?微專題81　電磁感應(yīng)中的能量問(wèn)題
1．若回路中電流恒定，可以利用電路結(jié)構(gòu)及W＝UIt或Q＝I2Rt直接進(jìn)行計(jì)算.2.若電流變化，則可利用克服安培力做功求解：電磁感應(yīng)中產(chǎn)生的電能等于克服安培力所做的功．或利用能量守恒求解：若只有電能與機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，則減少的機(jī)械能等于產(chǎn)生的電能．
1.如圖所示，一平行金屬軌道平面與水平面成θ角，兩軌道寬為L(zhǎng)，上端用一電阻R相連，該裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上．質(zhì)量為m的金屬桿ab以初速度v0從軌道底端向上滑行，達(dá)到最大高度h后保持靜止．克服摩擦做的功為Wf.若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，軌道與金屬桿的電阻均忽略不計(jì)，重力加速度為g.關(guān)于上滑過(guò)程，下列說(shuō)法不正確的是(　　)

A．通過(guò)電阻R的電荷量為
B．金屬桿中的電流方向由a指向b
C．金屬桿克服安培力做的功等于mv02－mgh－Wf
D．金屬桿損失的機(jī)械能等于電阻R產(chǎn)生的焦耳熱
答案　D
解析　根據(jù)q＝t，＝，＝，ΔΦ＝ΔSB＝BL，可得通過(guò)電阻R的電荷量為q＝，A正確；由右手定則判斷金屬桿中的電流方向由a指向b，B正確；由于達(dá)到最大高度h后保持靜止，所以軌道粗糙，由動(dòng)能定理有－mgh＋W安－Wf＝0－mv02，可得金屬桿克服安培力做的功W克安＝－W安＝mv02－mgh－Wf，C正確；由能量守恒定律可知金屬桿損失的機(jī)械能等于電阻R產(chǎn)生的焦耳熱和金屬桿與軌道摩擦產(chǎn)生的熱量，D錯(cuò)誤．
2．(多選)(2023·云南師大附中學(xué)月考)如圖，質(zhì)量為m＝1 kg的物塊A和質(zhì)量為M＝2 kg的正方形導(dǎo)線框C用輕繩跨過(guò)兩個(gè)等高的光滑定滑輪相連，C正下方兩虛線區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ，兩磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度相同．線框邊長(zhǎng)與磁場(chǎng)寬度及磁場(chǎng)與磁場(chǎng)間距離都為d＝0.6 m，導(dǎo)線框總電阻為r＝5 Ω.用手豎直向下拉住A，使C到磁場(chǎng)距離為d＝0.6 m，整個(gè)系統(tǒng)保持靜止．放手后，線框向下運(yùn)動(dòng)，并可以勻速進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ.g取10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．線框進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ的速度大小為2 m/s
B．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 T
C．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 T
D．線框穿越Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)磁場(chǎng)產(chǎn)生的焦耳熱為24 J
答案　ABD
解析　從釋放A到線框開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ，根據(jù)動(dòng)能定理，可得Mgd－mgd＝(M＋m)v2，解得v＝2 m/s，故A正確；依題意，線框勻速進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ，對(duì)物塊和線框分別受力分析，可得mg＝FT，Mg＝FT＋，解得B＝ T，故B正確，C錯(cuò)誤；由分析可知，線框從進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ到離開(kāi)磁場(chǎng)Ⅱ一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由能量守恒定律可知Mg·4d＝mg·4d＋Q，解得Q＝24 J，故D正確．
3.如圖所示，光滑斜面的傾角為θ，斜面上放置一矩形導(dǎo)體線框abcd，ab邊的邊長(zhǎng)為l1，bc邊的邊長(zhǎng)為l2，線框的質(zhì)量為m，電阻為R，線框通過(guò)絕緣細(xì)線繞過(guò)光滑的定滑輪與一重物相連，重物質(zhì)量為M，斜面上ef線(ef平行于底邊)的右方有垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，如果線框從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)的最初一段時(shí)間是做勻速運(yùn)動(dòng)的，且線框的ab邊始終平行于底邊，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．線框進(jìn)入磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的加速度為
B．線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度為
C．線框做勻速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為
D．該勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為(Mg－mgsin θ)l2
答案　D
解析　線框進(jìn)入磁場(chǎng)前，由牛頓第二定律得Mg－mgsin θ＝(M＋m)a，解得線框進(jìn)入磁場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝，A錯(cuò)誤；線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由平衡條件有Mg－mgsin θ－F安＝0，又F安＝BIl1，I＝，E＝Bl1v，聯(lián)立解得線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v＝，B錯(cuò)誤；線框做勻速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t＝＝，C錯(cuò)誤；由能量守恒定律，該勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱等于系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量，則Q＝(Mg－mgsin θ)l2，D正確．
4．(多選)CD、EF是兩條水平放置的阻值可忽略的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，在水平導(dǎo)軌的左側(cè)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d，如圖所示．導(dǎo)軌的右端接有一阻值為R的電阻，左端與一彎曲的光滑軌道平滑連接．將一阻值為R、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒從彎曲軌道上h高處由靜止釋放，導(dǎo)體棒最終恰好停在磁場(chǎng)的右邊界處．已知導(dǎo)體棒與水平導(dǎo)軌接觸良好，且動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

A．通過(guò)電阻R的最大電流為
B．流過(guò)電阻R的電荷量為
C．整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱為mgh
D．電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為mg(h－μd)
答案　ABD
解析　質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒從彎曲軌道上h高處由靜止釋放，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度最大，由mgh＝mv2，得最大速度v＝，產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Em＝BLv＝BL，由閉合電路歐姆定律可得通過(guò)電阻R的最大電流Im＝＝，A正確；在導(dǎo)體棒滑過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值＝＝，平均感應(yīng)電流＝，流過(guò)電阻R的電荷量為q＝Δt，聯(lián)立解得q＝＝，B正確；由能量守恒定律可知整個(gè)電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q＝mgh－μmgd，C錯(cuò)誤；電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱Q1＝Q＝mg(h－μd)，D正確．
5．(2023·福建省泉州五中檢測(cè))如圖甲所示，光滑的平行水平金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距l(xiāng)，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間連接一個(gè)阻值為R的電阻，一質(zhì)量為m、電阻為r、長(zhǎng)度也剛好為l的導(dǎo)體棒垂直置于導(dǎo)軌上a、b兩點(diǎn)間，在a點(diǎn)右側(cè)導(dǎo)軌間加一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面，寬度為d0，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，設(shè)磁場(chǎng)左邊界到ab距離為d.現(xiàn)用一個(gè)水平向右的力F拉導(dǎo)體棒，使它從a、b處由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，棒離開(kāi)磁場(chǎng)前已做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與導(dǎo)軌始終保持良好接觸，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，水平力F－x的變化情況如圖乙所示，F(xiàn)0已知．求：

(1)導(dǎo)體棒離開(kāi)磁場(chǎng)右邊界時(shí)的速度大小v；
(2)導(dǎo)體棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q；
(3)d滿足什么條件時(shí)，導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)后一直做勻速運(yùn)動(dòng)．
答案　(1)　(2)[F0(d＋2d0)－]　(3)
解析　(1)設(shè)導(dǎo)體棒離開(kāi)磁場(chǎng)右邊界時(shí)的速度大小為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E＝Blv
感應(yīng)電流為I＝
根據(jù)平衡條件得2F0＝BIl
聯(lián)立解得v＝
(2)全程根據(jù)動(dòng)能定理得F0d＋2F0d0－W克安＝mv2－0
根據(jù)功能關(guān)系得Q＝W克安
又有QR＝Q
解得QR＝[F0(d＋2d0)－]
(3)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理得
F0d＝mv2
解得d＝
6．(2023·河南省八市調(diào)研)質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻?qū)Ь€首尾相接制成的單匝正方形閉合導(dǎo)線框abcd，總電阻為R.將其置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)上方，磁場(chǎng)的上邊界OO′水平，導(dǎo)線框最低點(diǎn)c到OO′的高度為h，如圖所示．將導(dǎo)線框由靜止釋放，當(dāng)導(dǎo)線框一半面積進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，恰好處于平衡狀態(tài)，導(dǎo)線框平面保持在豎直平面內(nèi)，且b、d兩點(diǎn)的連線始終水平，已知重力加速度大小為g，不計(jì)空氣阻力．求：

(1)導(dǎo)線框一半面積進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)線框的速度大小v；
(2)導(dǎo)線框從靜止下落到一半面積進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，導(dǎo)線框產(chǎn)生的熱量Q；
(3)導(dǎo)線框從靜止下落到完全進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，通過(guò)導(dǎo)線框某一橫截面的電荷量q.
答案　(1)　(2)mg(L＋h)－
(3)
解析　(1)導(dǎo)線框一半面積進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)平衡條件有mg＝BIL
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E＝BLv
根據(jù)閉合電路的歐姆定律有I＝
聯(lián)立解得v＝
(2)導(dǎo)線框從靜止下落到一半面積進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律有
mg(L＋h)＝mv2＋Q
解得Q＝mg(L＋h)－
(3)平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)＝
根據(jù)歐姆定律有＝
通過(guò)導(dǎo)線框某一橫截面的電荷量q＝Δt
聯(lián)立解得q＝.
7．(2023·天津市模擬)如圖甲所示，足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ豎直放置，其寬度L＝1 m，一勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過(guò)導(dǎo)軌平面，導(dǎo)軌的上端M與P之間連接阻值為R＝0.40 Ω的電阻，質(zhì)量為m＝0.01 kg、電阻為r＝0.30 Ω的金屬棒ab緊貼在導(dǎo)軌上．現(xiàn)使金屬棒ab由靜止開(kāi)始下滑，下滑過(guò)程中ab始終保持水平，且與導(dǎo)軌接觸良好，其下滑距離x與時(shí)間t的關(guān)系如圖乙所示，圖像中的OA段為曲線，AB段為直線，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g取10 m/s2，忽略ab棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)原磁場(chǎng)的影響．

(1)判斷金屬棒兩端a、b的電勢(shì)高低；
(2)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
(3)求在金屬棒ab開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的1.5 s內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的熱量．
答案　(1)b端電勢(shì)高于a端電勢(shì)　(2)0.1 T　(3)0.26 J
解析　(1)由右手定則可知，ab中的感應(yīng)電流由a流向b，ab相當(dāng)于電源，則b端電勢(shì)高于a端電勢(shì)．
(2)由x－t圖像求得t＝1.5 s時(shí)金屬棒的速度
v＝＝ m/s＝7 m/s
金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力大小為
F＝BIL，I＝，E＝BLv
聯(lián)立得F＝
根據(jù)平衡條件得F＝mg
則有mg＝
代入數(shù)據(jù)解得B＝0.1 T.
(3)金屬棒ab在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的1.5 s內(nèi)，金屬棒的重力勢(shì)能減少量轉(zhuǎn)化為金屬棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能．設(shè)電路中產(chǎn)生的總焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒定律得mgx＝mv2＋Q
代入數(shù)據(jù)解得Q＝0.455 J，故R產(chǎn)生的熱量為QR＝Q＝0.26 J.
8.(2023·江西九江市模擬)如圖，兩根電阻不計(jì)、互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，相距L＝1 m．在水平虛線間有與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝0.5 T，磁場(chǎng)區(qū)域的高度d＝1 m, 導(dǎo)體棒a的電阻Ra＝1 Ω，導(dǎo)體棒b的質(zhì)量m＝0.05 kg、電阻Rb＝1.5 Ω，它們分別從圖示M、N處同時(shí)由靜止釋放，開(kāi)始在導(dǎo)軌上向下滑動(dòng)，b勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，且當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)a剛好進(jìn)入磁場(chǎng)并將勻速穿過(guò)磁場(chǎng)，取g＝10 m/s2，不計(jì)a、b棒之間的相互作用，不計(jì)空氣阻力，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直且與導(dǎo)軌接觸良好，求：

(1)b棒勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的速度大??；
(2)a棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)兩端的電壓；
(3)從靜止釋放到a棒剛好出磁場(chǎng)過(guò)程中a棒產(chǎn)生的焦耳熱．
答案　(1)5 m/s　(2)2.1 V　(3)0.48 J
解析　(1)b棒穿過(guò)磁場(chǎng)做勻速運(yùn)動(dòng)，安培力等于重力，則有BI1L＝mg
根據(jù)閉合電路歐姆定律有
I1＝＝
解得vb＝5 m/s
(2)設(shè)b棒在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，則有d＝vbt1，解得t1＝0.2 s
a、b都在磁場(chǎng)外運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度總是相同的，b棒進(jìn)入磁場(chǎng)后，a棒繼續(xù)加速t1時(shí)間后進(jìn)入磁場(chǎng)，a棒進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為va＝vb＋gt1＝7 m/s
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E2＝BLva＝3.5 V
a棒兩端的電勢(shì)差即為路端電壓，則
U＝＝2.1 V
(3)a棒進(jìn)入磁場(chǎng)并將勻速穿過(guò)磁場(chǎng)，則有BI2L＝mag
根據(jù)閉合電路歐姆定律有I2＝
解得ma＝0.07 kg
兩棒穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律可知，兩棒的重力勢(shì)能減少量轉(zhuǎn)化為電路中產(chǎn)生的焦耳熱，產(chǎn)生的總焦耳熱為Q＝(m＋ma)gd＝1.2 J，
a棒產(chǎn)生的焦耳熱Qa＝Q＝0.48 J.

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