?中考總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）
【考綱要求】
1．會(huì)從定義上判斷方程(組)的類(lèi)型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；
2．掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無(wú)理式為有理式”；
3．理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式(組)的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；
4．列方程(組)、列不等式(組)解決社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題；
5. 解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題是中考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)．

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】


【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一、一元一次方程
1.方程
含有未知數(shù)的等式叫做方程.
2.方程的解
能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.
3.等式的性質(zhì)
（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.
（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.
4.一元一次方程
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項(xiàng).
5.一元一次方程解法的一般步驟
整理方程 —— 去分母—— 去括號(hào)—— 移項(xiàng)—— 合并同類(lèi)項(xiàng)——系數(shù)化為1——(檢驗(yàn)方程的解).
6.列一元一次方程解應(yīng)用題
(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問(wèn)題”
仔細(xì)讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.
(2)畫(huà)圖分析法：多用于“行程問(wèn)題”
利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，仔細(xì)讀題，依照題意畫(huà)出有關(guān)圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最后利用量與量之間的關(guān)系(可把未知數(shù)看作已知量)，填入有關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ).
要點(diǎn)詮釋：
列方程解應(yīng)用題的常用公式：
(1)行程問(wèn)題： 距離=速度×?xí)r間 ；
(2)工程問(wèn)題： 工作量=工效×工時(shí) ；
(3)比率問(wèn)題： 部分=全體×比率 ；
(4)順逆流問(wèn)題： 順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；
(5)商品價(jià)格問(wèn)題： 售價(jià)=定價(jià)·折· ，利潤(rùn)=售價(jià)-成本， ；
(6)周長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長(zhǎng)方形=2(a+b)，S長(zhǎng)方形=ab， C正方形=4a，
S正方形=a2，S環(huán)形=π(R2-r2)，V長(zhǎng)方體=abh，V正方體=a3，V圓柱=πR2h ，V圓錐=πR2h.

考點(diǎn)二、一元二次方程
1.一元二次方程
含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).
3.一元二次方程的解法
（1）直接開(kāi)平方法
利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法.直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)
根.
( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵ 方程kx=x+2的根為正實(shí)數(shù)，
∴ 方程(k-1) x=2的根為正實(shí)數(shù).
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)230,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
證法二: 若ac>0,
∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點(diǎn),
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc30.
(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).
由證法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc30.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此時(shí)方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
綜上, 方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【總結(jié)升華】方程與函數(shù)綜合題. 中考所考知識(shí)點(diǎn)的綜合與相互滲透.
舉一反三：
【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程.
（1）若x=－2是這個(gè)方程的一個(gè)根，求m的值和方程的另一個(gè)根；
（2）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【答案】
（1）解：把x=－2代入方程，得，
即.解得，.
當(dāng)時(shí)，原方程為，則方程的另一個(gè)根為.
當(dāng)時(shí)，原方程為，則方程的另一個(gè)根為.
（2）證明：，
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，， ∴.
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，這個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

類(lèi)型二、解不等式（組）
3．（2015?江西樣卷）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【思路點(diǎn)撥】
求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．
【答案與解析】
解：，
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式組的解集為：﹣2＜x≤1．
在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：

【總結(jié)升華】注意解不等式組的解題步驟，在數(shù)軸上表示不等式組時(shí)，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．
舉一反三：
【變式】（2014?泗縣校級(jí)模擬）求不等式組的整數(shù)解，并在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【答案】
解：，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤6，
∴不等式組的解集是：﹣2＜x≤6．
∴整數(shù)解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．
在數(shù)軸上表示出來(lái)為：
．



類(lèi)型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用
4．如果關(guān)于x的方程的解也是不等式組的一個(gè)解，
求m的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】
解方程求出x的值（是用含有m的式子表示的），再解不等式組求出x的取值范圍，最后方程的解與不等式組的解結(jié)合起來(lái)求m的取值范圍.
【答案與解析】
解方程，得x＝-m-2．
因?yàn)椋?br /> 所以m≠-4且m≠0時(shí)，有．
所以方程的解為x＝-m-2．
其中m≠-4且m≠0．
解不等式組得x≤-2．
由題意，得-m-2≤-2，解得m≥0．
所以m的取值范圍是m＞0．
【總結(jié)升華】方程與不等式的綜合題，是中考考查的重點(diǎn)之一．
舉一反三：
【變式】如果不等式組的解集是，那么的值為 ．
【答案】解不等式組得：，因?yàn)椴坏仁浇M的解集是，所以 解得所以.


5． 某采摘農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植兩種草莓共6畝，根據(jù)表格信息，解答下列問(wèn)題：
項(xiàng)目 品種
A
B
年畝產(chǎn)（單位：千克）
1200
2000
采摘價(jià)格（單位：元/千克）
60
40




(1)若該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入為46000O元，那么兩種草莓各種多少畝?
(2)若要求種植種草莓的畝數(shù)不少于種植種草莓的一半，那么種植種草莓多少畝時(shí)，可使該農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多?
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)等量關(guān)系：總收入=A地的畝數(shù)×年畝產(chǎn)量×采摘價(jià)格+B地的畝數(shù)×年畝產(chǎn)量×采摘價(jià)格，列方程求解；
（2）這是一道只有一個(gè)函數(shù)關(guān)系式的求最值問(wèn)題，根據(jù)題意確定自變量的取值范圍，由函數(shù)y隨x的變化求出最大利潤(rùn)．
【答案與解析】
設(shè)該農(nóng)場(chǎng)種植種草莓畝，種草莓畝
依題意，得：
解得： ,
(2)由，解得
設(shè)農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：

∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為464000
答：(l)A種草莓種植2.5畝, B種草莓種植3.5畝．
(2)若種植A種草莓的畝數(shù)不少于種植B種草莓的一半，那么種植A種草莓2畝時(shí)，可使農(nóng)場(chǎng)每年草莓全部被采摘的總收入最多.
【總結(jié)升華】
本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，此類(lèi)題是近年中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題．注意利用一次函數(shù)求最值時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值．
舉一反三：
【變式】某運(yùn)輸公司用10輛相同的汽車(chē)將一批蘋(píng)果運(yùn)到外地，每輛汽車(chē)能裝8噸甲種蘋(píng)果，
或10噸乙種蘋(píng)果，或11噸丙種蘋(píng)果．公司規(guī)定每輛車(chē)只能裝同一種蘋(píng)果，而且必須
滿載．已知公司運(yùn)送了甲、乙、丙三種蘋(píng)果共100噸，且每種蘋(píng)果不少于一車(chē)．
（1）設(shè)用x輛車(chē)裝甲種蘋(píng)果，y輛車(chē)裝乙種蘋(píng)果，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)
出自變量x的取值范圍；
（2）若運(yùn)送三種蘋(píng)果所獲利潤(rùn)的情況如下表所示：
蘋(píng)果品種
甲
乙
丙
每噸蘋(píng)果所獲利潤(rùn)（萬(wàn)元）
0.22
0.21
0.2
設(shè)此次運(yùn)輸?shù)睦麧?rùn)為W（萬(wàn)元），問(wèn)：如何安排車(chē)輛分配方案才能使運(yùn)輸利潤(rùn)W
最大，并求出最大利潤(rùn)．
【答案】
（1）∵ ，
∴ y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
∵ y≥1，解得x≤3．
∵ x≥1，≥1，且x是正整數(shù)，
∴ 自變量x的取值范圍是x =1或x =2或x =3．
（2）．
因?yàn)閃隨x的增大而減小，所以x取1時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，
此時(shí)（萬(wàn)元）．
獲得最大運(yùn)輸利潤(rùn)的方案為：用1輛車(chē)裝甲種蘋(píng)果，用7輛車(chē)裝乙種蘋(píng)果，2輛車(chē)裝丙種蘋(píng)果．

類(lèi)型四、用不等式（組）解決決策性問(wèn)題
6．為了美化家園，創(chuàng)建文明城市，園林部門(mén)決定利用現(xiàn)有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)，擺放在迎賓大道兩側(cè)，搭配每個(gè)造型所需花卉的情況如下表所示；
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
綜合上述信息，解答下列問(wèn)題：
(1)符合題意的搭配方案有哪兒種?
(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本為1000元，搭配一個(gè)B種選型的成本為1200元，試說(shuō)明選用(1)中哪種方案成本最低?
【思路點(diǎn)撥】
本題首先需要從文字和表格中獲取信息，建立不等式(組)，然后求出其解集，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，再求出正整數(shù)解，從而確定搭配方案．
【答案與解析】
解：(1)設(shè)搭配x個(gè)A種造型，則需要搭配(50-x)個(gè)B種造型，由題意，得
解得30≤x≤32．
所以x的正整數(shù)解為30，31，32．
所以符合題意的方案有3種，分別為：
A種造型30個(gè)，B種造型20個(gè)；
A種造型31個(gè)，B種造型19個(gè)；
A種造型32個(gè)，B種造型18個(gè)．
(2)由題意易知，三種方案的成本分別為：
第一種方案：30×1000+20×1200＝54000；
第二種辦案：31×1000+19×1200＝53800；
第三種方案：32×1000+18×1200＝53600.
所以第三種方案成本最低．
【總結(jié)升華】實(shí)際問(wèn)題的“最值問(wèn)題”一般是指“成本最低”、“利潤(rùn)最高”、“支出最少”等問(wèn)題．
舉一反三：
【變式】某商場(chǎng)“家電下鄉(xiāng)”指定型號(hào)冰箱，彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：

（1）按國(guó)家政策，購(gòu)買(mǎi)“家電下鄉(xiāng)”產(chǎn)品享受售價(jià)13％的政府補(bǔ)貼.若到該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)了冰箱，彩電各一臺(tái)，可以享受多少元的補(bǔ)貼？
(2)為滿足需求，商場(chǎng)決定用不超過(guò)85000元采購(gòu)冰箱，彩電共40臺(tái)，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量
的.
①請(qǐng)你幫助該商場(chǎng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案；
②用哪種方案商場(chǎng)獲得利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)），最大利潤(rùn)是多少？
【答案】
（1）（2420+1980）×13％=572（元）
（2）①設(shè)冰箱采購(gòu)x臺(tái)，則彩電采購(gòu)（40-x）臺(tái)，

解不等式組得，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=19、20、21，
方案一：冰箱購(gòu)買(mǎi)19臺(tái)，彩電購(gòu)買(mǎi)21臺(tái)，
方案二：冰箱購(gòu)買(mǎi)20臺(tái)，彩電購(gòu)買(mǎi)20臺(tái)，
方案一：冰箱購(gòu)買(mǎi)21臺(tái)，彩電購(gòu)買(mǎi)19臺(tái).
②設(shè)商場(chǎng)獲得總利潤(rùn)為y元，則y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200
∵20＞0，∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=21時(shí)，y最大=20×21+3200=3620（元）.

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