2023武漢華中師范大學第一附中高一下學期6月月考數(shù)學試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

?華中師大一附中2022~2023學年度第二學期高一年級
六月月考數(shù)學
時限:120分鐘滿分:150分
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.
1. 已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用純虛數(shù)的定義求出a，即可判斷作答.
【詳解】因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.
故選：D
2. 已知向量，若，則（）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C

3. 如圖是廟山中學藝術(shù)節(jié)期間收到的高一和高二兩個年級各類藝術(shù)作品的情況統(tǒng)計圖:

已知高一收到的剪紙作品比高二的多20件，收到的書法作品比高二的少100件，則兩年級收到的藝術(shù)作品的總數(shù)為（）
A. 1000件 B. 1100件 C. 1200件 D. 1250件
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合扇形統(tǒng)計圖列方程求出兩年級收到的藝術(shù)作品的件數(shù)，由此可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)高一收到的藝術(shù)作品的件數(shù)為，高二收到的藝術(shù)作品的件數(shù)為，
由扇形統(tǒng)計圖可得，
高一收到的剪紙作品的件數(shù)為，高二收到的剪紙作品的件數(shù)為，
高一收到的書法作品的件數(shù)為，高二收到的剪紙作品的件數(shù)為，
由已知可得，
解得，
所以，
所以兩年級收到的藝術(shù)作品的總數(shù)為件.
故選：B.
4. 已知△ABC中，，則在上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知，且O是邊的中點，結(jié)合可得是等邊三角形，從而推出，利用投影向量的定義即可求得答案.
【詳解】由,知，且O是邊的中點，

則,而，所以，
所以是等邊三角形，所以,
因此向量在向量上的投影向量為，
故選：A
5. 如圖，要計算湯遜湖岸邊兩建筑物B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得，，則兩建筑物B與C的距離為（）

A. km B. km C. km D. km
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用正、余弦定理運算求解.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
即，整理得，
解得或（舍去），
在中，由題意可得，
由正弦定理可得，所以（km）.
故選：C.
6. 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，若下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差滿足，則對應(yīng)的情形是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式逐項運算求解，并對比分析即可.
【詳解】設(shè)，
對于選項A：平均數(shù)；
對于選項B：平均數(shù)；
對于選項C：平均數(shù)；
對于選項D：平均數(shù)；
因為，即，
所以，即對應(yīng)的情形是選項D.
故選：D
7. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，則的最大值為（）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正項定理結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為，
由正弦定理可得：，
注意到，
即，
整理得，
且，則，則，
即，
又因為，則，
可得，所以，
由余弦定理可得，
即，當且僅當時，等號成立，
且，可得，所以的最大值為2.
故選：A.
8. 已知長方體全部條棱的長度和為，其外接球的表面積為，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得到幾何體的體積為，則該幾何體的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，，，依題意得到關(guān)于、、的方程組，解得，再求出其表面積.
【詳解】
設(shè)，，，則，∴①，
又（為長方體外接球半徑），∴②，
又，∴③，
由①②③，解得或或，
所以，
若，，則，，
所以，
所以，
其他情況，同理可得.
故選：B
二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列是從總體中抽得的樣本，簡單隨機樣本為（）
A. 總體編號為1~75，任意選出編號范圍內(nèi)的10個數(shù)字作為抽中的編號
B. 總體編號為1~75，在0~99中產(chǎn)生隨機整數(shù)r，若或，則舍棄，重新抽取
C. 總體編號為1~75，在0~99中產(chǎn)生隨機整數(shù)r，r除以75的余數(shù)作為抽中的編號.若余數(shù)為0，則抽中75
D. 總體編號為6001～6876，在1~876范圍內(nèi)產(chǎn)生一個隨機整數(shù)r，把作為抽中的編號
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)抽中的可能性是否相等依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】對于選項A：因為總體編號為1~75，且任意選出編號范圍內(nèi)10個數(shù)字，
則每個數(shù)字被抽中是等可能性的，所以是簡單隨機樣本，故A正確；
對于選項B：總體編號為1~75，在0~99中產(chǎn)生隨機整數(shù)r，若r=0或r>75.則舍棄，重新抽取.
只有編號為1~75可能被抽中，但不是等可能性的，所以不是簡單隨機樣本，故B錯誤；
對于選項C：總體編號為1~75，在0~99中產(chǎn)生隨機整數(shù)r，r除以75的余數(shù)作為抽中的編號，若余數(shù)為0，則抽中75.
因為1~24，75號與25~74號抽中的可能性不同，所以不是簡單隨機樣本，故C錯誤；
對于選項D：總體編號為6001~6876，在1~876范圍內(nèi)產(chǎn)生一個隨機整數(shù)r，把r+6000作為抽中的編號.
每個編號抽中的可能性相同，所以是簡單隨機樣本，故D正確；
故選：AD.
10. 根據(jù)氣象學上的標準，某地連續(xù)5天的日平均氣溫低于10°C即為入冬，將該地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本.現(xiàn)有以下4組樣本，分別計算得到相關(guān)數(shù)據(jù)，則一定符合入冬指標的樣本為（）
A. 平均數(shù) B. 平均數(shù)，且極差小于或等于3
C. 平均數(shù)，且標準差 D. 眾數(shù)等于5，且極差小于或等于4
【答案】BD
【解析】
【分析】分析每個選項數(shù)據(jù)是否有可能大于10，選出符合題意選項.
【詳解】對于選項A：舉反例：0，0，0，0，15，則平均數(shù)，
但不符合入冬標準，故A錯誤；
對于選項B：假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，
由極差小于或等于3知，此組數(shù)據(jù)最小值為大于或等于7，與平均值小于4矛盾，
故假設(shè)不成立，故B項正確；
對于選項C：舉反例：1，1，1，1，11，則平均數(shù)，
方差，即標準差為4，
但不符合入冬標準，故C錯誤；
對于選項D：眾數(shù)等于5且極差小于或等于4時，最大數(shù)不超過9，故D正確；
故選：BD.
11. 設(shè)滿足，其面積為，則（）
A. 周長為 B.
C. 外接圓的面積為 D. 中線長為
【答案】BCD
【解析】
【分析】依題意利用正弦定理可得，設(shè)，，，，利用余弦定理求出，再由面積公式求出，即可判斷A、B，由正弦定理求出外接圓的半徑，即可判斷C，利用正弦定理求出，從而求出，再由余弦定理計算D.
【詳解】因為滿足，
所以，
設(shè)，，，，
利用余弦定理，
由于，
所以，
所以，故，故B正確；
又，
所以，解得（負值舍去）．
所以，，，
所以的周長為，故A錯誤；
利用正弦定理，外接圓半徑，
所以外接圓的面積，故C正確；
如圖所示：

由正弦定理，即，解得，所以，
利用余弦定理，
解得，故D正確．
故選：BCD．
12. 如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，F(xiàn)，H為圓柱底面圓弧的兩個三等分點，EF，GH為圓柱的母線，點P，Q分別為線段AB，GH上的動點，經(jīng)過點D，P，Q的平面α與線段EF交于點R，正確的是（）

A. QR∥PD
B. 若R與F重合，則直線PQ過定點
C. 若α與平面BCF所成角為θ，則tanθ的最大值為
D. 若P，Q分別為線段AB，GH的中點，則α與圓柱側(cè)面的公共點到平面BCF距離的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷A；根據(jù)兩平面如果有一個公共點，則這個公共點一定在它們的交線上可判斷B；取特例驗證可判斷C；利用圓柱的對稱性可知RF即為所求，然后求解可判斷D.
【詳解】由題意可知：//，，，
對于選項A：因為//，平面，平面，所以//平面，
同理可證//平面，，平面，
所以平面//平面，
且平面，平面，
由面面平行的性質(zhì)定理可得：QR∥PD，故A正確；
對于選項B：設(shè)平面，則平面，且，
因為，則，
又因為平面，所以PQ必過點M，故B正確；

對于選項C：取特殊情況：點與點A重合，點與點重合，
即平面為平面α時，過點C作直線HF的垂線，垂足為N，連接DN，易知，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以，
所以為平面α與平面所成二面角平面角θ，
則，所以，故C錯誤；

對于選項D：因為P，Q分別為線段AB，GH的中點，
則由圓柱的對稱性可知，平面α與圓柱側(cè)面的公共點中，點R到平面BCF的距離最小，記EF的中點為T，連接TQ.
易知，所以，可得，
所以，即平面α與圓柱側(cè)面的公共點到平面BCF距離的最小值為，故D正確.

故選：ABD.
三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，，則實數(shù)m=__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合向量垂直的坐標運算求解.
【詳解】因為，則，
所以，解得.
故答案為：1.
14. 如圖，在正方體中，是的中點，則異面直線和所成角的大小為______．

【答案】##
【解析】
【分析】連接、、，設(shè)正方體的棱長為，推導出，則異面直線和所成角為或其補角，求出各邊邊長，利用余弦定理可求得角的大小，即為所求.
【詳解】如下圖所示，連接、、，設(shè)正方體的棱長為，
因為且，則四邊形為平行四邊形，故，
所以，異面直線和所成角為或其補角，

因為，同理可得，，
由勾股定理可得，
由余弦定理可得，
所以，，故異面直線和所成角的大小為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)，滿足，，則_________.
【答案】或
【解析】
【分析】依題意可得函數(shù)關(guān)于對稱且關(guān)于對稱，即可求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)周期求出，根據(jù)對稱中心求出，即可得到解析式；
【詳解】因為且，
所以，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
又，所以關(guān)于對稱，
又，所以，
所以，又，所以，所以，
又，即，
所以，因為，所以，
所以；
故答案為：或
16. 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，，△ABC是邊長為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，，則球O的體積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理求得，進而可得兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方體，利用正方體的性質(zhì)求外接球的半徑.
【詳解】設(shè)，則，
因為，則，
在中，因，則，
由余弦定理可得，
即，解得，
可知，即，所以兩兩垂直，
可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方體，可知球O即為正方體的外接球，
其體對角線即為外接球的直徑，即，
所以球O的體積.
故答案為：.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為:
甲：0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙：2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差，并說明哪臺機床的性能更好？
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】分別計算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差，比較平均數(shù)大小和標準差的大小，得到結(jié)論.
【詳解】甲的平均數(shù)為，
方差為，
故標準差為，
乙的平均數(shù)為，
方差為，
故標準差為，
因為，乙機器平均每天生產(chǎn)的次品數(shù)比甲的少，且機床性能更穩(wěn)定，
故乙機床性能更好.
18. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指標值分組

頻數(shù)

（1）在下圖上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的中位數(shù)（精確到）、平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定？
【答案】（1）頻率分布直方圖見解析；（2）中位數(shù)為：，平均數(shù)為；（3）不能.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可作出頻率分布直方圖；
（2）利用中位數(shù)左邊的直方圖面積之和為可求得中位數(shù)的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得出樣本的平均數(shù)；
（3）計算出質(zhì)量指標值不低于的產(chǎn)品所占比例，由此可得出結(jié)論.
【詳解】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：

（2）前個矩形面積之和為，
前個矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于，
質(zhì)量指標值的樣本中位數(shù)為，
質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為
；
（3）質(zhì)量指標值不低于的產(chǎn)品所占比例的估計值為，
所以不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定.
19. 杭州市為迎接2022年亞運會，規(guī)劃修建公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，運動員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點上進行．還需要運送一些補給物品，例如食物、飲料，工具和配件．所以項目設(shè)計需要預(yù)留出BD，BE為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），ED，DC，CB，BA，AE為賽道，．

（1）從以下兩個條件中任選一個條件，求服務(wù)通道BE的長度；
①；②
（2）在（1）條件下，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使折線段賽道BAE最長（即最大），最長值為多少？
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【解析】
【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.
選①：先由三角形的內(nèi)角和可得∠BDC=，從而知為直角三角形，然后由勾股定理，得解;
選②：在中，由余弦定理可得關(guān)于BE的方程，解之即可.
(2)在中，結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可得解.
【詳解】（1）在中，由正弦定理知，，解得，
選①：，，
，
在中，；
若選②，在中，由余弦定理知，，化簡得，解得或（舍負），
故服務(wù)通道BE的長度；
（2）在中，由余弦定理知，，
，
，即，當且僅當時，等號成立，此時，的最大值為．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查解三角形的實際應(yīng)用，還涉及利用基本不等式解決最值問題，熟練掌握正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.
20. （1）廟山中學在對高一年級學生身高的調(diào)查中，根據(jù)男、女學生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機抽樣分別抽取了男生50名和女生30名，測量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位:cm）如下:
性別
人數(shù)
平均數(shù)
方差
男生
50
172
18
女生
30
164
30
請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算出該校高一年級學生身高的總樣本平均數(shù)與總樣本方差；
（2）已知總體劃分為3層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:l，，；，，；，，，記總樣本平均數(shù)為，總樣本方差為.利用以上數(shù)據(jù)，直接寫出總樣本方差的表達式（不要求寫出推理過程）；
（3）廟山中學采用分層隨機抽樣采集了高一、高二、高三年級學生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如下:

樣本量
樣本平均數(shù)
樣本方差
高一
100
167
120
高二
100
170
150
高三
100
173
150
利用（2）的表達式，求三個年級的總樣本方差.
【答案】（1）平均數(shù)169，方差37.5；（2）答案見詳解；（3）146
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得：總樣本平均數(shù)，總樣本方差，結(jié)合上述公式運算求解.
【詳解】設(shè)總樣本容量為，第組數(shù)據(jù)有個，即為，
其平均數(shù)為，方差為，頻率為，
則，可得，
所以總樣本平均數(shù)，
又因為

所以總樣本方差，
（1）因為，
總樣本平均數(shù)（cm），
總樣本方差；
（2）因為，
總樣本平均數(shù)為，
總樣本方差為.
（3）因為，
總樣本平均數(shù)為，
總樣本方差為.
21. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，，點M，N分別在線段AD和PC上，且.

（1）求證:PM∥平面BDN；
（2）設(shè)銳二面角大小為θ，且，求直線BD和平面PAD所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平面的判定定理分析證明；
（2）根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得銳二面角的平面角為，進而可證平面，結(jié)合線面角的定義運算求解.
【小問1詳解】
連接，設(shè)，連接，
由題意可得：//，則，
可得，所以//，
且平面，平面，所以PM∥平面BDN.
【小問2詳解】
由題意可得：，
取的中點，連接，
因為為等邊三角形，則，
由題意可得：//，且，則為平行四邊形，
又因為，可得為矩形，則，
所以銳二面角的平面角為，則，
且為銳角，則，
在中，，
由余弦定理可得，
即，
且，平面，所以平面，
過點作，垂足為，
且平面，則，
又因為//，則，
，平面，所以平面，
利用等面積法可得，
即，解得，
且//，平面，平面，則//平面，
點到平面的距離為，
設(shè)直線BD和平面PAD所成角為，則其正弦值，
所以直線BD和平面PAD所成角的余弦值.

22. 在棱長均為的正三棱柱中，為的中點．過的截面與棱，分別交于點，．

（1）若為的中點，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；
（2）若四棱錐的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；
（3）設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當點在棱上變動時，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）連結(jié)，并延長分別交，于點，，連結(jié)交于點，連結(jié)，，利用比例關(guān)系確定為靠近的三等分點，然后先求出棱柱的體積，連結(jié)，，由和進行求解，即可得到答案；
（2）求出點到平面的距離，得到點為靠近的四等分點，通過面面垂直的性質(zhì)定理可得即為截面與底面所成的二面角，在三角形中利用邊角關(guān)系求解即可；
（3）設(shè)，則，，先求出的關(guān)系以及取值范圍，然后將轉(zhuǎn)化為，表示，求解取值范圍即可．
【詳解】解：（1）連接，并延長分別交，延長線于點，，
連接交于點，連接，．
易得．
故為靠近的三等分點．，．
下面求三棱柱被截面分成兩部分的體積比．
三棱柱的體積．
連接，．由平面知，為定值．
．
．
．故．
（2）由及得，．
又，所以．
即點到的距離為，為靠近的四等分點．
因為平面平面，
所以截面與平面所成角即為截面與平面所成角，
在中，，，故．
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面．則即為截面與底面所成的二面角．
在中，，，．
故．
因此，截面與平面所成二面角的正弦值為．
（3）設(shè)，則，．
設(shè)的面積為，所以．
又因為，所以．
且．令則
故．
令則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以，
所以

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