2022-2023學(xué)年江西省撫州市資溪縣第一中學(xué)高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，，則集合（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合并集概念課直接得到.【詳解】，故選：D.2．已知直線，直線，則“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合直線平行的等價條件進行判斷即可.【詳解】若，則兩直線方程分別為和，滿足兩直線平行，即充分性成立，若，當(dāng)時，兩直線分別為和，此時兩直線不平行，不滿足條件.當(dāng)時，若兩直線平行則，由得，即，所以或，當(dāng)時，，不滿足條件.則，即，則“”是“”的充要條件，故選：C3．已知平面內(nèi)兩定點，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合選項得出答案．【詳解】當(dāng)時，，滿足雙曲線的定義，所以點的軌跡是雙曲線.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，動點到兩定點的距離差的絕對值小于兩定點的距離為解題的關(guān)鍵．4．下列說法中正確的個數(shù)是（    ）①命題：“，若，則”，用反證法證明時應(yīng)假設(shè)或；②若，則、中至少有一個大于；③若、、、、成等比數(shù)列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)反證法的知識可判斷①的正誤，寫出命題“若，則、中至少有一個大于”的逆否命題可判斷其正誤，根據(jù)等比數(shù)列的知識可判斷③的正誤，根據(jù)特稱命題的否定可判斷④的正誤.【詳解】①根據(jù)反證法的定義；一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.故應(yīng)假設(shè)命題中的結(jié)論“”不成立，即“或”，故①正確；②若，，則，所以若，則、中至少有一個大于，故②正確；③若，，，，成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以不合題意，故③錯誤；④命題“，使得”為特稱命題，特稱命題的否定為全稱命題，其否定形式是“，總有”，故④正確.故選：C5．已知函數(shù)，若對于，，使得，則的最大值為（　?。?/span>A．e B．1-e C．1 D．【答案】D【分析】不妨設(shè)f()=g()＝a，從而可得的表達式，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，再求最小值即可．【詳解】不妨設(shè)f()=g()＝a，∴＝a，∴＝ln(a+e)，＝，故＝ln(a+e)-，（a＞-e）令h（a）＝ln(a+e)-，h′（a），易知h′（a）在（-e，+∞）上是減函數(shù)，且h′（0）＝0，故h（a）在a處有最大值，即的最大值為；故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了指對互化的運算，屬于中檔題．6．設(shè)數(shù)列滿足，，且（且），則A． B． C． D．【答案】B【詳解】 令，則，所以為等差數(shù)列， 因為，所以公差，則，所以， 即，所以，故選B. 點睛：本題考查了等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用問題，本題非常巧妙的將兩個數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項，另外，本題的難點在于兩個數(shù)列融合在一起，利用第一個數(shù)列為等差數(shù)列，得到第一個數(shù)列的通項公式，進而求解第二個數(shù)列的項，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力.7．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，是其導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由奇偶性解不等式即可.【詳解】令，則，當(dāng)時，，故，所以在上單調(diào)遞減，又，所以即，因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，即為定義域為的偶函數(shù)，所以由可得，所以，即或，即不等式的解集是，故選：B8．已知圓與拋物線的兩個交點是A，B．過點A，B分別作圓和拋物線的切線，，則（    ）A．存在兩個不同的b使得兩個交點均滿足B．存在兩個不同的b使得僅一個交點滿足C．僅存在唯一的b使得兩個交點均滿足D．僅存在唯一的b使得僅一個交點滿足【答案】D【分析】利用拋物線方程設(shè)出交點坐標(biāo)，再由直線與垂直及交點在圓上求出b，p的關(guān)系，然后逐項分析作答.【詳解】依題意，設(shè)圓與拋物線的交點，，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為：，由消去x并整理得：，而，則，解得，由及圓的性質(zhì)知，直線過圓心及點，于是得：，整理得：，又，即，因此有，解得，而，即，于是有滿足的兩曲線交點只有點，選項A，C不正確；顯然，即正數(shù)p值確定，b值也隨之確定，并且唯一，選項B不正確，D正確.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率. 二、多選題9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量（其中），定點，異于點的動點，則以下說法正確的是（    ）A．若為直線的方向向量，則B．若為直線的方向向量，則C．若為平面的法向量，面經(jīng)過和P，則D．若為平面的法向量，面經(jīng)過和P，則【答案】AD【分析】由直線的方向向量、平面法向量的概念求解判斷．【詳解】直線是直線的一個方向向量，，為直線的方向向量，則，A正確 ，B錯誤，在平面內(nèi)，為平面的法向量，則，所以，C錯誤D正確．故選：AD．10．離散型隨機變量的分布列如下表，若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（　?。?/span>01234q0.40.10.20.2A． B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】首先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求，以及計算，，再根據(jù)期望和方差的性質(zhì)，計算和.【詳解】因為，所以，故A正確；又，，故C正確；因為，所以，，故D正確，故選：ACD.11．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項和，若，，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．B．C．若數(shù)列的前項和為，則D．若，則的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，代入公式，即可求得的值，即可得通項公式，前n項和的公式，即可判斷A、B的正誤；先求得的表達式，根據(jù)裂項相消求和法，即可判斷C的正誤；先求得的解析式，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得，解得，所以an=2n+1，所以a1=3，故A錯誤；，故 B正確因為，所以，故C正確；因為，且n∈N*，所以的最小值為g(1)=g(2)=5，故D錯誤，故選：BC．12．已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．若，則C．在上單調(diào)遞增D．任意，，都有【答案】ABC【分析】由，得，推出（其中為常數(shù)），求出函數(shù)的解析式，通過（e），求解C，判斷函數(shù)值判斷A；導(dǎo)函數(shù)的符號判斷C；函數(shù)的單調(diào)性判斷B；結(jié)合函數(shù)的凹凸性，判斷D即可．【詳解】解：由，得，即，從而得（其中為常數(shù)），即，由，得，所以，故正確；又，從而在上單調(diào)遞增，故正確；令，則在上遞增，不等式（e），得，故正確；由得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的圖象在部分上凸，在部分下凸，故不正確，故選：ABC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化為，即為，從而求得函數(shù)的解析式，而后求導(dǎo)利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象判斷出各個選項. 三、填空題13．已知，，，則      .【答案】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合全概率公式求解即可【詳解】因為，所以，因為，所以，所以由全概率公式可得,故答案為：14．若的展開式中，所有x的偶數(shù)次冪項的系數(shù)和為64，則正實數(shù)a的值為      ．【答案】/0.75【分析】利用賦值法，令和令聯(lián)立得到，即可求出a.【詳解】設(shè).令，得①；令，得②.②＋①得．又因為，所以，解得．故答案為：15．已知等差數(shù)列的公差，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列的前項和取得最小值，則首項的取值范圍是            .【答案】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而可表示，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因為且，所以，所以,數(shù)列的前項和，因為當(dāng)且僅當(dāng)時數(shù)列的前項和有最小值，所以，解得故答案為：.16．已知函數(shù)的定義域為，若對任意的，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為      ．【答案】【分析】對求導(dǎo)判斷在上的單調(diào)性，再對已知不等式變形為，再構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的定義可判斷單調(diào)遞減，再由恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，可得在單調(diào)遞減，因為，，所以，所以可變形為，不妨設(shè)，則，，所以，即，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以對于恒成立，，對于恒成立，所以對于恒成立，即對于恒成立，所以，因為在單調(diào)遞減，所以，所以，故答案為：【點睛】方法點睛：求不等式恒成立問題的方法（1）分離參數(shù)法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進而轉(zhuǎn)化為或，求的最值即可.（2）數(shù)形結(jié)合法結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對稱軸、區(qū)間端點的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系（相對于軸）求解.此外，若涉及的不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問題.（3）主參換位法把變元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解，一般情況下條件給出誰的范圍，就看成關(guān)于誰的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解. 四、解答題17．已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)若，記的前項和為，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到，即可求出、，從而得到通項公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用并項求和法計算可得；【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，所以，解得，則.（2）解：因為且，所以，所以，所以.18．如圖所示四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，BCAD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為PD的中點，F為PC中點.（1）求證：BF平面ACE；（2）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量來證得平面.（2）利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值.【詳解】（1）依題意可知兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，由于，所以平面.（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)與平面所成角為，則.19．某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量（單位：克），重量值落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品.注：表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.產(chǎn)品重量（克）頻數(shù)681484（1）根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)在圖2中作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；（2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān). 甲流水線乙流水線合計合格   不合格   合計   參考公式：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）見解析；（2）從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為；從乙流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9.（3）見解析【分析】（1）根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本容量求出每一組的頻率，作出頻率分布直方圖．（2）根據(jù)所給的樣本中的合格品數(shù)，除以樣本容量做出合格品的頻率，可估計從兩條流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合格品的概率；（3）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測值的公式，代入數(shù)據(jù)求出觀測值，同臨界值進行比較，得到有90%的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．【詳解】（1）甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：（2）由表1知甲流水線樣本中合格品數(shù)為，故甲流水線樣本中合格品的頻率為，由圖1知乙流水線樣本中合格品的頻率為，據(jù)此可估計從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為；從乙流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9.（3）由（2）知甲流水線樣本中合格品數(shù)為30，乙流水線樣本中合格品數(shù)為.列聯(lián)表如下： 甲流水線乙流水線合計合格303666不合格10414合計404080∵，∴有的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).【點睛】本題考查頻率分步直方圖，考查列聯(lián)表，觀測值的求法，考查了互斥事件概率的求法，屬于中檔題.20．已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點的圖像上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，證明：；（3）設(shè)，是否存在，使得成等比數(shù)列，若存在，求出所有的，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）不存在，證明見解析.【分析】（1）由題得再利用項和公式即可求出數(shù)列的通項公式；（2）求出，不等式即得證；（3）假設(shè)存在，由題得再證明即得解.【詳解】（1）由題得，兩式相減得，時，適合，，所以.所以數(shù)列的通項公式為.（2），，因為，所以.（3）假設(shè)存在，因為成等比數(shù)列，所以所以所以設(shè)，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以所以不成立.所以不存在，使得成等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列求和和數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)列的存在性問題的求解，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21．設(shè)橢圓的方程為，點為坐標(biāo)原點，點、的坐標(biāo)分別為、，點在線段上，滿足，直線的斜率為．(1)求橢圓的方程；(2)若動直線與橢圓交于、兩點，且恒有，是否存在一個以原點為圓心的定圓，使得動直線始終與定圓相切？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，且圓的方程為 【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出點的坐標(biāo)，根據(jù)可求得的值，進而可得出橢圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，求出的值，可得出求出原點到直線的距離；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可求得原點到直線的距離.綜合可得出定圓的方程.【詳解】（1）解：設(shè)點的坐標(biāo)，點在線段上，滿足，，，故，，因為，，解得：，∴橢圓的方程.（2）解：當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，所以，，此時原點到直線的距離為；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，原點到直線的距離為，所以，整理得，由可得，，由韋達定理可得，，，，所以，，所以，所以.綜上所述，定圓的方程是所以當(dāng)時，存在定圓始終與直線相切，且定圓的方程是.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．已知：函數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的上的最大值；（3）當(dāng)時，試討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）答案不唯一，具體見解析【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,由點斜式可求得切線方程;(2)求導(dǎo)后,對分類討論可求得函數(shù)的上的最大值;(3)求導(dǎo)后,對分類討論,利用零點存在性定理可求得.【詳解】（1）因為,所以,所以，∴函數(shù)在點處的切線方程為：；（2）因為,所以，①當(dāng)，∴在上單調(diào)遞增；此時的最大值為；②當(dāng)，令得,若，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，∴，若，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴，綜上所述：①當(dāng)時，的最大值為；②當(dāng)時，的最大值為；（3）由題意知：，則，①即時在上恒成立，∴在上單調(diào)增，且，，由零點存在性定理可知：在上存在唯一的零點，即在上存在唯一零點；②即，令，則，此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上取得最小值,令，令，得，∴在單調(diào)增，在上單調(diào)減，得，①當(dāng)時，，此時函數(shù)有且只有一個零點，②當(dāng),即時，,所以在上為增函數(shù),所以,即，∵，∴在有唯一的零點，下面先證：設(shè)，∴，得：，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴，即得證（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；∵，∴，∴，由零點存在性定理可知：在上存在唯一零點，∴有兩個零點.③時，且，又有，∴由零點存在性定理可知：在與上各存在唯一零點.所以有兩個零點.綜上所述：或時，有一個零點，且時，有兩個零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分類討論思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,零點存在性定理,屬于難題. 

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