?長郡中學(xué)2023年上學(xué)期高一期末考試
數(shù) 學(xué)
時量：120分鐘 滿分：150分
得分_________

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（　 　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AD1與BD所成角為（　 ?。?br /> A．60° B．45° C．90° D．120°
3．在△ABC中，，則（　 　）
A． B． C． D．
4．a(chǎn)、b為空間中兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（　 ?。?br /> A．若，，則
B．若a、b為異面直線，則過空間任一點M，存在直線c與a、b都垂直
C．若，，則a與b相交
D．若a不垂直于，且，則a不垂直于b
5．一個圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線長為（　 　）
A．3 B． C．6 D．
6．向量，，且，則（　 ?。?br /> A． B． C． D．
7．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A=“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件B=“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件C=“兩次擲出的點數(shù)相同”，則（　 ?。?br /> A．A與B互斥 B．B與C相互獨立
C． D．A與C互斥
8．已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)∠C取最大值時，（　 ?。?br /> A． B． C． D．

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9．某企業(yè)對目前銷售的A，B，C，D四種產(chǎn)品進行改造升級，經(jīng)過改造升級后，企業(yè)營收實現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計了該企業(yè)升級前后四種產(chǎn)品的營收占比，得到如下餅圖：下列說法正確的是（　 ?。?br />
A．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品A的營收是升級前的4倍
B．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B的營收是升級前的2倍
C．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品C的營收減少
D．產(chǎn)品升級后，產(chǎn)品B、D營收的總和占總營收的比例不變
10．設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（　 　）
A．若是純虛數(shù)，則
B．若，則
C．若，則
D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為3
11．如圖，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔AB（A為塔頂，B為塔底）的高度，選取與點B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D（B，C，D不在同一直線上），測得CD=s．測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔AB的高度的是（　 ?。?br />
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
12．如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為4，M是側(cè)面ADD'A'上的一個動點（含邊界），點P在棱CC'上，且，則下列結(jié)論正確的有（　 ?。?br />
A．沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為
B．保持PM與BD'垂直時，點M的運動軌跡長度為
C．若保持，則點M的運動軌跡長度為
D．平面AD'P被正方體ABCD-A'B'C'D'截得截面為等腰梯形

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．《本草綱目》中記有麥門冬這一種藥物，書中所提麥門冬，別名麥冬、寸冬等，臨床可用于治療肺燥干咳、津傷口渴、喉痹咽病、陰虛勞嗽等．一個麥門冬可近似看作底面拼接在一起的兩個圓錐，如圖所示，則該麥門冬的體積約為________．

14．甲、乙兩名考生填報志愿，要求甲、乙只能在A，B，C這3所院校中選擇一所填報志愿．假設(shè)每位同學(xué)選擇各個院校是等可能的，則院校A，B至少有一所被選擇的概率為________．
15．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個小球相切．若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為________．
16．如圖，已知P，Q分別為上∠AOB兩邊上的點，∠AOB=，PQ=3，過點P，Q作圓弧，R為的中點，且∠PQR=，則線段OR長度的最大值為________．


四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題滿分10分）
已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．












18．（本小題滿分12分）
如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1的中點，F(xiàn)為AE的中點．
（1）求證：CE∥平面BDF；
（2）求三棱錐E-BDF的體積．

















19．（本小題滿分12分）
對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖．

（1）寫出表中M、p及圖中a的值（不需過程）；
（2）若該校高三年級學(xué)生有240人，試估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）上的人數(shù)；
（3）估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)．（結(jié)果精確到0.01）









20．（本小題滿分12分）
記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若．求△ABC面積．










21．（本小題滿分12分）
已知三棱錐A-BCD，點D在平面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．AC=AB=4，BC=2．
（1）證明：BC⊥AD；
（2）E為AD上靠近A的四等分點，若三棱錐A-BCD的體積為1，求二面角E-CO-B的余弦值．



22．（本小題滿分12分）
甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍．已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙、丙、丁相互之間勝負(fù)的可能性相同．

（1）求乙僅參加兩場比賽且連負(fù)兩場的概率；
（2）求甲獲得冠軍的概率；
（3）求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率．

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