?2022-2023學年度武昌區(qū)高二年級期末質(zhì)量檢測
數(shù)學試卷
考試時間：2023年6月28日 滿分：150分 考試用時：120分鐘
★?？荚図樌铩?br /> 項注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用簽字筆或鋼筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求交集可得答案.
【詳解】因為集合，所以.
故選：A.
2. 若，其中i是虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)乘法及相等求，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設，故，
所以.
故選：B
3. 某地的年平均增長率為，按此增長率，（ ）年后該地會翻兩番（，，結(jié)果精確到整數(shù)）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)增長率可構(gòu)造指數(shù)方程，由指數(shù)與對數(shù)互化，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得結(jié)果.
【詳解】設年后該地的會翻兩番，則，.
故選：C.
4. 已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設圓錐的母線為，底面半徑為.由已知可得，進而根據(jù)圓錐的面積公式可求出，即可得出答案.
【詳解】設圓錐的母線為，底面半徑為.
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，該扇形的半徑為，弧長為，
由已知可得，，所以.
所以，圓錐的表面積，所以，
所以，這個圓錐的底面直徑為.
故選：B.
5. 已知直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，則m的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標以及半徑，由等邊三角形的性質(zhì)可得到圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線的距離公式列出方程求出的值即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
若直線與圓交于A，B兩點，且為等邊三角形，
則圓心到直線的距離，
又由點到直線的距離公式可得，解得，
故選：D.
6. 購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢一定.假設連續(xù)兩天購買該物品，第一天物品的價格為，第二天物品的價格為，且，則以下選項正確的為（ ）
A. 第一種方式購買物品的單價為
B. 第二種方式購買物品的單價為
C. 第一種方式購買物品所用單價更低
D. 第二種方式購買物品所用單價更低
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得第一種策略平均價格為，第二種策略平均價格為，利用作差法比較大小即可求解.
【詳解】第一種策略：設每次購買這種物品的數(shù)量均為，
則平均價格為，故A不正確；
第二種策略：設每次購買這種物品所花的錢為，
第一次能購得該物品的數(shù)量為，第二次能購得該物品的數(shù)量為，
則平均價格為，B錯誤；
因為，
所以，C錯誤，D正確.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】，
當，，
得，，
則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，
故選：B.
8. 設，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】因為，所以．
設，
則，
令，則．
當時，，，，
所以，所以當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
從而，
因此，即．
綜上可得．
故選：A
【點睛】比較函數(shù)值的大小，要結(jié)合函數(shù)值的特點，選擇不同的方法，本題中，可以作差進行比較大小，而的大小比較，則需要構(gòu)造函數(shù)，由導函數(shù)得到其單調(diào)性，從而比較出大小，有難度，屬于難題.
二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分
9. 已知，則方程表示的曲線的形狀可以是（ ）
A. 兩條直線 B. 圓
C. 焦點在軸上的橢圓 D. 焦點在軸上的雙曲線
【答案】ABD
【解析】
【分析】分類討論，，與四種情況，結(jié)合直線、圓、橢圓與雙曲線方程的特點即可判斷.
【詳解】對于方程，
當時，，方程為表示圓心在原點，半徑為1的圓；
當時，，則，
此時方程，即表示焦點在軸的橢圓；
當時，，此時方程，即，表示兩條直線；
當時，，則，
此時方程，即表示焦點在軸的雙曲線.
綜上可得符合依題意的有ABD.
故選：ABD.
10. 已知平面向量，，則（ ）
A. B.
C. 與夾角為銳角 D. 在上的投影為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積及模的坐標表示計算可得.
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：，故，
所以與不垂直，故B錯誤；
對于C：，
所以與的夾角為銳角，故C正確；
對于D：， ，
所以在上的投影為，故D錯誤；
故選：AC
11. 在A、B、C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感.假設這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5：7：8，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，則（ ）
A. 這個人患流感的概率為0.0485
B. 此人選自A地區(qū)且患流感的概率為0.06
C. 如果此人患流感，此人選自A地區(qū)的概率為
D. 如果從這三個地區(qū)共任意選取100人，則平均患流感的人數(shù)為4人
【答案】AC
【解析】
【分析】設事件D：選取的這個人患了流感，事件E：此人來自A地區(qū)，事件F：此人來自B地區(qū)，事件G：此人來自C地區(qū)，則，且E，F(xiàn)，G彼此互斥，然后根據(jù)條件依次可得、、、、、的值，然后根據(jù)全概率公式、條件概率公式、二項分布的知識逐一判斷即可.
【詳解】記事件D：選取的這個人患了流感，記事件E：此人來自A地區(qū)，記事件F：此人來自B地區(qū)，記事件G：此人來自C地區(qū)，
則，且E，F(xiàn)，G彼此互斥，
由題意可得，，，
，，，
對于A.由全概率公式可得
，故A正確；
對于B.，，選自A地區(qū)且患流感的概率為，故B錯誤；
對于C由條件概率公式可得，故C正確；
對于D.從這三個地區(qū)中任意選取一個人患流感的概率為0.0485，任意選取100個人，患流感的人數(shù)設為，
則，即，故D錯誤.
故選：AC.
12. 如圖，已知二面角的棱上有不同兩點和，若，，，，則（ ）

A. 直線和直線為異面直線
B. 若，則四面體體積的最大值為2
C. 若，，，，，，則二面角的大小為
D. 若二面角的大小為，，，，則過、、、四點的球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由異面直線的定義可判斷A；面且，此時四面體體積的最大值，求出即可判斷B；在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，由余弦定理求出即可判斷C；取的中點，的中點，取的中點，連接，易知是二面角的一個平面角，則，
過作平面的垂線和平面的垂線，交于點，即為外接球球心，求出
，即可求出，可判斷D.
【詳解】對于A，由異面直線的定義知A正確；
對于B，要求四面體體積的最大值，則面且，
此時四面體體積的最大值：
,故B不正確；
對于C，在平面內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得，連接，
四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，且面AEC，
所以面AEC，從而.
在中，由余弦定理可知：

所以.故C正確；

對于D，因為二面角的大小為，，，，
如下圖，所以平面與平面所成角的大小為，，
取的中點，的中點，為△△的外心，
取的中點，連接，則
所以是二面角的一個平面角，則，
過作平面的垂線和過作平面的垂線，交于點，即為外接球球心，
所以面， 面， 連接 ， ，
所以易證得：與全等，所以，
所以在直角三角形，，
，則過、、、四點的球的表面積為.故D正確.
故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 展開式中含項的系數(shù)為___________.
【答案】
【解析】
【分析】先寫出的展開式通式，然后根據(jù)的次數(shù)選擇對應的系數(shù)計算即可.
【詳解】對于，其展開式的通式為，
則展開式中含項的系數(shù)為
故答案為：.
14. 某次體檢中，甲班學生體重檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為16；乙班學生體重檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為21.又甲、乙兩班人數(shù)之比為3：2，則甲、乙兩班全部學生體重的方差為__________.
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的計算公式運算求解.
【詳解】甲、乙兩班全部學生的平均體重為；
甲、乙兩隊全部學生的體重方差為.
故答案為：24.
15. 已知直線與拋物線交于兩點，且交于點，點的坐標為，則的面積__________.

【答案】
【解析】
【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面積即可.
【詳解】點的坐標為，則，
又，且直線過點，
則直線的方程為，整理得，
設點的坐標為，點的坐標為，
由，得，即，
直線的方程為，
，
①，
聯(lián)立與，消去得，
則②，
把②代入①，解得，
故，
又直線與軸的交點為，
所以.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，時，，則實數(shù)的范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先應用參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，把恒成立轉(zhuǎn)化為求最小值，二次求導根據(jù)單調(diào)性求最值即可.
【詳解】由題可得對任意恒成立，
等價于對任意恒成立，
令，則，
令，則，
在單調(diào)遞增，
，，
存在唯一零點，且，使得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，
，即，
令，顯然在單調(diào)遞增，則，即，
則，.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程及演算步驟
17. 如圖，已知正方體的上底面內(nèi)有一點，點為線段的中點.

（1）經(jīng)過點在上底面畫一條直線與垂直，并說明畫出這條線的理由；
（2）若，求與平面所成角的正切值.
【答案】（1）連接，在上底面過點作直線即可,作圖見解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）、連接，在上底面過點作直線即可，推導出，，得到平面，從而.
（2）、以為坐標原點，、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出與平面所成角的正切值.
【小問1詳解】
連接，在上底面過點作直線即可，則.

理由： 平面，且平面，
又，，平面，平面，；
小問2詳解】
以為坐標原點，、、所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
設正方體的棱長為2，則，.

又，，，則，
設平面的一個法向量為,則
設與平面所成角為，則，
與平面所成角的正切值為.
18. 給出以下條件：①；②；③.請在這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.
問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且__________.
（1）求角B的大?。?br /> （2）已知，且角A只有一解，求b的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）若選①，由兩角和的正切公式化簡即可求出求角的大?。蝗暨x②，利用正弦定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入化簡即可得出答案；
（2）將代入正弦定理可得，要使角有一解，即或，解出即可得出答案.
【小問1詳解】
若選①：整理得，因為，
所以，因為，所以；
若選②：因為，由正弦定理得，
則，，
則，因為，所以；
若選③：由正弦定理得，所以，
即，因為，所以；
【小問2詳解】
將代入正弦定理，得，所以，
因為，角的解只有一個，所以角的解也只有一個，
所以或，
即或，又，所以.
19. 已知數(shù)列的首項，且滿足.
（1）求證：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；
（2）先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得，再利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【小問1詳解】
因為，即，
則，
又因為，可得，
所以數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，所以.
所以

，
當為偶數(shù)時，可得；
當為奇數(shù)時，可得；
綜上所述：.
20. 中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度℃關(guān)于時間的回歸方程模型，通過實驗收集在25℃室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如下所示散點圖．





73.5
3.85


表中：
（1）根據(jù)散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程：
（3）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據(jù)（2）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?
附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
②參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）②
（2）
（3）7.5分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)散點圖的走勢即可對回歸方程作出判斷和選擇；
（2）把非線性回歸方程化為線性回歸直線方程，根據(jù)題中表格所給的數(shù)據(jù)計算求解即可；
（3）由已知當茶水溫度降至60℃口感最佳，即把代入（2）中的回歸方程，化簡可得大約需要放置的時間；
【小問1詳解】
根據(jù)散點圖判斷，其變化趨勢不是線性的，而是曲線的，因此，選②更適宜此散點的回歸方程.
【小問2詳解】
由有：，兩邊取自然對數(shù)得：，設，， ，
則化為：，又，

，，

，，
回歸方程為：，
即.
【小問3詳解】
當時，代入回歸方程得：，化簡得：，即，
又，
約化為：，
即


大約需要放置7.5分鐘才能達到最佳飲用口感.
21. 已知橢圓的離心率為，點，為的左、右焦點，經(jīng)過且垂直于橢圓長軸的弦長為3.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點，與直線交于點，若，且點滿足，求線段的最小值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由通徑性質(zhì)、離心率和橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設，，，為，注意情況，聯(lián)立橢圓方程應用韋達定理求，，結(jié)合、坐標表示得到，進而有求，再求坐標，應用兩點距離公式得到關(guān)于的表達式求最值，注意取值條件.
【小問1詳解】
對于方程，令，則，解得，
由題意可得，解得，，
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無交點，不滿足條件．
設直線：，若，則，則不滿足，所以．
設，，，
由得：，，
所以，．
因為，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯(lián)立，解得，即，
∴，
當且僅當或時,等號成立，
∴的最小值為．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
22. 已知，且0為的一個極值點．
（1）求實數(shù)值；
（2）證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點；
②，其中且．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求得，由0為的一個極值點，可得，進而求解；
（2）①當時，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時函數(shù)無零點；當時，設，結(jié)合其導數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點存在性定理，可知存在，使得，進而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無零點；當時，由，可得在單減，再結(jié)合零點存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點；當時，由，此時函數(shù)無零點，最后綜合即可得證.
②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.
【小問1詳解】
由，
則，
因為0為的一個極值點，
所以，所以．
當時，，
當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即在上單調(diào)遞減；
當時，，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當時，，即單調(diào)遞增，
又因為，
所以，，在上單調(diào)遞增；.
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以0為的一個極值點，故.
【小問2詳解】
①當時，，所以單調(diào)遞減，
所以對，有，此時函數(shù)無零點；
當時，設，
則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點存在定理，存在，使得，
且當時，，即單調(diào)遞增，
當時，，即單調(diào)遞減．
又因為，
所以，，在上單調(diào)遞增；
因為，，
所以存在，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減．
所以，當時，單調(diào)遞增，；
當時，單調(diào)遞減，，
此時在上無零點；
當時，，
所以在單減，
又，，
由零點存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點；
當時，，此時函數(shù)無零點；
綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點．
②因為，由（1）中在上的單調(diào)性分析，
知，所以在單增，
所以對，有，
即，所以．
令，則，
所以，
設，，
則，
所以函數(shù)上單調(diào)遞減，
則，
即，，
所以 ，
所以，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.


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