?河南省鄭州市十校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________

一、選擇題
1、若，則( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
2、某村鎮(zhèn)道路上有10盞照明路燈，為了節(jié)約用電，需要關(guān)閉其中不相鄰的4盞，但考慮行人夜間出行安全，兩端的路燈不能關(guān)閉，則關(guān)燈方案的種數(shù)有( )
A.10 B.15 C.20 D.5
3、已知,均為等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( )
A.35 B.40 C.45 D.50
4、在二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為( )
A.15 B.-15 C.10 D.-10
5、若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)( )
A.1 B. C. D.2
6、設(shè)等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別是，若，則( )
A. B. C. D.
7、一個(gè)矩形鐵皮的長為，寬為，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無蓋的小盒子，若記小正方形的邊長為，小盒子的容積為，則( )
A.當(dāng)時(shí)，V有極小值 B.當(dāng)時(shí)，V有極大值
C.當(dāng)時(shí)，V有極小值 D.當(dāng)時(shí)，V有極大值
8、如圖，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.圖中矩形總計(jì)有____個(gè)( )

A.75 B.111 C.102 D.120
9、設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
10、已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)k的最大值是( )
A. B. C. D.
11、已知數(shù)列各項(xiàng)均不為零，且,（且），若，則( )
A.19 B.20 C.22 D.23
12、若函數(shù)與有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、填空題
13、盲盒常指裝有不同公仔手辦，但消費(fèi)者不能提前得知款式的盒裝玩具，一般按系列販?zhǔn)?它的隨機(jī)性和一些隱藏款吸引著很多年輕人重復(fù)購買.小明購買了6個(gè)冰墩墩單只盲盒，拆開后發(fā)現(xiàn)有2個(gè)相同的“竹林春熙”以及2個(gè)相同的“冰雪派對”?“青云出岫”?“如意東方”各1個(gè).小明想將這6個(gè)擺件排成一排，要求相同的擺件相鄰.若相同擺件視為相同元素，則一共有__________種擺放方法.
14、二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為__________.
15、已知數(shù)列,滿足,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在m使得對任意的都成立，則正整數(shù)m的最小值為__________.
16、定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________.
三、解答題
17、已知的展開式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求的展開式中：
（1）所有二項(xiàng)式系數(shù)之和.
（2）系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).
18、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19、現(xiàn)有如下定義：除最高數(shù)位上的數(shù)字外，其余每一個(gè)數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)叫“幸福數(shù)”（如3467和1579都是四位“幸福數(shù)”）.
（1）求四位“幸福數(shù)”的個(gè)數(shù)；
（2）如果把所有的四位“幸福數(shù)”按照從小到大的順序排列，求第125個(gè)四位“幸福數(shù)”.
20、已知函數(shù),.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.
（2）是否存在實(shí)數(shù)，對任意的n,，且，有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
21、數(shù)列滿足,,.
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，證明：對一切正整數(shù)，有
22、已知函數(shù),.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：.
參考答案
1、答案：C
解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,
得.
故選C.
2、答案：D
解析：根據(jù)題意,10盞照明路燈,關(guān)閉其中不相 鄰的4盞,但兩端的路燈不能關(guān)閉,等價(jià)于先將6盞亮著的燈排好,中間有5個(gè)空位,在其中任選4個(gè),安排4盞關(guān)閉的燈,有種方案.
故選:D.
3、答案：A
解析：由想知,均為等差數(shù)列,且,,
所以,得,
所以數(shù)列的前5項(xiàng)利為

4、答案：A
解析：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為,令,解得,所以展開式中 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.
5、答案：B
解析：由,得,
時(shí)，
曲線在點(diǎn)處的切線
與直線垂直,
，即
故選:B.
6、答案：B
解析：根據(jù)等差數(shù)列,的前n項(xiàng)和分別是,,且,
所以.
7、答案：B
解析：
8、答案：C
解析：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)G、H、P的位置如圖所
示：
要組成矩形則應(yīng)從豎線中選出兩條、橫線中選出兩條，可分為兩種情況：
①矩形的邊不在CD上,共有個(gè)矩形;
②矩形的一條邊在CD上, 共有個(gè)矩形;
故圖中共有個(gè)矩形.
故選:C.

9、答案：D
解析：
10、答案：D
解析：由題設(shè)，，使成立，
令且,則
當(dāng)時(shí),,則遞增;
當(dāng)時(shí),,則遞減；
,故即可.
故選:D.
11、答案：A
解析：
12、答案：D
解析：
13、答案：24
解析：將2個(gè)相同的“竹林春熙”看成一個(gè)整體,則2個(gè)相同的“林春熙”沒有順序,
2個(gè)相同的“冰雪派對”也看成一個(gè)整體, 則 2 個(gè) 相同的“冰雪派對”沒有順序,
所以相同的擺件相鄰時(shí),一共有種擺放方法.
故答案為:24.
14、答案：10
解析：的展開式的通項(xiàng)公式為,
而,
令,得；令,得
所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為:10
15、答案：3
解析：因?yàn)?所以,即,
又,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,所以,
則,
則對任意的都成立,即對任意的都成立,
即對任意的都成立,
即對任意的都成立,因?yàn)?所以,則恒成立,所以,所以正整數(shù)m的最小值為3.
故答案為:3.
16、答案：
解析：令，，，
因?yàn)橛谐闪?
所以時(shí),成立,
所以在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?
因?yàn)?
因?yàn)椴坏仁?
所以,
所以,
又在上單調(diào)遞增,
所以,
所以不等式的解集為,
故答案為:.
17、答案：(1)1024
(2)
解析：(1)展開式的第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,.
解得:,
展開式所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為
(2)展開式通項(xiàng)公式為:;設(shè)展開式第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大,
則 ,
解得:,
又,
展開式中,系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)由于,，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,
公差為2的等差數(shù)列,所以,
當(dāng)時(shí),,
所以,也符合上式,所以
(2) ,
,,
兩式相減得

所以
19、答案：(1)126
(2)5789
解析：(1)根據(jù)題意, 可知四位“幸福數(shù)”中不能有0,故只需在數(shù)字 1,2,3,···,9中任取4個(gè),將其從小到大排列, 即可得到一個(gè)四位“幸福數(shù)”,
每種取法對應(yīng)1個(gè)“幸福數(shù)”,則四位“幸福數(shù)”共有個(gè)
(2)對于所有的四位“幸福數(shù)”,1在最高數(shù)位上的有個(gè),
2在最高數(shù)位上的有個(gè),
3在最高數(shù)位上的有個(gè),
4在最高數(shù)位上的有個(gè),
5在最高數(shù)位上的有 個(gè)
因?yàn)?
所以第125個(gè)四位“幸福數(shù)”是最高數(shù)位為 5 的最大的四位“幸福數(shù)”,為5789.
20、答案：(1)極大值為,極小值為
(2)存在滿足題意
解析：(1)當(dāng)時(shí),,
，
令,解得或,
當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)哾減,
所以的極大值為,極小值為
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,對任意的m,,且,者有恒成立,
不妨設(shè),若,即.
令.
顯然只要在為增函數(shù)即成立.
因?yàn)?
要使在為增函數(shù)則在堽成立,
即只需,則,
故存在滿足題意.
21、答案：(1)
(2)見解析
解析：(1)由,
得,，
又,則，數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
當(dāng)時(shí),,
則，
又當(dāng)時(shí),符合上式,
.
(2)由(1)得,


,
故對一切，有
22、答案：(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間:
當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
解析：(1)函數(shù),定義域?yàn)?
（i）當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增:
(ii)當(dāng)時(shí),時(shí),，單調(diào)遞減;
時(shí),，單調(diào)遞增,
綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間:
當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),,且,
所以,因?yàn)?
所以不等式等價(jià)于,
令,則在時(shí)恒成立,
所以當(dāng)時(shí),,又,
所以,故,即


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