一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】.
故選：C.
2. 一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】從小到大排列數(shù)據(jù)為：；所以眾數(shù)為4，中位數(shù)為，
該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，.
故選：C.
3. 已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為向量與的夾角為，且，，
所以，
所以在方向上投影向量為.
故選：C.
4. 某校200名學生參加環(huán)保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 頻率分布直方圖中a的值為0.006
B. 估計某校成績落在內(nèi)的學生人數(shù)為50人
C. 估計這20名學生考試成績的眾數(shù)為80分
D. 估計這20名學生考試成績的第60百分位數(shù)為80分
【答案】D
【解析】由頻率分布直方圖，得：
，解得，故A錯誤；
總體中成績落在，內(nèi)的學生人數(shù)為，故B錯誤；
這20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；
前三個矩形的面積和為，
這20名學生數(shù)學考試成績的第60百分數(shù)為80，故D正確.
故選：D.
5. 已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ）
A. ，則
B. 與異面，，則不存在，使得
C. ，則
D. ，則
【答案】A
【解析】對于A，因為，如下圖，
若分別為面、面、面，且為，
顯然面，則，故A正確；
對于B，如下圖，為直線，為直線，為直線，
取的中點，連接，
所以四邊形為，存在，使得，故B錯誤；
對于C，若，則相交、平行、異面，所以C錯誤；
對于D，若，則，所以D錯誤.
故選：A.
6. 在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是側(cè)面（包含邊界）上的一動點，若平面，則線段長度的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，
，，，分別為所在棱的中點，則，，
，又平面，平面，平面，
，，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面，
又，平面平面，
是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，點必在線段上，
中，，
同理，在中，可得，為等腰三角形，
當點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長，
，，
線段長度的取值范圍是.
故選：C.
7. 已知是邊上的點，且為的外心，則的值為（ ）
A. B. 10C. D. 9
【答案】A
【解析】因為，所以，
因此，
取、中點分別為、，則，，
因此，
，
所以.
故選：A.
8. 已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，若其側(cè)棱上的八個三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如第一個圖所示，正四棱錐中，其側(cè)棱上的八個三等分點構(gòu)成正四棱臺，且正方形的邊長為2，正方形的邊長為4；
正四棱臺中，設(shè)、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高，
，，
在直角梯形中，，
由對稱性外接球球心在直線上，設(shè)球半徑為，
連接，，，
若在線段上（如第二個圖所示），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，
因此在的延長線上（如第三個圖所示），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面積為．
故選：D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（ ）
A.
B.
C. 若復數(shù)滿足，則或
D. 已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線
【答案】BD
【解析】對于A，由于復數(shù)不能比較大小，故A錯誤；
對于B，設(shè)，則，
所以，故B正確；
對于C，設(shè)，若復數(shù)滿足，則，
所以復數(shù)不只是或，故C錯誤；
對于D，設(shè)，由于，所以，
所以，，所以在復平面內(nèi)對應的點所構(gòu)成的軌跡為軸，
是直線，故D正確.
故選：BD.
10. 為了解學生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)為7.5B. 平均數(shù)為8
C. 方差為12D. 方差為10
【答案】BC
【解析】新樣本平均數(shù)為，故A錯誤，B正確；
所以合并一起后樣本的方差為，
故選項C正確，D錯誤.
故選：BC.
11. 已知，且，當時，定義平面坐標系為“-仿射”坐標系，在“-仿射”坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（ ）
A. 設(shè)，則
B. 設(shè)，若，則
C. 設(shè)，若，則
D. 設(shè)，若與的夾角為，則
【答案】BD
【解析】，，
對于A：，
即，故選項A錯誤；
對于B：若，當即時，顯然滿足：；
當即或時，則，使得，
即，
則可得，消去得：，故選項B正確；
對于C：∵，則，
可得
，
若，則，故選項C錯誤；
對于D：∵，
由選項A可得：，
，
由選項C可得：，
若與的夾角為，則，
即，
整理可得，，
解得或（舍去），
∵，則，故選項D正確.
故選：BD．
12. 某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（ ）
A. 多面體的體積為
B. 經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為
C. 異面直線與所成的角的余弦值為
D. 球離球托底面的最小距離為
【答案】ACD
【解析】因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，
所以連接、和得幾何體，
因此構(gòu)建一個底面邊長為2，高為的正三棱柱，
取、和的中點分別為、和，
則幾何體就是題意中幾何體，如圖：
這個兒何體的上底面是邊長為1的正三角形，
下底面是邊長為2的正三角形，高為，
因為銅球的體積為，所以由球的體積公式得銅球的半徑，
對于A，因為由幾何體的構(gòu)成知：
多面體的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，
即，因此A正確；
對于B，因為經(jīng)過三個頂點的球的截面圓就是正的外接圓，
所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為，則，解得，
因此經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為，所以B不正確；
對于C，取的中點，連接，則由幾何體的構(gòu)成知：
且，因此四邊形是平行四邊形，
所以，因此就是異面直線與所成的角，
連接，在中，，，
因此 ，
即異面直線與所成的角的余弦值為，所以C正確；
對于D，由B知：經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的半徑，
所以銅球的球心到截面的距離為，
因此球離球托底面的最小距離為，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若是方程的一個根，則______.
【答案】38；
【解析】假設(shè)另外一個根為，
是方程的一個根，
則 ①，
由，可知是的共軛復數(shù)，
所以 ②，
把②代入①可知，所以.
故答案為：38.
14. 在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.
【答案】
【解析】連接交點為連接
或其補角為異面直線與所成的角，
結(jié)合題中條件，正四棱錐中，
則四邊形為邊長為正方形，每個側(cè)面為邊長為的正三角形，
則
在正三角形中，為的中點，則，
則，所以
則故則異面直線與所成角的余弦值為.
故答案：.
15. 在中，它的內(nèi)角對應邊分別為.若，則__________.
【答案】
【解析】由，可得，化簡得，
又∵，∴.
故答案為：.
16. 甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.
【答案】
【解析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，所以，
又，則，所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.
（1）求；
（2）求.
解：（1），
.
（2）設(shè)點坐標為，由于三點共線，
，
，
.
18. 已知直三棱柱面為的中點.
（1）證明：平面；
（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）證明：連接與交于點，
則為中點，為中位線，
，又面面，
平面.
（2）平面是在平面上射影，
是直線與平面所成的角，
又，
在中，，
直線與平面所成角的正弦值為
19. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.已知.
（1）求；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.
解：（1）由題意得，
解得，所以，
所以
.
（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得：，
而，
因為，
所以成立，
所以認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.
20. 等腰直角中，為內(nèi)一點，.
（1）若，求；
（2）若，求.
解：（1）中，，
，，
在中，由余弦定理得
，
.
（2）設(shè)，則，
又，在中由正弦定理得，
即，，
即，.
21. 如圖，在三棱臺中，平面平面.
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小的正切值.
解：（1）如圖，過點作，交直線于點，連接，
由得，
由平面平面，且平面平面
平面
則平面，又平面，所以，
由則為等腰直角三角形，
又則，
設(shè)則
在中，由余弦定理得
則，
即又平面BDO，
平面又平面
又由三棱臺，得，
與所成角的余弦值為.
（2）過點作，垂足為，
由面面，得面，
過作，垂足為，連接，
面，又平面，
為二面角的平面角，
設(shè)，則，
在Rt中，，
二面角大小的正切值為.
22. 小明對圓柱中的截面進行一番探究.他發(fā)現(xiàn)用平行于底面的平面去截圓柱可得一圓面，用與水平面成一定夾角的平面去截可得一橢圓面，用過軸的平面去截可得一矩形面.
（1）圖1中，圓柱底面半徑為，高為2，軸截面為，設(shè)為底面（包括邊界）上一動點，滿足到的距離等于到直線的距離，求三棱錐體積的最大值；
（2）如圖2，過圓柱側(cè)面上某一定點的水平面與側(cè)面交成為圓，過點與水平面成角的平面與側(cè)面交成為橢圓，小明沿著過的母線剪開，把圓柱側(cè)面展到一個平面上，發(fā)現(xiàn)圓展開后得到線段，橢圓展開后得到一正弦曲線（如圖3），設(shè)為橢圓上任意一點，他很想知道原因，于是他以為原點，為軸建立了平面直角坐標系，且設(shè)（圖3）.試說明為什么橢圓展開后是正弦曲線，并寫出其函數(shù)解析式.
解：（1）過作，垂足為，
過作，底面，底面，
則，平面，
于是平面平面，則，，
因此平面，
∵平面，
∴是到的距離，
∵， ，且，
∴， ∴平分，
在△和△中，設(shè)點到直線的距離為，由三角形面積公式得
∵，，∴，
又∵，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴點的軌跡是過與垂直的垂線段上（圓內(nèi)部分），
當三棱錐體積最大時，三棱錐的高最大，此時點在圓周上，
此時在△中，由△∽△可得，
∴.
（2）設(shè)傾斜平面與水平面交線為，
過作水平面，垂足為，過作，連接，
則是傾斜平面與水平面的夾角，
設(shè)，，，則，
∴，
在△中，，∴，
即展開后的曲線是正弦曲線.舊設(shè)備
9.8
10.3
10
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5

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