?2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測
高一數(shù)學(xué)試卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.（ ）
A.-1 B.1 C. D.
2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
4.某校200名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.006
B.估計(jì)某校成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為50人
C.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績的眾數(shù)為80分
D.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為80分
5.已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ）
A.，則
B.與異面，，則不存在，使得
C.則
D.，則
6.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面（包含邊界）上的一動點(diǎn)，若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7.已知是邊上的點(diǎn)，且為的外心，則的值為（ ）
A. B.10 C. D.9
8.已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，若其側(cè)棱上的八個三等分點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（ ）
A.
B.
C.若復(fù)數(shù)滿足，則或
D.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線
10.為了解學(xué)生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A.平均數(shù)為7.5 B.平均數(shù)為8
C.方差為12 D.方差為10
11.已知，且.當(dāng)時，定義平面坐標(biāo)系為“-仿射”坐標(biāo)系，在“-仿射”坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（ ）
A.設(shè)，則
B.設(shè)，若，則
C.設(shè)，若，則
D.設(shè)，若與的夾角為，則
12.某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（ ）

A.多面體的體積為
B.經(jīng)過三個頂點(diǎn)的球的截面圓的面積為
C.異面直線與所成的角的余弦值為
D.球離球托底面的最小距離為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知是關(guān)于的方程的一個根，則__________.
14，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________.
15.在中，它的內(nèi)角對應(yīng)邊分別為.若，則__________.
16.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（10分）
已知點(diǎn)，直線與單位圓在第一象限的交點(diǎn)為.

（1）求；
（2）求.
18.（12分）
已知直三棱柱面為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.
19.（12分）
某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備
9.8
10.3
10
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4

10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.
已知.
（1）求；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.
20.（12分）
等腰直角中，為內(nèi)一點(diǎn)，.

（1）若，求；
（2）若，求.
21.（12分）
如圖，在三棱臺中，平面平面.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小的正切值.
22.（12分）小明對圓柱中的截面進(jìn)行一番探究.他發(fā)現(xiàn)用平行于底面的平面去截圓柱可得一圓面，用與水平面成一定夾角的平面去截可得一橢圓面，用過軸的平面去截可得一矩形面.

（1）圖1中，圓柱底面半徑為，高為2，軸截面為，設(shè)為底面（包括邊界）上一動點(diǎn)，滿足到的距離等于到直線的距離，求三棱錐體積的最大值；
（2）如圖2，過圓柱側(cè)面上某一定點(diǎn)的水平面與側(cè)面交成為圓，過點(diǎn)與水平面成角的平面與側(cè)面交成為橢圓，小明沿著過的母線前開，把圓柱側(cè)面展到一個平面上，發(fā)現(xiàn)圓展開后得到線段，橢圓展開后得到一正弦曲線（如圖3），設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，他很想知道原因，于是他以為原點(diǎn)，為軸建立了平面直角坐標(biāo)系，且設(shè)（圖3）.試說明為什么橢圓展開后是正弦曲線，并寫出其函數(shù)解析式.

2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測
高一數(shù)學(xué)試卷參考答案
一?選擇題：
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D
二?選擇題：
9.BD 10.BC 11.BD 12.ACD
三?填空題：
13.38 14. 15. 16.
四?解答題：
17.解：（1）
.
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由于三點(diǎn)共線，


（或由得）
18.（1）證明：連結(jié)與交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，為中位線，，又面面
平面
（2）平面是在平面上射影
是直線與平面所成的角
又
在Rt中，.
直線與平面所成角的正弦值為
19.解：（1）



（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得：
而
顯然有成立
所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
20.解：（1）Rt中，，
.
.
在中，由余弦定理得



（2）設(shè)，則，
又，在中由正弦定理得
即

即
.
21.解：（1）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接.

由
得.
由平面平面得
平面.
由得

平面.
又由三棱臺，得
與所成角的余弦值為0.
（2）過作，垂足為，
由面面，得面.
過作，垂足為，連接.
面.又平面
為二面角的平面角
設(shè)，則
在Rt中，.
二面角大小的正切值為.
22.解：（1）過作，垂足為，過作，
則平面
是到的距離

平分.



點(diǎn)的軌跡是過與垂直的垂線段上，（圓內(nèi)部分）.
當(dāng)三棱錐體積最大時，
即高最大時，點(diǎn)在圓周上，此時在
中，
.
（2）設(shè)傾斜平面與水平面交線為.

過作水平面，垂足為，
過作，連接，
則是傾斜平面與水平面的夾角.
設(shè).
則

在Rt中，

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