湖南省衡陽縣第四中學2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學模擬測評卷（A卷）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若向量，，且a與b的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于( ).
A.0B.C.0或D.0或
2.已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，，為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓C上的動點，則面積的最大值為( ).
A.9B.12C.15D.20
3.圓上的點到直線的最大距離與最小距離的和是( )
A.36B.18C.D.
4.橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱.若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為( )
A.B.C.D.
5.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABC，D為AB的中點，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6.已知雙曲線的下、上焦點分別為，點M在C的下支上，過點M作C的一條漸近線的垂線，垂足為D.若恒成立，則C的離心率的取值范圍為( )
A.B.C.D.
7.已知圓，圓.點M、N分別是圓、圓上的動點，P為x軸上的動點，則的最大值是( )
A.B.9C.7D.
8.設拋物線的焦點為F，過點且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則( )
A.5B.6C.7D.8
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9.已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.若，則
B.若，則
C.不存在實數(shù)，使得
D.若，則
10.已知雙曲線的左焦點為F，過點F的直線交C的左支于M，N兩點，直線為C的一條漸近線，則下列說法正確的有( )
A.
B.存在點M，使得
C.的最小值為1
D.點M到直線距離的最小值為2022
11.已知直線，圓，則以下命題正確的是( )
A.直線l恒過定點
B.直線l與圓C恒相交
C.圓C被x軸截得的弦長為
D.圓C被直線l截得的弦最短時，
12.拋物線有如下光學性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射山.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是( )
A.B.
C.D.與之間的距離為4
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知直線與直線平行，且直線與圓相切，則實數(shù)_________，________.
14.已知拋物線的焦點為F，拋物線與拋物線交于O，A兩點，過點A作拋物線準線l的垂線，垂足為B，若的外接圓C的半徑為，則圓C的標準方程為_____________.
15.在長方體中，，，Q是線段上一點，且，則點Q到平面的距離為____________.
16.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是__________.
四、解答題：本題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（10分）已知圓與直線相交于不同的A、B兩點.
(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若，求實數(shù)m的值.
18.（12分）如圖，和都是邊長為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直.平面，且.
(1)設P是的中點，求證：平面.
(2)求二面角的正弦值.
19.（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為-3的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.
(1)求的面積.
(2)若(O為坐標原點)，點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
20.（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，A是C的右頂點，，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4.
（1）求橢圓C的標準方程
（2）若不過點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
21.（12分）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，側(cè)面為菱形，，且側(cè)面底面ABC，點D為的中點，點E為直線與平面ABC的交點.
(1)試確定點E的位置，并證明：平面；
(2)求直線AB與平面所成角的正弦值.
22.（12分）已知拋物線，拋物線C上橫坐標為1的點到焦點F的距離為3.
（1）求拋物線C的方程及其準線方程；
（2）過的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，交直線于點E，直線BF交直線于點D.是否存在這樣的直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由題意得，解得或.故選C.
2.答案：B
解析：由題意可知，，即，因為，所以，即，.
當P為橢圓C的短軸的端點時，的面積取最大值，面積為.
3.答案：C
解析：即，圓的圓心坐標為，半徑.因為圓心到直線的距離，所以可知直線與圓相離，該圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為，最大距離與最小距離的和是.
4.答案：A
解析：解法一：設，則，易知，所以（*）.因為點P在橢圓C上，所以，得，代入（*）式，得，結(jié)合，得，所以.故選A.
解法二：設橢圓C的右頂點為B，則直線BP與直線AQ關于y軸對稱，所以，所以，所以.故選A.
5.答案：B
解析：取AC的中點O，連接OP，OB，
，，
平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，
又，，
以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
是等腰直角三角形，，為等邊三角形，
，，，，
，，
.
異面直線AC與PD所成角的余弦值為.
故選B.
6.答案：A
解析：設，則點到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，則的最小值為，
由恒成立，得恒成立，即，即，即，即，故.故選A.
7.答案：B
解析：圓的圓心為，半徑為1，
圓的圓心為，半徑為3.
要使最大，需最大，且最小，的最大值為，的最小值為，故的最大值是，關于x軸對稱的點為，，故的最大值為，故選B.
8.答案：D
解析：設，.由已知可得直線的方程為，即，由得.
由根與系數(shù)的關系可得，，
，，，，故選D.
9.答案：AC
解析：由得，
解得，故A選項正確；由
得，解得，故B選項錯誤；
若存在實數(shù)，使得，則，
，，顯然無解，
即不存在實數(shù)使得，故C選項正確；
若，則，解得，
于是，故D選項錯誤.
10.答案：AC
解析：由C的漸近線方程為，得，故，A正確；
根據(jù)雙曲線定義知，所以不存在點M，使得，B錯誤；為雙曲線左支上的焦點弦，由雙曲線的性質(zhì)可知，當MN與x軸垂直時取最小值，，故C正確；
直線和C的漸近線平行，且與C的左支不相交，故C上的點M到直線的距離沒有最小值，D錯誤.故選AC.
11.答案：BC
解析：由題意，直線可化為，令，解得，即直線過定點，所以選項A錯誤；圓的方程可化為，點在圓C的內(nèi)部，所以直線l與圓C恒相交，所以選項B正確；在圓中，令，得，所以，所以選項C正確；由于直線l過定點.又圓心為，由斜率公式得過定點和圓心的直線斜率，所以當直線l的斜率為2時，被圓C截得的弦長最短，此時，所以D選項錯誤，故選BC.
12.答案：ABC
解析：根據(jù)題意知，軸，所以，又P在拋物線上，所以，
根據(jù)拋物線的光學性質(zhì)知，PQ過焦點F，又易知，所以，故B正確；
因為，所以直線PQ的方程為，與聯(lián)立，消去x得，
所以，，所以，故A正確；
，故C正確；
與之間的距離為，故D錯誤.
故選ABC.
13.答案：2；
解析：由于，則，所以，
故直線.
又圓心，直線與圓C相切，所以.
14.答案：
解析：由已知得，聯(lián)立解得點，
，則線段AB的中垂線.
又，且由拋物線的定義可知，線段BF的中垂線過點A，
則線段BF的中垂線，即，
聯(lián)立解得圓心，則圓C的半徑，
解得，，
圓C的標準方程為.
15.答案：
解析：如圖，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
由，得，
，
設平面的法向量為，
由得
取，則，，，
點Q到平面的距離.
16.答案：13
解析：如圖，連接，，，
因為C的離心率為，所以，所以，所以.因為，所以為等邊三角形，又，所以直線DE為線段的垂直平分線，所以，，且，所以直線DE的方程為，代入橢圓C的方程，得.設，則，則，，所以，解得，所以，所以的周長為.
17.答案：(1)實數(shù)m的取值范圍是.
(2).
解析：(1)由消去y得，，
由已知得，，解得，故實數(shù)m的取值范圍是.
(2)設圓C的半徑為r，因為圓心到直線的距離為，
所以，
由已知得，解得.
18.答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)證明：取的中點O，連接.
是正三角形，
.
∵平面平面，平面平面，
平面.
平面，
.
在中，，
.
又，
為等腰三角形.
是的中點，.
平面，
.
平面平面，
平面.
(2)由(1)知，，
∴四邊形為平行四邊形，
，
.
以點O為坐標原點，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系，
則，，
.
設平面的法向量為，
則即
令，則，
.
設平面的法向量為，
則即
令，則，
.
.
，
∴二面角的正弦值為.
19.答案：(1)
(2)是；
解析：(1)依題意可知，，則，
，
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，則，所以的面積.
(2)由(1)可解得.
所以雙曲線C的方程為.
設，則，則，.
設直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得，
由，得.
由一元二次方程根與系數(shù)的關系得，
所以.
則，故為定值.
20.答案：(1)標準方程為.
(2)過定點.
解析：(1)M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，
，
四邊形OMPN的周長為，
，
，
，
橢圓C的標準方程為.
(2)設，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，
代入，整理得，
則，
.
易知，
，
化簡得，
或(舍去)，
直線l的方程為，即，直線l過定點.
當直線l的斜率不存在時，設，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此時直線l過點.
綜上，直線l過定點.
21.答案：(1)見解析.
(2)正弦值為.
解析：(1)延長線段，交AC的延長線于點E.
平面ABC，
平面ABC.
又平面，點E即為所求.
連接交直線于點F，連接FD.
，即，
點D為的中點.
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
為線段的中點，
為的中位線，
.
又平面平面，
平面.
(2)連接，取AC的中點O，連接，
側(cè)面為菱形，，
.
又側(cè)面底面ABC，側(cè)面底面?zhèn)让妫?br>平面ABC.
又為等邊三角形，兩兩垂直.
以O為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
不妨設.由已知可得，則.
設平面的一個法向量為.
則有
取，則，即.
設直線AB與平面所成角為，
則，
即直線AB與平面所成角的正弦值為.
22.答案：（1），準線方程為
（2）存在這樣的直線l，使得，直線l的方程為或
解析：（1）因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3，所以，解得，
所以，
所以準線方程為.
（2）顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為，，.
由消去y，得.
令，解得.
所以且.
由根與系數(shù)的關系得，.
解法一：直線BF的方程為，
又，所以，
所以，
因為，所以直線DE與直線AF的斜率相等.
又，所以.
整理得，即，
化簡得，
，即.
所以，整理得，
解得.經(jīng)檢驗，符合題意.
所以存在這樣的直線l，使得，直線l的方程為或.
解法二：因為，所以，
所以.
整理得，即，
整理得.
解得，經(jīng)檢驗，符合題意.
所以存在這樣的直線l，使得，直線l的方程為或.

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