2024.3
命審單位：重慶南開中學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（ ）
A.0.7B.0.6C.0.4D.0.2
2.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，，則過點(diǎn)且以為法向量的直線的方程為（ ）
A.B.C.D.
3.若函數(shù)，則（ ）
A.B.C.1D.2
4.輸血是外傷人員救治的重要手段，血液質(zhì)量對提高救治成功率極為關(guān)鍵.血液質(zhì)量的主要評(píng)判指標(biāo)是血液中ATP含量.已知血液中ATP濃度（單位：）隨溫度（單位：℃）、時(shí)間（單位：天）、及起始濃度變化的近似函數(shù)關(guān)系式為：（為自然底數(shù)，）.由此可知，當(dāng)血液在20℃恒溫條件下，保存5天后的ATP濃度，大約相當(dāng)于血液在4℃恒溫條件下保存（ ）天后的ATP濃度.（參考數(shù)據(jù)：）
A.16B.20C.25D.30
5.已知展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則（ ）
A.4B.5C.6D.7
6.正弦波是頻率成分非常單一的信號(hào)，其波形是數(shù)學(xué)上的正弦曲線，任何復(fù)雜信號(hào)，如光譜信號(hào)，聲音信號(hào)等，都可由多個(gè)不同的正弦波復(fù)合而成.現(xiàn)已知某復(fù)合信號(hào)由三個(gè)振幅、頻率相同的正弦波，，疊加而成，即.設(shè)，，，，若圖中所示為的部分圖象，則下列描述正確的是（ ）
A.
B.的最小正周期是
C.若，，則
D.若，則
7.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中共有扇關(guān)閉的門，其中扇門后面有獎(jiǎng)品，其余門后沒有獎(jiǎng)品，主持人知道獎(jiǎng)品在哪些門后.參賽者先選擇一扇門，但不立即打開.主持人打開剩下的門當(dāng)中一扇無獎(jiǎng)品的門，然后讓參賽者決定是否換另一扇仍然關(guān)閉的門.參賽者選擇不換門和換門的獲獎(jiǎng)概率分別為（ ）
A.；B.；C.；D.；
8.如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，若存在過的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，且，的內(nèi)切圓半徑，滿足，則雙曲線的離心率取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題中正確的是（ ）
A.若向量，滿足，則
B.若非零向量，滿足，則
C.若，，為平面向量，則
D.若，，為非零向量，且滿足，則
10.已知函數(shù)，，，令，.則（ ）
A.，B.數(shù)列為等差數(shù)列
C.D.
11.已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù).則（ ）
A.
B.若，，成等差數(shù)列，則
C.若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則
D.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知復(fù)數(shù)，則________.
13.已知的內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別是，，，，，，則的面積為________.
14.如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
如圖，幾何體中，和均為等邊三角形，平面平面，，，，為中點(diǎn).
（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
16.（15分）
已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線；
（2）若對任意的，，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
17.（15分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)作直線交曲線于軸右側(cè)兩點(diǎn)、，且.求經(jīng)過、且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
18.（17分）
某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個(gè)紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如下頻率分布直方圖.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個(gè)隨機(jī)紅包，每個(gè)紅包的總金額均相等且每個(gè)人都能搶到紅包.小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.
（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲.規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個(gè)紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包.第一個(gè)紅包由群主發(fā).根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時(shí)，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時(shí)，群主搶到“手氣最佳”的概率為.設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為.求及的期望.
19.（17分）
設(shè)集合、為正整數(shù)集的兩個(gè)子集，、至少各有兩個(gè)元素.對于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：
①對于任意，若，都有；②對于任意，若，則.則稱集合為集合的“集”.
（1）若集合，求的“集”；
（2）若三元集存在“集”，且中恰含有4個(gè)元素，求證：；
（3）若存在“集”，且，求的最大值.
重慶市高2024屆高三第七次質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分細(xì)則
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.
1.D【解析】因?yàn)椋?，?
2.A【解析】，所以直線的斜率為，所以直線方程為.
3.B【解析】，，.
4.C【解析】設(shè)所求為天，代入數(shù)據(jù)得：，解得，取對數(shù)為，所以.
5.C【解析】由題意有，帶入選項(xiàng)，滿足題意.
6.D【解析】由圖可知，，且，所以.
又，所以.因?yàn)?，所?所以，A錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以，，的最小正周期均為，所以的最小正周期為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
因?yàn)?，，所以，C錯(cuò)誤.
因?yàn)?，所以，展開得，等式恒成立，則，
∴，平方求和得：，∴；同理，可得，，
∴，故D正確.
7.C【解析】不換門：則與一開始隨機(jī)選擇一扇門的中獎(jiǎng)概率一樣，為；
換門：若一開始選擇的門有獎(jiǎng)，則換門后的中獎(jiǎng)概率為；若一開始選擇的門無獎(jiǎng)，則換門后的中獎(jiǎng)概率為.所以換門的中獎(jiǎng)概率為.
8.B【解析】如圖，連接，，，可知軸，設(shè)直線的傾斜角為，∴，，又，∴，，
∴，解得，
∴，∴，則離心率.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.AB
10.ACD【解析】由，，解得，，A正確；
∴，，，，∴，又，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.∴，.B錯(cuò)誤；
∴.C正確；
，即.D正確.
11.ABD【解析】，，，對稱中心為，對A：因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，，A正確；
對B，由，，成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對稱性可知，
所以，又，故，所以，所以，故B正確；
對C：，即，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或必為極值點(diǎn)；
若為極值點(diǎn)，則該方程的三個(gè)根為，，，由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：；
若為極值點(diǎn)，同理可得，故C錯(cuò)；
對D：由韋達(dá)定理
得，即，故D正確.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.
【解析】∵，∴，，∴.
13.3
【解析】∵，∴，.
∵，，由余弦定理，，∴，
∴.
14.
【解析】取和的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作面于點(diǎn)，連結(jié)，，.易知，且，.因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以是的外?設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面.設(shè)，，則，且，解得，所以外接球表面積為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）
解：（1）證明：∵，、為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，，.又，∴平面，平面，∴；
，∴平面，平面，∴；
∵，∴平面.
設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，∴.
又平面，在平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與垂直，
∴與重合，即有，，，四點(diǎn)共面.……………………………………………………6分
（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵平面平面，平面平面，平面，平面，∴.
∵和均為等邊三角形，
∴，.
∴，，，.
∴，，.
設(shè)平面的法向量為，∴，.
取.
設(shè)直線與平面夾角為，∴.
∴直線與平面所成角的正弦值為.…………………………………………15分
16.（15分）
解：（1），當(dāng)，時(shí)，，，故切線方程為：；……5分
（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，
所以在單調(diào)遞增，所以.……7分
①若，恒成立，符合題意.
②若，則恒成立.令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以.
③若，同理，恒成立，由②可知，當(dāng)時(shí)，，所以不存在滿足條件的.綜上所述，.……………………………………………………………………15分
法二：，
令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立；……7分
，
令，則恒成立；又，
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增成立；
②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，故不恒成立，不滿足題意；
（3）當(dāng)時(shí)，由得，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br>解得，故；
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.…………………………………………15分
17.（15分）
解：（1），設(shè)，因?yàn)?，所以?br>整理得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的軌跡方程為：，.……………………………………6分
（2）過的直線不與軸的負(fù)半軸相交，為中點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立，即，∴，.∴直線：.
此時(shí)：為拋物線的準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)，聯(lián)立
由韋達(dá)定理可得，，得弦長，
所以直線的中垂線的方程為：，
由圓心在弦的中垂線上，故可設(shè)圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A與直線相切，故，
又，
所以，即，解得或；
故或，半徑或45，
故圓的方程為：或.…………15分
18.（17分）
解：（1）平均值為：；
眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5.………………………………………………3分
（2）由題可知，每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率為0.4，且3次紅包相互獨(dú)立，所以至少兩次搶到10元以上金額的概率為；………………8分
（3）由題意，，，
∴，又，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.
∴.……………………………………………………13分
設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，
故服從兩點(diǎn)分布：，.，
∴.
由已知，則
………………………………………………………………17分
19.（17分）
解：（1）若，由題意可得，，，，即，此時(shí)，滿足題意，
假設(shè)集合中還有第四個(gè)元素為，則由題意可知：若，即，則，∴不成立；
若，則，∴或9或27，矛盾.故集合中無四個(gè)元素，所以集合.……3分
（2）設(shè)集合，不妨設(shè)，
假設(shè)，即，則且，
由②知，注意到，故有，即，所以，
故，即，因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，故設(shè)，
由②可得：若，則，∴，矛盾；
若，，則或或，所以或或，與集合元素的互異性矛盾，
假設(shè)錯(cuò)誤，故.……………………………………………………………………9分
（3），，不妨設(shè)，
所以，，又，故，同理可得，
若，與（2）類似得，從而必有，
對任意的，有，即，所以，即.
若，即，，故，，，，
所以，即，從而必有，
對任意的，必有，即，所以，即.
綜上，得，又時(shí)，有，符合題意，
所以的最大值為4.………………………………………………………………17分題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
選項(xiàng)
D
A
B
C
C
D
C
B
AB
ACD
ABD

相關(guān)試卷

重慶市南開中學(xué)高2024屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)：

這是一份重慶市南開中學(xué)高2024屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)，文件包含南開第七次聯(lián)考-數(shù)學(xué)答案pdf、重慶市南開中學(xué)高2024屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共13頁， 歡迎下載使用。

重慶市南開中學(xué)2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)：

這是一份重慶市南開中學(xué)2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)，文件包含重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測丨數(shù)學(xué)答案pdf、重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測丨數(shù)學(xué)pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共9頁， 歡迎下載使用。

精品解析：重慶市南開中學(xué)校高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題：

這是一份精品解析：重慶市南開中學(xué)校高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題，文件包含精品解析重慶市南開中學(xué)校高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題解析版docx、精品解析重慶市南開中學(xué)校高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第十次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第十次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第九次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

重慶市南開中學(xué)校2023屆高三第七次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部