?湖南師大附中2021級高三摸底考試試卷
數(shù) 學(xué)
命題人：張汝波 蘇萍 柳葉 楊章遠(yuǎn) 審題人：高二備課組
時量：120分鐘 滿分：150分
得分：__________
第I卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，則等于（ ）
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A.1 B.-1 C. D.
3.函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4.快遞公司計劃在某貨運樞紐附近投資配建貨物分揀中心.假定每月的土地租金成本與分揀中心到貨運樞紐的距離成反比，每月的貨物運輸成本與分揀中心到貨運樞紐的距離成正比.經(jīng)測算，如果在距離貨運樞紐處配建分揀中心，則每月的土地租金成本和貨物運輸成本分別為2萬元和8萬元.要使得兩項成本之和最小，分揀中心和貨運樞紐的距離應(yīng)設(shè)置為（ ）
A. B. C. D.
5.八卦是中國古老文化的深奧概念，下圖示意太極八卦圖.現(xiàn)將一副八卦簡化為正八邊形，設(shè)其邊長為，中心為，則下列選項中不正確的是（ ）

A.
B.
C.和是一對相反向量
D.
6.已知，則等于（ ）
A. B. C. D.
7.已知是公差為3的等差數(shù)列，其前項的和為，設(shè)甲：的首項為零；乙：是和的等比中項，則（ ）
A.甲是乙的充分不必要條件
B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣闊.社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指標(biāo)，下面是2017-2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，則（ ）

A.2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，且2021年增長的最多
B.這6年我國社會物流總費用的分位數(shù)為14.9萬億元
C.2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為
D.2022年我國的GDP超過了121萬億元
10.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，且是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列
C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列
11.先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法中正確的是（ ）
A.在上單調(diào)遞增
B.當(dāng)時，函數(shù)的值域是
C.其圖象關(guān)于直線對稱
D.直線為曲線的切線
12.如圖，在棱長為3的正方體中，點是平面內(nèi)的一個動點，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.
B.點的軌跡是一個半徑為的圓
C.直線與平面所成角為
D.三棱錐體積的最大值為
第Ⅱ卷
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.高二年級體鍛課時間提供三項體育活動，足球?籃球?乒乓球供學(xué)生選擇.甲?乙兩名學(xué)生從這三項運動中隨機選一種，且他們的選擇情況相互獨立互不影響.在甲學(xué)生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為__________.
14.正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.
15.已知三棱錐中，是等邊三角形，則三棱錐的外接球的表面積為__________.
16.在直角中，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
已知中角所對的邊分別為，且滿足.
（1）求角；
（2）若的面積是邊上的點，且，求.
18.（12分）
已知數(shù)列的首項為1，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若為前項的和，求.
19.（12分）
如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形為下底面圓周上異于的點.

（1）在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；
（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
20.（12分）
甲?乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立.
（1）若，求甲學(xué)員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；
（2）當(dāng)時，若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值.
21.（12分）
已知正項數(shù)列滿足：，且.
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù).
22.（12分）
設(shè)雙曲線的右焦點為，點為坐標(biāo)原點，過點的直線與的右支相交于兩點.
（1）當(dāng)直線與軸垂直時，，求的離心率；
（2）當(dāng)?shù)慕咕酁?時，恒為銳角，求的實軸長的取值范圍.
湖南師大附中2021級高三摸底考試試卷
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
A
C
A
C
D
AD
ACD
BCD
ACD
1.C（原題）
2.B 【解析】設(shè)，則根據(jù)題意，有，得到，所以的虛部是-1.故選B.
3.A
4.A 【解析】設(shè)土地租金成本和運輸成本分別為萬元和萬元，分揀中心和貨運樞紐相距，則根據(jù)題意易知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選A.
5.C 【解析】A項，由于，明顯有，故正確；
B項，，B正確；
項，和方向相反，但長度不等，因此不是一對相反向量，C錯誤；
D項，，D正確.故選C.
6.A（原題） 【解析】
.故選A.
7.C 【解析】由是公差為3的等差數(shù)列，可知.
若是和的等比中項，則，解得或（舍去，因為此時，可見“”是“是和的等比中項”的充要條件.故選C.
8.D 【解析】函數(shù)的定義域為，且，
所以為偶函數(shù)，又當(dāng)時，是增函數(shù)，
令，
任取，且，
則，
因為，
所以，
所以，
所以在上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù)，
所以不等式對任意恒成立，
轉(zhuǎn)化為，即，
所以和在上恒成立，
①若在上恒成立，則，解得；
②若在上恒成立，則，解得；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.AD 【解析】由圖表可知，2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的最多，且增長為萬億元，故A正確；
因為，則分位數(shù)為第5個，即為16.7，所以這6年我國社會物流總費用的分位數(shù)為16.7萬傖元，故B錯誤；
由圖表可知，2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為，故C錯誤；
由圖表可知，2022年我國的GDP為萬億元，故D正確.故選：AD.
10.ACD（此題為原題，見一輪復(fù)習(xí)資料6.3等比數(shù)列的練習(xí)題）
【解析】由是等差數(shù)列，可得，
是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，可得，
數(shù)列是等差數(shù)列，因此A正確；
是常數(shù)列，為等差數(shù)列，因此C正確；
是等比數(shù)列，因此D正確；
不是等比數(shù)列，因此B不正確.故答案為ACD.
11.BCD 【解析】由題可得，
當(dāng)時，，故函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯誤；
當(dāng)時，，故B正確；
當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；
因為，所以，
若直線為曲線的切線，則由，可得：或，
當(dāng)時，，于是，解得，
當(dāng)時，，于是，此時無解.
綜上，直線為曲線的切線.故D正確.
故答案為.
12.ACD 【解析】對于選項，連接四邊形為正方形，，

平面平面，
平面，
平面，
同理可證平面，
平面對；
對于選項，設(shè)平面，
三棱錐為正三棱錐，
，
平面平面，即，
，解得，
點的軌跡是半徑為1的圓，錯；
對于選項，平面與平面所成的角為，
且，故，C對；
對于選項，點到直線的距離為，
點到直線的距離的最大值為，
平面三棱錐的高為，
三棱錐體積的最大值為對.
故選：ACD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.
14. 【解析】由題可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以要使不等式恒成立，即，解得.
15. 【解析】如圖，

取的中點，連接，設(shè)的外心為，
為等腰直角三角形，是等邊三角形，，，在中，，
在中，由，可得，
為外接球的球心，該三棱錐的外接球表面積為.
故答案為：.
16. 【解析】由題可知點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
，
，
，又向量是長度為的一個向量，
由此可得，點在圓上運動，當(dāng)與共線反向時，取最小值，且這個最小值為一，故的最小值為.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.【解析】（1），由正弦定理得：
，
，
.
（2）方法一：由已知：，得.

，
.
方法二：由已知：，得.
由余弦定理.
.
設(shè)，
在中，；
在中，；
由，解得.
.
18.【解析】（1）因為，
用替換上式的，得.
兩式作差，即得，整理后有.
在原式中令，得，故對任意都成立.
而的首項為1，故，所以是公比為2的等比數(shù)列.
因此的通項公式是.
（2）由（1）得，
故.
所以.
又，
作差得

.
19.【解析】（1）取中點，作直線即為所求.
取中點，連接，則有，
如圖，在等腰梯形中，，所以，

則四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）過點作于，
在等腰梯形中，，所以該梯形的高，
所以等腰梯形的面積為，
所以四棱錐的體積，解得，
所以點與重合，
以為原點，方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則
，

設(shè)平面的法向量為，
所以
取，則.
同理可得平面的法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
則.
故平面與平面夾角的余弦值為.
20.【解析】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”或“平局”，則，
記“進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件，則事件包括事件共5種，所以
.
（2）因為，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，
由題意得的所有可能取值為，則
，

，.
所以的分布列為

2
4
5




所以的期望
，
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，
所以，
故的最大值為.
21.【解析】（1）因為，且，
，即，
，又，
是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
.
（2）因為，



若為整數(shù)，因為，即.

.
能被27整除，
.
所以時，能被27整除，的最小值是9.
22【解析】（1）當(dāng)直線與軸垂直時，由對稱性知是等腰直角三角形，
于是，即，
解得離心率.
（2）若的焦距為2，則，即.
由于直線的斜率不為零，可設(shè)其方程為.
結(jié)合，聯(lián)立
得.
設(shè).由韋達定理，

由于兩點均在的右支上，
故，即.



.
由恒為銳角，得，均有，
即恒成立.
由于，因此不等號左邊是關(guān)于的增函數(shù)，
所以只需時，成立即可.
解得，結(jié)合，
可知的取值范圍是.

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