華中師大一附中2022~2023學(xué)年度高一下學(xué)期五月月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘，總分：150分一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）1. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A.  B. 1 C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等及除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念及模的求法求結(jié)果即可.【詳解】由題設(shè)，則，故.故選：C2. 最接近（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式得到，從而利用特殊角三角函數(shù)值，判斷出答案.【詳解】，其中為第三象限角，且當(dāng)為第三象限角時(shí)，，其中，又，而較，離更近，綜上，最接近.故選：B3. 下列說法正確的是（    ）A. 各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B. 球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C. 以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D. 用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于A：雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；對于B：球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對于C：以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；對于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺，故D錯(cuò)誤；故選：B.4. 已知都是銳角，且，，則（        ）A.  B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先求，，然后求的值，根據(jù)為銳角求出的值．【詳解】因?yàn)?/span>都是銳角，且，所以 又故選B.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．5. 中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為37，在地面上點(diǎn)處（，，三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為30°和45°，在處測得樓頂部的仰角為15°，則鸛雀樓的高度約為（    ）A. 64 B. 74 C. 52 D. 91【答案】B【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，從而得到的長度.【詳解】因?yàn)?/span>中，⊥，m，，所以m，因?yàn)?/span>中，⊥，，所以，由題意得：，故，在中，由正弦定理得：，即，故m，故m故選：B6. 已知銳角，，，則邊上的高的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.【詳解】因?yàn)?/span>為銳角三角形，，設(shè)邊上的高為，所以，解得由正弦定理可得，，所以，，因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以邊上的高的取值范圍為.故選：C.7. 已知向量，，滿足，，，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量三角形不等式，求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍，再利用數(shù)量積的性質(zhì)求解作答.【詳解】，，而，即，解得，，而，即，解得在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，作，令，則，，于是點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，如圖，觀察圖形知，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相反，即點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與E重合時(shí)取等號，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)都在直線上，且方向相同，若點(diǎn)B與A重合，點(diǎn)C與E重合時(shí)，，若點(diǎn)B與D重合，點(diǎn)C與F重合時(shí)，，因此，所以的取值范圍是.故選：A8. 在中，有，則的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡得出三角形三邊，，的關(guān)系，利用基本不等式求出的最小值，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，從而得出的最大值，即可求出的最大值．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，，所以又，，，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，顯然為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.請將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域.）9. 若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. z的虛部為-1C. 為純虛數(shù) D. 【答案】ABC【解析】【分析】由的冪運(yùn)算的周期性可求得；根據(jù)復(fù)數(shù)模長、虛部定義、乘方運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】，對于A，，A正確；對于B，由虛部定義知：的虛部為，B正確；對于C，為純虛數(shù)，C正確；對于D，由共軛復(fù)數(shù)定義知：，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10. 在正方體中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含C）過M，N，P的正方體的截面記為，則下列判斷正確的是（    ）A. 當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，截面為六邊形B. 當(dāng)時(shí)，截面為五邊形C. 當(dāng)截面為四邊形時(shí)，它一定是等腰梯形D. 設(shè)中點(diǎn)為Q，三棱錐的體積為定值【答案】AC【解析】【分析】延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，結(jié)合圖形即可判斷A；延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，求出即可判斷B；當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，判斷四邊形的形狀即可判斷C.設(shè)為到平面的距離，三棱錐的體積：，不為定值，可判斷D.【詳解】對A，如下圖所示，延長交于，交于，延長交于，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，因?yàn)?/span>M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，所以，同理，又因?yàn)?/span>，所以，同理，所以共面，此時(shí)六邊形為截面，所以截面為六邊形，故A正確；對B，如下圖所示，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時(shí)截面為五邊形，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，故B錯(cuò)誤；對C，當(dāng)截面為四邊形時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，由A得，，所以四邊形即為截面，設(shè)正方體的棱長為1，則，，所以，所以四邊形是等腰梯形，故C正確.對D，設(shè)為到平面的距離，延長，交于一點(diǎn)，連接與交于一點(diǎn)，所以直線與平面相交，所以直線與平面不平行，三棱錐的體積：，因?yàn)?/span>為定值，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，所以到平面的距離不為定值，所以三棱錐的體積為不為定值，故D不正確.故選：AC.11. 設(shè)、、是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算：，其中由向量以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直角得到（若為零向量，規(guī)定也是零向量）.對平面向量、、，下列說法正確的是（    ）A. B. 對任意，C. 若、為不共線向量，滿足，則，D. 【答案】BD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論結(jié)合題中定義可判斷B選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；對、是否共線進(jìn)行分類討論，結(jié)合題中定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)向量、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，設(shè)，則，同理可得，所以，，，則，A錯(cuò)；對任意的，由A選項(xiàng)可知，，當(dāng)、不共線時(shí)，，，B對；因?yàn)?/span>，所以，，所以，，同理可得，C錯(cuò)；當(dāng)、不共線時(shí)，由C選項(xiàng)可知，，所以，，所以，.任取兩個(gè)向量、，對任意的實(shí)數(shù)，，當(dāng)、共線時(shí)，設(shè)存在使得，且，所以， ，綜上所述，，D對.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量中的新定義，解題的關(guān)鍵在于理解題中運(yùn)算的含義，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.12. 假設(shè)，且．當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（    ）A. 設(shè)，則B. 設(shè)，若//，則C. 設(shè)，若，則D. 設(shè)，若與的夾角為，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量的相關(guān)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：，對于A：若，則，可得，所以，故A正確；對于B：∵，則，若//，則有：當(dāng)或時(shí)，則或，可得成立；當(dāng)且時(shí)，則存唯一實(shí)數(shù)，使得，則，可得，整理得；綜上所述：若//，則，故B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故C錯(cuò)誤；對于D：∵，由選項(xiàng)A可得：，由選項(xiàng)C可得：，若與的夾角為，則，即，解得，∵，則，故D正確；故選：ABD.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）13. 已知，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.14. 已知，為非零不共線向量，向量與共線，則______.【答案】【解析】【分析】依題意，可以作為平面內(nèi)的一組基，則，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)?/span>，為非零不共線向量,所以，可以作為平面內(nèi)的一組基底,又向量與共線，所以，即，所以，解得.故答案為：15. 如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，液面高為__________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用柱體體積公式求出水的實(shí)際體積，再由兩種情況的放置水的體積相同求解作答.【詳解】設(shè)的面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，液面高為h，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為當(dāng)?shù)酌?/span>ABC水平放置時(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，液面高為12.故答案為：1216. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，點(diǎn)P是的重心，且，則___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換可得或，利用重心的性質(zhì)、模的性質(zhì)及數(shù)量積得運(yùn)算，可建立關(guān)于的方程，求解后利用余弦定理求a即可.【詳解】，整理得，解得或（舍去），或.又∵點(diǎn)P是的重心，，整理得.當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)，解得.故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換，向量的數(shù)量積運(yùn)算法則、性質(zhì)，余弦定理，屬于難題.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17. 如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算：（1）求下部四棱臺的側(cè)面積；（2）求獎(jiǎng)杯的體積．（尺寸如圖，單位：，取3）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)體積公式分析運(yùn)算.【小問1詳解】獎(jiǎng)杯底座的側(cè)面上的斜高等于和．故．小問2詳解】.18. 已知棱長為1的正方體中．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)三棱錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）在棱長為1的正方體中，，且所以四邊形為平行四邊形又平面，平面，平面；（2）由正方體易知，三棱錐高為，所以．19. 已知的內(nèi)角，A，B，C的對邊為a，b，c，且．（1）求；（2）若的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點(diǎn)D，求線段長的最大值．【答案】（1）    （2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊以及余弦定理求解；（2）根據(jù)面積公式求得，再根據(jù)等面積得，從而有，利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，得，即，故.【小問2詳解】由（1）知，因?yàn)?/span>的面積為，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以．于是,那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故的最大值為2．20. 設(shè)是邊長為4的正三角形，點(diǎn)、、四等分線段（如圖所示）.（1）求的值；（2）為線段上一點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；（3）在邊的何處時(shí)，取得最小值，并求出此最小值.【答案】（1）26    （2）    （3）在處時(shí)，取得最小值.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的定義；（2）根據(jù)平面向量基本定理即可求解；（3）根據(jù)向量的數(shù)量積的定義和向量的加法即可求解.【小問1詳解】∵是邊長為4的正三角形，點(diǎn)、、四等分線段，∴；【小問2詳解】設(shè)，又，根據(jù)平面向量基本定理解得；【小問3詳解】設(shè)，，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，即在處時(shí)，取得最小值.（本題也可以建系來解題）21. 如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個(gè)小池塘，E，F在邊BC上（E，F不與B，C重合，且E在B，F之間），且.（1）若，求EF的值；（2）為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可求，即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理用表示，再結(jié)合條件得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】由題意可得，設(shè)，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.【小問2詳解】設(shè)，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故面積的最小值.22. 已知函數(shù)，其中a參數(shù).（1）證明：，；（2）設(shè)，求所有的數(shù)對，使得方程在區(qū)間內(nèi)恰有2023個(gè)根.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算推理作答.（2）確定函數(shù)的周期，討論在方程在區(qū)間上的根的情況，再結(jié)合給定2023個(gè)根推理計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，，，，所以.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，對于每個(gè)正整數(shù),都有，若，由（1）得在區(qū)間內(nèi)若有根，則各有偶數(shù)個(gè)根，于是方程在區(qū)間內(nèi)有偶數(shù)個(gè)根，不符合題意，如果，則，且，當(dāng)時(shí),，設(shè)，結(jié)合，知可化為，于是，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)有兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，結(jié)合，知可化為，于是，方程在內(nèi)無解，因此方程在內(nèi)有三個(gè)解，從而方程在區(qū)間內(nèi)有個(gè)解，由，得；若，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，結(jié)合，知可化為，于是，即只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，結(jié)合，知可化為，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，方程沒有屬于的根，因此方程在內(nèi)只有1個(gè)根，從而方程在內(nèi)有個(gè)根，于是；若，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，結(jié)合，知可化為，此方程無解，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，結(jié)合，知可化為，于是，即只有一個(gè)解，因此方程在內(nèi)只有1個(gè)根，從而方程在內(nèi)有個(gè)根，于是；綜上所述滿足條件的為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以按各段零點(diǎn)個(gè)數(shù)和等于總的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分類分段討論解決.
 
 

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