q兩點，且恒有OP⊥OQ，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）設點M的坐標為（x0，y0），由已知可得x0＝，y0＝，結合已知可得＝，求解即可；
（2）當直線斜率不存在時，直線l的方程為x＝n，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立方程可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，進而由?＝x1x2+y1y2＝0，可求解．
解：（1）設點M的坐標為（x0，y0），點M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，
∴＝＝（﹣a，1）＝（﹣a，），
＝+＝（a，0）+（﹣a，）＝（，），
故x0＝，y0＝，∵＝，∴＝，解得a＝2，
∴橢圓的方程的方程為+y2＝1；
（2）當直線斜率不存在時，直線l的方程為x＝n，
∴n2+4n2＝4，∴n2＝，此時d＝，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx+m，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），原點O到直線l的距離為d，∴＝d，
整理得m2＝d2（k2+1），
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
Δ＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+k（x1+x2）+m2
＝k2×+k×（﹣）+m2＝，
?＝x1x2+y1y2＝+＝0，
∴5m2﹣4k2﹣4＝0，∴5d2（1+k2）﹣4k2﹣4＝0恒成立，
∴（5d2﹣4）（1+k2）＝0恒成立，∴5d2﹣4＝0，
∴d＝，∴定圓的方程為x2+y2＝．
∴當?＝0時，存在定圓C與直線l相切，其方程為x2+y2＝．
【點評】本題考查求橢圓的方程，考查求圓的方程，考查運算求解能力，屬中檔題．
22．已知：函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）當b＝0，a＞0時，試討論函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a?g（x）﹣1的零點個數(shù)．
【分析】（1）求得g（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由點斜式方程可得所求切線方程；
（2）求得f（x）的導數(shù)，討論當b≤0時，當b≥1，當0＜b＜1，判斷單調(diào)性，可得最大值；
（3）當b＝0，a＞0時，函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a?g（x）﹣1的零點個數(shù)即為lnx＝a（1﹣x﹣2）的根的個數(shù)，討論當x＝1，當x＞0且x≠1時，由參數(shù)分離，構造函數(shù)，求得導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得所求零點個數(shù)．
解：（1）g（x）＝1﹣x﹣2的導數(shù)為g′（x）＝2x﹣3，
可得函數(shù)g（x）在點（1，0）處的切線斜率為2，
可得函數(shù)g（x）在點（1，0）處的切線方程為y＝2x﹣2；
（2）f（x）＝1+lnx﹣bx的導數(shù)為f′（x）＝﹣b，
當b≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，可得f（x）在（0，1]上的最大值為f（1）＝1﹣b；
當b≥1即≤1，可得f（x）在（0，）遞增，在（，1）遞減，可得f（x）的最大值為f（）＝﹣lnb；
當0＜b＜1，即＞1，可得f（x）在（0，1]遞增，可得f（x）的最大值為f（1）＝1﹣b；
（3）當b＝0，a＞0時，函數(shù)h（x）＝f（x）﹣a?g（x）﹣1的零點個數(shù)即為lnx＝a（1﹣x﹣2）的根的個數(shù)，
當x＝1時，ln1＝a（1﹣1）恒成立，可得h（x）一定有零點1；
當x＞0且x≠1時，a＝＝，
設m（x）＝，m′（x）＝，
再設n（x）＝x2﹣1﹣2lnx，n′（x）＝2x﹣，當x＞1時，n′（x）＞0，n（x）在x＞1遞增，n（x）＞n（1）＝0，
即m′（x）＞0，m（x）在x＞1遞增，m（x）＞0；
當0＜x＜1時，n′（x）＜0，n（x）在0＜x＜1遞減，n（x）＞n（1）＝0，
即m′（x）＞0，m（x）在0＜x＜1遞增，m（x）＞0；
綜上可得m（x）＞0恒成立，
當a＞0時，h（x）有兩個零點1和一個不為1的正數(shù)．
【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)性、最值，考查分類討論思想和構造函數(shù)法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．

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