一、選擇題
1、已知集合,,則( )
A.B.
C.D.
2、若復數(shù)滿足,則( )
A.B.C.D.
3、已知向量,,則向量與的夾角的余弦值為( )
A.B.C.D.
4、下列函數(shù)在上是增函數(shù)的是( )
A.B.C.D.
5、過橢圓的兩個焦點作垂直于x軸的直線與橢圓有四個交點,且這四個交點恰好為正方形的四個頂點,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
6、命題:,命題:,則命題A是命題( )
A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分且必要條件D.既非充分也非必要條件
7、已知,過點P作圓(為參數(shù),且)的兩條切線分別切圓C于點A,B,則的最大值為( )
A.B.C.D.
8、甲,乙,丙三人相互做傳球訓練,第一次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人,下列說法正確的是( )
A.2次傳球后球在丙手上概率是B.3次傳球后球在乙手上的概率是
C.3次傳球后球在甲手上的概率是D.n次傳球后球在甲手上的概率是
二、多項選擇題
9、已知為等差數(shù)列,前項和為,,公差d=?2,則( )
A.
B.當或7時,取得最小值
C.數(shù)列的前10項和為50
D.當時,與數(shù)列()共有671項互為相反數(shù).
10、牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型:若物體初始溫度是(單位:),環(huán)境溫度是(單位:),其中,則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足(且).現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里,根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況,下列結論正確的是( )(參考數(shù)值)
A.若,則
B.若,則紅茶下降到所需時間大約為6分鐘
C.5分鐘后物體的溫度是,k約為0.22
D.紅茶溫度從下降到所需的時間比從下降到所需的時間多
11、已知定義在R上的函數(shù)滿足,且為偶函數(shù),則下列說法一定正確的是( )
A.函數(shù)的周期為2B.函數(shù)的圖象關于對稱
C.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)的圖象關于對稱
12、如圖是一個裝有水的全封閉直三棱柱容器,,,若水的體積恰好是該容器體積的一半,容器厚度忽略不計,則( )
A.轉動容器,當平面水平放置時,容器內水面形成的截面為DEFG,則D,E,F,G都是所在棱的中點
B.當?shù)酌嫠椒胖煤?將容器繞著轉動(轉動過程中始終保持水平),有水的部分是棱柱
C.在翻滾轉動容器的過程中,有水的部分可能是三棱錐
D.容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為
三、填空題
13、二項式的展開式中的系數(shù)是________.
14、若函數(shù),在上恰有兩個最大值點和四個零點,則實數(shù)的取值范圍是______________.
15、《九章算術》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖,現(xiàn)有一方亭,其中上底面與下底面的面積之比為,,方亭的四個側面均為全等的等腰梯形,已知方亭四個側面的面積之和為,則方亭的體積為______.
16、已知,分別是雙曲線(,)的左,右焦點,雙曲線上有一點M,滿足,且,則該雙曲線離心率的取值范圍是____
四、解答題
17、在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足.
（1）求B;
（2）若,BD是AC邊上的高,求BD的最大值.
18、如圖,在四棱錐中,平面PAD,為等邊三角形,,,平面PBC交平面PAD直線l,E,F分別為棱PD,PB的中點.
（1）求證:;
（2）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值;
（3）在棱PC上是否存在點G,使得平面AEF?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
19、設等比數(shù)列的首項為,公比為q(q為正整數(shù)）,且滿足是與的等差中項;數(shù)列滿足(,).
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）試確定t的值,使得數(shù)列為等差數(shù)列;
（3）當為等差數(shù)列時,對每個正整數(shù)k,在與之間插入個2,得到一個新數(shù)列.設是數(shù)列的前n項和,試求.
20、已知橢圓經(jīng)過點,且離心率為.
（1）求橢圓E的方程;
（2）若經(jīng)過點,且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為定值.
21、五一小長假到來,多地迎來旅游高峰期,各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客,小明去成都某熊貓基地游玩時,發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲,游戲規(guī)則為:在一個足夠長的直線軌道的中心處有一個會走路的機器人,游客可以設定機器人總共行走的步數(shù),機器人每一步會隨機選擇向前行走或向后行走,且每一步的距離均相等,若機器人走完這些步數(shù)后,恰好回到初始位置,則視為勝利.
（1）若小明設定機器人一共行走4步,記機器人的最終位置與初始位置的距離為步,求的分布列和期望;
（2）記為設定機器人一共行走步時游戲勝利的概率,求,并判斷當i為何值時,游戲勝利的概率最大;
（3）該基地臨時修改了游戲規(guī)則,要求機器人走完設定的步數(shù)后,恰好第一次回到初始位置,才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn),利用現(xiàn)有的知識無法推斷設定多少步時獲得勝利的概率最大,于是求助正在讀大學的哥哥,哥哥告訴他,“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑:將n個0和n個1排成一排,若對任意的,在前k個數(shù)中,0的個數(shù)都不少于1的個數(shù),則滿足條件的排列方式共有種,其中,的結果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設定機器人行走2i步時恰好第一次回到初始位置的概率,證明:對（2）中的,有
22、已知函數(shù).
（1）討論在區(qū)間上的單調性;
（2）當時,若存在滿足,證明.
參考答案
1、答案：A
解析：因為,故,
又,
所以,,,,
則A正確,B,C,D錯誤,
故選:A.
2、答案：B
解析：由已知可得,
故選:B.
3、答案：D
解析：由,,
則,,
所以,,,
設向量與的夾角為,則.
故選:D
4、答案：C
解析：函數(shù)在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),,設,故得到在上單調增,內層也是增函數(shù),故函數(shù)在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).
故答案為C.
5、答案：B
解析：過橢圓的兩個焦點作垂直于x軸的直線與橢圓有四個交點,且這四個交點恰好為正方形的四個頂點,則有,
,,,
故選:B
6、答案：A
解析：先考慮充分性,
由,平方得,
即.
所以命題A是命題充分條件;
再考慮必要性,
當時,,則,
所以命題A是命題非必要條件.
綜合得命題A是命題充分非必要條件.
故選:A.
7、答案：C
解析：圓心,半徑為1,圓心C在直線上運動,
設,則,由圓的幾何性質可知,
所以,,
當直線PC與直線垂直時,取最小值,則取最小值,
且,則,則,
由雙勾函數(shù)的單調性可知,函數(shù)在上為增函數(shù),且,
故函數(shù)在上為減函數(shù),
故當時,取得最大值.
故選:C.
8、答案：C
解析：第一次甲將球傳出后,2次傳球后的所有結果為:甲乙甲,甲乙丙,甲丙甲,甲丙乙,共4個結果,
它們等可能,2次傳球后球在丙手中的事件有:甲乙丙,1個結果,所以概率是,故A錯誤;
第一次甲將球傳出后,3次傳球后的所有結果為:甲乙甲乙,甲乙甲丙,甲乙丙甲,甲乙丙乙,
甲丙甲乙,甲丙甲丙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,共8個結果,
它們等可能,3次傳球后球在乙手中的事件有:甲乙甲乙,甲乙丙乙,甲丙甲乙,3個結果,
所以概率為,故B錯誤;
3次傳球后球在甲手上的事件為:甲乙丙甲,甲丙乙甲,2個結果,所以概率為,故C正確;
次傳球后球在甲手上的事件記為,則有,
令,則,,
于是得,
故,則,
而第一次由甲傳球后,球不可能在甲手中,即,則有,
數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
所以,即,故D錯誤.
故選:C
9、答案：ACD
解析：對于A,等差數(shù)列中,,公差,則,,故A正確;
對于B,由A的結論,,則,由當時,,,當時,,則當或6時,取得最大值,且其最大值為,B錯誤;
對于C,
,故C正確,
對于D,由,則,
則數(shù)列中與數(shù)列中的項互為相反數(shù)的項依次為:
,,,,,,
可以組成以為首項,為公差的等差數(shù)列,設該數(shù)列為,則,
若,解可得,即兩個數(shù)列共有671項互為相反數(shù),D正確.
故選:ACD.
10、答案：AC
解析：由題知,
A選項:若,即,所以,則,A正確;
B選項:若,則,則,兩邊同時取對數(shù)得,所以,所以紅茶下降到所需時間大約為7分鐘,B錯誤;
C選項:5分鐘后物體的溫度是,即,則,得,所以,故C正確;
D選項:為指數(shù)型函數(shù),如圖,可得紅茶溫度從下降到所需的時間()比從下降到所需的時間()少,故D錯誤.
故選:AC.
11、答案：BC
解析：依題意,R上的函數(shù),,則,函數(shù)的周期為4,A錯誤;
因為函數(shù)是偶函數(shù),則,函數(shù)的圖象關于對稱,
且,即,函數(shù)圖象關于對稱,B正確;
由得,則函數(shù)為偶函數(shù),C正確;
由得,由得,
因此,函數(shù)的圖象關于對稱,D錯誤.
故選:BC
12、答案：BD
解析：A:當平面水平放置時,假設D,E,F,G都為所在棱的中點,
設水面到底面的的距離為h,,,
所以水的體積為,
又轉動前水的體積為,
所以D,E,F,G不為所在棱的中點,故A錯誤;
B:當平面水平放置時(始終保持水平),則平面平面,
所以有水的部分是棱柱,故B正確;
C:在翻滾?轉動容器的過程中,
當平面水平放置時,三棱錐的體積取到最大值,如圖,
此時,
而水的體積為,所以有水的部分不可能是三棱錐,故C錯誤;
D:取AC,的中點D,,連接,取的中點O,連接OA,
則D為的外接圓圓心,O為三棱柱外接球的球心,
所以OA為外接球的半徑,且,
所以直三棱柱外接球體積.
由選項A可知,容器中水的體積為,
又,所以,
當且僅當時等號成立,所以,
則水的體積與直三棱柱外接球體積之比為,
即容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為,故D正確.
故選:BD.
13、答案：
解析：展開式的通項公式為,
令,則,
故答案為:.
14、答案：
解析：由三角恒等變換可得,
時,有,
若要滿足題意則需:.
故答案為:
15、答案：
解析：由題意得,設,則,.
過點E,F在平面ABFE內分別作,,垂足分別為點M,N,
在等腰梯形ABFE中,因為,,,則四邊形MNFE為矩形,
所以,,則,
因為,,,
所以,所以,
在中,由勾股定理得,
所以等腰梯形ABFE的面積為,所以.
所以,,方亭的高,
故方亭的體積為.
故答案為:
16、答案：.
解析：如示意圖,
設,,由雙曲線的定義可得:,而,由余弦定理:,于是.
記,而,由對勾函數(shù)的性質可知,函數(shù)在上單調遞減,則函數(shù)在上單調遞增,所以,,即.
故答案為:.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因為,
所以,
由正弦定理可得,
即,
因為,所以,
所以,則.
（2）因為,,
由余弦定理,即,
所以當且僅當時取等號,
所以,則,當且僅當時取等號,
所以,又,
所以,
故BD的最大值為.
18、答案：（1）見解析
（2）
（3）見解析
解析：（1）因為,平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD,
又因為平面PBC,平面平面直線l,
所以.
（2）取AD的中點O,連接OP,OB,
由題意可得:,且,
則OBCD為平行四邊形,可得,
且平面PAD,則平面PAD,
由平面PAD,則,
又因為為等邊三角形,則O為AB的中點,可得,
,OB,平面ABCD,則平面ABCD,
如圖,以O為坐標原點,OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則,,,,,,,
可得,,
設平面AEF的法向量,則,
令,則,,即,
由題意可知:平面PAD的法向量,
可得,
所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值.
（3）由（2）可得:,
設,,則,
可得,解得,
即,可得,
若平面AEF,則,
可得,解得,
所以存在點G,使得平面AEF,此時.
19、答案：（1）見解析
（2）2226
解析：（1）由題意,可得,所以,
解得或(舍)則,
又,所以.
（2）由,得,
所以,,,
因為數(shù)列為等差數(shù)列,所以,解得,
所以當時,,由(常數(shù))知此時數(shù)列為等差數(shù)列.
（3）因為,所以與之間插入2個2,
,所以與之間插入4個2,
,所以與之間插入6個2,
……
則的前100項,由個,,,,…,,構成,
所以.
20、答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）由題意可知:,,又,解得,,,
所以橢圓方程為
（2）證明:由題意可知直線PQ有斜率,由于與點的連線的斜率為,
且的橫縱坐標恰好與,相反,因此直線PQ有斜率滿足且,
直線PQ的方程為:,
聯(lián)立直線與橢圓方程:,
設,,
則,,
,
將,代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1,即為定值,得證.
21、答案：（1）
（2）見解析
（3）見解析
解析：（1）依題可知,X的可能取值為0,2,4.
,,,
所以,X的分布列如下:
所以,.
（2）依題可知,時,,所以時勝利的概率最大.
（3）記事件“機器人行走2i步時恰好第一次回到初始位置”,“機器人第一步向前行走”,則“機器人第一步向后行走”.
下面我們對事件AB進行分析
AB發(fā)生時,假設機器人第2i步是向前行走,則之前步機器人向前走的步數(shù)比向后走少一步,而因為機器人第一步為向前行走,
這說明存在使得機器人走了k步時回到了初始位置,這與A的發(fā)生矛盾,所以假設不成立.即機器人第2i步為向后行走,
從而機器人第2步到第步向前和向后行走的步數(shù)均為,且從第2步開始,到第步的這步,任意時刻機器人向前走的步數(shù)均不少于向后走的步數(shù)(否則在這過程中機器人會回到初始位置).
根據(jù)卡特蘭數(shù),從第2步到第步共有種行走方式.通過上述分析知,,
所以.
由于,
,故等式成立.
22、答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）當,在單調遞減;
當時,,
①當時,,,,;
②當時,在恒成立;
③當時,,,,;
綜上所述,當時,在單調遞增,在單調遞減;
當時,在單調遞減;
當時,在單調遞減,在單調遞增.
（2）由,得,即,
由（1）可知,當時,,,
當時,;當時,,
在單調遞增,在單調遞減,
又當,,當時,,
故,即.欲證,即證.
設,,
則,
即在單調遞減,
又,所以,即,
又,所以,
又因為在單調遞增,,,
所以,即得證.
X
0
2
4
P

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